高中數(shù)學(xué)筆記總結(jié)高一至高三很全

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)

中學(xué)數(shù)學(xué)第一章-集合

§01.集合與簡(jiǎn)易邏輯學(xué)問要點(diǎn)

一、學(xué)問結(jié)構(gòu)：

本章學(xué)問主要分為集合、簡(jiǎn)潔不等式的解法（集合化簡(jiǎn)）、簡(jiǎn)易邏輯三

二、學(xué)問回顧：

（一）集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號(hào)的運(yùn)用.

2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.

集合的性質(zhì)：

①任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為A=

②空集是任何集合的子集，記為。qA;

③空集是任何非空集合的真子集；

假如4a8,同時(shí)8勺4,則力-B.

假如A口8,BGC,那久aC.

［注］:①多{整數(shù)}(J)z={全體整數(shù)}(X)

②已知集合S中/的補(bǔ)集是一個(gè)有限集，則集合A也是有限集.(X)(例:

S=N；A=N+,則CA={0})

③空集的補(bǔ)集是全集.

④若集合a集合反則04=0,擻=0G(&?)=〃(注：c5=0).

3.①］(x,y)\xy=0,xGR,昨用坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.

②{(x,y)|盯<0,xRR,昨7?}二、四象限的點(diǎn)集.

③］(x,y)\xy>Q,xRR,曲一、三象限的點(diǎn)集.

［注］:①對(duì)方程組解的集合應(yīng)是點(diǎn)集.

例：［：+73解的集合{⑵1)}.

②點(diǎn)集與數(shù)集的交集是。.(例：A={(x,y)|y=x+l}B={y|y=*+1}則

ACB=0)

4.①〃個(gè)元素的子集有2〃個(gè).②〃個(gè)元素的真子集有2"一1個(gè).③〃個(gè)

元素的非空真子集有2〃一2個(gè).

5.⑴①一個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題確定為真.否命題。逆命題.

②一個(gè)命題為真，則它的逆否命題確定為真.原命題。逆否命題.

例：①若a+〃H5,則2或8#3應(yīng)是真命題.

解：逆否：a=2且6=3,則a+b=5,成立，所以此命題為真.

②x#1且yW2,Ax+yn3?

解：逆否：x+y=3Ax=1或y=2.

.,.XHl且"2Ax+"3,故x+尸3是XHl且”2的既不是充分,又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

3.例：右x好5,=>x>-5B!CC2.

4.集合運(yùn)算：交、并、補(bǔ).

交：A5=A,且工￡團(tuán)

并：AB<=>{x|xeA^xGB}

補(bǔ)：4A={x￡U,且xeA}

5.主要性質(zhì)和運(yùn)算律

（1）包含關(guān)系-AGA,①=A,A￡U,品Au”

八AGB,BCC=>AGC;AIB^A,ACBCB;A\

（2）等價(jià)關(guān)系：A=8oA[8=AoAB=B=，,AB=U

（二）含確定值不等式、一元二次不等式的解法與延長(zhǎng)

1.整式不等式的解法

根軸法（零點(diǎn)分段法）從右向左，從上向下，奇穿偶回，零點(diǎn)探討

①將不等式化為ao（x-x,）（x-x2）-（x-xm）>0?0）并將各因式x的

系數(shù)化“+”；（為了統(tǒng)一便利）

②求根，并在數(shù)軸上表示出來；

③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)（為什么？）；

④若不等式（x的系數(shù)化“+”后）是“>0”，則找“線”在x軸上方的

區(qū)間；若不等式是“<0”，則找“線”在x軸下方的區(qū)間.

---------0----------0----------°----------------------j/f------------------------------------------------------------>

Xx

1x?x?n-3—]m-2n-i-xmX

乙3

（自右向左正負(fù)相間）

n2

則不等式的了"+qx"T+a2x~+---+an>0（<0）（他>0）的解可以依據(jù)各區(qū)間的符

號(hào)確定.

特例①一元一次不等式ax>b解的探討；

②一元二次不等式ax,boxXXa>。）解的探討.

A>0△=0A<0

二次函

數(shù)

y=ax1+hx+cJ

IT0

(a>0)的上

圖象

一元二次方

有兩相等

有兩相異實(shí)根

程

實(shí)根無

xx(x<x)

ax2+bx+c=0l92i2b實(shí)根

X\=X2="—

(a>0的根

ax2+hx+c>01

[^x<x]^x>x2]

(。>0)的角星集XT}

R

ax2+bx+c<0

<X<X2)0

(。>0)的角牟集M%]0

2.分式不等式的解法

(1)標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為或△義句)；△必力0(或以立或

g(x)g(x)g(x)g(x)

0)的形式，

(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)

>0=g)g(x)>0;瑞20={瑞雪>。

g(x)

3.含確定值不等式的解法

(1)公式法：而+可<c,與m+母>c(c>0)型的不等式的解法.

(2)定義法：用“零點(diǎn)分區(qū)間法”分類探討.

(3)幾何法：依據(jù)確定值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax?+bx+c=O(aWO)

(1)根的“零分布”：依據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解

(三)簡(jiǎn)易邏輯

1、命題的定義：可以推斷真假的語句叫做命題。

2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡(jiǎn)潔命題與復(fù)合命題：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命

題是簡(jiǎn)潔命題；由簡(jiǎn)潔命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成

的命題是復(fù)合命題。

構(gòu)成復(fù)合命題的形式：P或q(記作“pVq")”且口成己作'濯八口”);

非P（記作"lq"）o

3、“或”、“且”、“非”的真值

推斷

(1)“非P”形式復(fù)合命題的真假與

F的真假相反；

(2)“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真，其他狀況時(shí)為假;

(3)"p或q"形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他狀況時(shí)為真.

4、四種命題的形式:

原命題：若P則q；逆命題：若q則P；

否命題：若rP貝kiq；逆否命題：若「q則1P。

(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；

(2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；

(3)交換原命題的條件和結(jié)論,并且同時(shí)否定，所得的命題是逆否命題.

5、四種命題之間的相互關(guān)系：

一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：(原命題。逆

否命題)

①、原命題為真，它的逆命題不確定為真。

②、原命題為真，它的否命題不確定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題確定為真。

6、假如已知pnq則我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。

若pnq且qnp,則稱P是q的充要條件，記為P=q.

7、反證法：從命題結(jié)論的反面動(dòng)身(假設(shè))，引出(與已知、公理、定

理…)沖突，從而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

中學(xué)數(shù)學(xué)其次章-函數(shù)

§02.函數(shù)學(xué)問要點(diǎn)

一、本章學(xué)問網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu):

一定義F:A—

二、學(xué)問回顧：

(-)映射與函數(shù)

1.映射與---■映射

2.函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域，而定義域和對(duì)應(yīng)法則是起確定

作用的要素，因?yàn)檫@二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域

和對(duì)應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù).

(二)函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性

定義：對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的隨意兩個(gè)自變量的值

X1,X2,

⑴若當(dāng)X《X2時(shí),都有f(x,)<f(x2),則說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；

⑵若當(dāng)X《X2時(shí)，都有f(x)>f(x，則說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).

若函數(shù)y=f(X)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)y=f(X)在這

一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.此時(shí)

也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).

2.函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)的定義：如果對(duì)于南畋*x)的定義域內(nèi)任應(yīng)一個(gè)人都有

*“尸加0,那么函數(shù)f(x)謨叫做偶曲數(shù).

虎偈函數(shù)o^=VW*O

/W

奇函數(shù)的定義：圳果對(duì)r函數(shù)*x)的定義域內(nèi)任意?個(gè)工都有

R.X六m那么函數(shù)就叫做奇函數(shù).

/(X漫奇函數(shù)c/(F=_/(x)o/(_?+*Q)

/w

正確理解奇、偶函數(shù)的定義。必須把握好兩個(gè)問題：

(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)/(X)為奇

函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；(2)/(-x)=/(x)或

/(-x)=-/(%)是定義域上的恒等式。

2.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，偶函數(shù)

的圖象關(guān)于、軸成軸對(duì)稱圖形。反之亦真，因此，也

可以利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性去判斷函數(shù)的奇偶性。

3.奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間同增同減；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間增

減性相反.

4.如果，(x)是偶函數(shù)，貝!J/(x)=/(|x|),反之亦成立。

若奇函數(shù)在x=0時(shí)有意義，則/(0)=0。

7.奇函數(shù)，偶函數(shù)：

⑴偶函數(shù):/(-x)=/(x)

設(shè)(ab)為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則J,b)也是圖象上一點(diǎn).

偶函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿意

①定義域確定要關(guān)于)，軸對(duì)稱，例如：/=，+1在［卜1)上不是偶函數(shù).

②滿意f(T)=/(x),或f(-x)-/(x)=(),若f(x)*O時(shí),4^7=1.

⑵奇函數(shù)：/(-X)=-f(x)

設(shè)(a,b)為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則(-a-b)也是圖象上一點(diǎn).

奇函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿意

①定義域確定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，例如：y=i在U,T)上不是奇函數(shù).

②滿意A-x)=-F(x),或f(-x)+/(x)=O,若/(x)xO時(shí)，上空=7.

f(~x)

8.對(duì)稱變換：①/二f(X)刈*姆＞y=/(_x)

②y=f(X)押,*號(hào)>y=-f(x)

③y=f(X).犀卓也稱.>y=--(-x)

9.推斷函數(shù)浮遍性鳥Z)%髓、取第根號(hào)的確定要分子有理化，例如:

=-^x^+b~~^X2+b~=

x]+。2+舊+〃2

在進(jìn)行探討.

10.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域.

例如：已知函數(shù)/'(x)=1+上的定義域?yàn)楹瘮?shù)/[/'(X)]的定義域是

1-X

B,則集合/與集合呂之間的獎(jiǎng)冢是.

解：/(x)的值域是/(/(x))的定義域B,/(x)的值域eR,故BeR,而4={x|xwl},

故8nA.

11.常用變換：

①/(x+V)=f(x)f(y)o/(x-y)=察?

f(y)

證：/(x-y)==fM=f[(.x-y)+y]=f(x-y)f(y)

f(x)

②/(-)=/(x)-f(y)of(x.y)=f(x)+f(y)

y

證：f(x)=f(--y)=f(-)+f(y)

yy

12.⑴熟識(shí)常用函數(shù)圖象：

例：＞=23-＞⑶關(guān)于y軸對(duì)稱.

例：丫=碧=2+S=定義域{x|x#3,xeR},

值域{y|”2,*R}f值域前的系數(shù)之比.

（三）指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)＞=a\a＞。且aw1）的圖象和性質(zhì)

a>l0<a<l

M

圖

/y?i

象—

一‘'…'-'』一

(1)定義域：R

性

(2)值域：(0,+8)

質(zhì)

(3)過定點(diǎn)(0,L),即x=0時(shí)，y=l

(4)x>0時(shí)，y>l;x<0時(shí)，(4)x>0時(shí),0〈y<l;x<0時(shí)，y>l.

0<y<l

(5)在R上是增函數(shù)(5)在R上是減函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖象和性質(zhì):

對(duì)數(shù)運(yùn)算：

k)g〃(M'N)=log”M+log”N⑴

M

log.\7=log“M—log“N

log.M〃=〃loga(土加)⑵

logrty/~M=-logflM

n

a'°s-N=N

換底公式：1幅*=四心

log/,a

推論：log”/?log〃c?log,a=1

nlog/〃2「og1的.….log%-%=log%冊(cè)

(以上M*0,N*0,aA0,awl,bR0,bwl,c〉0,cwl,a],a2...an>0且。1)

a>l0<a<l

!

y

y=logax*

注⑴：當(dāng)a,8YO

時(shí)，

log(a-b)=log(-a)+log(-Z?)

x—1a<1

⑵：當(dāng)MMO時(shí)，

（1）定義域：（0,+8）

取“+”，當(dāng)〃是

(2)值域:R

偶數(shù)時(shí)且*0

(3)過點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=l時(shí),時(shí)，M">0,而

y=0MYO,故取

“_，，

(4)X￡(0,l)時(shí)xe(0,l)時(shí)y>0

例如:

y<0

xG(l,+oo)時(shí)y<0

log”/w2log?x(2log?x

X￡(l,+oo)

中X>0而log*

時(shí)y>0

中xER).

（5）在（0,+8）在（0,+8）上是減函數(shù)⑵y=ax

上是增函數(shù)(a>0,a*1)與

y=log。x互為反

函數(shù).

當(dāng)a>l時(shí)，y=logax的“值越大，越靠近x軸；當(dāng)OYOYI時(shí)，則相反.

(四)方法總結(jié)

(1).相同函數(shù)的判定方法：定義域相同且對(duì)應(yīng)法則相同.

⑴對(duì)數(shù)運(yùn)算：

(l)

log<,(MW)=logflM+log?7V

M

log.—=logaM-log”N

nt2)

log戲M=nloga(±M)

bg"礪T°g"M

a*N=N

換底公式：k>g“N=Jd

log*

推論:log(,h-log6c-log(.a=1

nlog%/.log%?3?….kg",i%=log%冊(cè)

(以上乂80,r480聲>0聲/1,1>80,15/1,C：?03/1問/2..4>0且71)

注(1):當(dāng)“,bY0時(shí)，log(a-b)=log(-a)+log(-/?).

⑵：當(dāng)時(shí)，取"+當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)且MYO時(shí)，M"MO,而MYO,故取"一

例如：10gax2w210ga*；(210gaX中X>0而10gX中x￡R).

⑵y=a"(a"O,a*l)與y=logax互為反函數(shù).

當(dāng)a”l時(shí)，y=log“X的"值越大，越靠近X軸；當(dāng)0Y4Y1時(shí)，則相反.

⑵.函數(shù)表達(dá)式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.

⑶.反函數(shù)的求法：先解X,互換x、y,注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的

值域).

(4).函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求

解即可求得函數(shù)的定義域.常涉與到的依據(jù)為①分母不為0；②偶次根式中

被開方數(shù)不小于0;③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0,底數(shù)大于零且不等于1;④零指

數(shù)基的底數(shù)不等于零；⑤實(shí)際問題要考慮實(shí)際意義等.

⑸.函數(shù)值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函

數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法.

⑹.單調(diào)性的判定法：①設(shè)X|,X?是所探討區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且

X2；②判定f(xj與f(xj的大??；③作差比較或作商比較.

⑺.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f(-X)

與與X)之間的關(guān)系:①f(-x)=f(x)為偶函數(shù);f(-x)=-f(x)為奇函數(shù);②

f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-X)=0為奇；③f(-x)/f(x)=l是偶;f(x)4-

f(-x)=-l為奇函數(shù).

(8).圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達(dá)式，列表、描點(diǎn)、連光滑曲線；②

利用熟知函數(shù)的圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對(duì)稱

性描繪函數(shù)圖象.

中學(xué)數(shù)學(xué)第三章數(shù)列

考試內(nèi)容：

數(shù)列.

等差數(shù)列與其通項(xiàng)公式.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

等比數(shù)列與其通項(xiàng)公式.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

考試要求：

(1)理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列

的一種方法，并能依據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).

(2)理解等差數(shù)列的概念，駕馭等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并

能解決簡(jiǎn)潔的實(shí)際問題.

(3)理解等比數(shù)列的概念，駕馭等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，井

能解決簡(jiǎn)潔的實(shí)際問題.

§03.數(shù)列學(xué)問要點(diǎn)

1.

等差數(shù)列等比數(shù)列

(1)

定義《用一”“=4也=g("o)

a

n等

遞推a?=a?-i+d；an=a,?_?+md瑪=冊(cè)一】4；

差、

公式

等

a=a+(/:-1)J

nxn

通項(xiàng)an=axq~^

比

公式

數(shù)

A_a『k+””+?G=±^a_a(a_aa0)

中項(xiàng)12nkn+knkn+k

列:

(n,kGN",n>k>G)(n,kGN*,n>k>0)

前〃項(xiàng)S”=^-(?i+冊(cè))呻(q=l)

S『<%(1W)=°Lnq922)

〃(〃一1)

和s”=??i+2d\-q\-q

重要

〃，

am+an=ap+%(m,p,q￡N',aman=。］「氣(相,小p,qeN*,m+n=p+q)

性質(zhì)m+n=p+q)

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義{%}為A?Pod(常數(shù))

{4}為6?P0巴=式常數(shù))

冊(cè)

通項(xiàng)?！ǘ?(n-l)d=%+(n-k)a〃=。闖"7=OH"

公式+_

d-dnald

〃(%+4“),n(n-l)na(q=1)

求和s?=-----!------=na+----------ax

21x2

S"=<=a「a“q*]

=y?2+(?l-y)?

公式.\-q\-q

A=*推廣：

中項(xiàng)G2=abo推廣：

2

2

公式2a〃二見1“+冊(cè)+卅an=喂乂小

性

若貝若則。

質(zhì)1rn+n=p+qljam+an=ap+aqm+n=p+q,aman=apaq

2若化J成A.P（其中1GN）若｛"｝成等比數(shù)列（其中

則｛%｝也為A.P。k,wN）,則｛%｝成等比數(shù)

列。

3?S.，S2"一S”,S3“-$2”成等差數(shù)S.，$2“-S0,$3/.-$2"成等比數(shù)

列。列。

4d=a"~a'—L""(加豐n)qn-'=",q"m=

n-lm-na\a,n

(mwri)

5

⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法:

①=4（〃22,4為常數(shù)）

②=冊(cè)+]+%（及22）

③a—kn+b（〃,&為常數(shù)）.

⑶看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法:

①an=an_xq（n>2M為常數(shù),且w0）

aa

?n=n+\-"22，anan+｝an_｝0）,

注①：i.b=4ac,是a、b、c成等比的雙非條件，即8=疝＞a、b、c等比

數(shù)列.

ii.b=4^（ac＞0）f為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要.

iii.b=土向f為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.

iv.6=±疝且加”。-＞為a、b、。等比數(shù)列的充要.

留意：隨意兩數(shù)a、c不確定有等比中項(xiàng)，除非有ac＞0,則等比中項(xiàng)確定

有兩個(gè).

③盤=4（G4為非零常數(shù)）.

④正數(shù)列｛4｝成等比的充要條件是數(shù)列｛log,%｝（x^l）成等比數(shù)列.

⑷數(shù)列｛a,J的前〃項(xiàng)和S,與通項(xiàng)冊(cè)的關(guān)系：金=卜

［注］:①％可為零也可不為零f為等差數(shù)列充要條件

（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）f若〃不為0,則是等差數(shù)列充分條件）.

②等差｛七｝前n項(xiàng)和s,尸加2+8”=仁卜+,「5"f?可以為零也可不為零f

為等差的充要條件一若〃為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若〃不為零，則

是等差數(shù)列的充分條件.

③非等常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不行能有

等比數(shù)列）

2.①等差數(shù)列依次每4項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的發(fā)倍

5jf-；

Sk?S?k-Sk,S3k-2

S奇an

②若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2〃（”"），則S偶-S奇=〃d,T—-；

?偶an+\

③若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2〃-l（〃eN+）,則S2“T=（2〃-1）?“，且S奇-S偶=a“，a=」_

S偶”1

=＞代入〃到2〃-1得到所求項(xiàng)數(shù).

3.常用公式：①1+2+3…+〃=獨(dú)則

2

②12+22+32+...”2=小速兇

6

2

③"+23+33…“3=

[注]:熟識(shí)常用通項(xiàng)：9,99,999,…=/=io"-i；5,55,555,…=冊(cè)=部0"-1).

4.等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式的常見應(yīng)用題：

⑴生產(chǎn)部門中有增長(zhǎng)率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為4，年增長(zhǎng)率為

『，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為1+r.其中第〃年產(chǎn)量為a(l+r)i,且過

〃年后總產(chǎn)量為：

a+a(J+r)+a(l+r)2+...+a(l+r)n-1=^—~(〕十，)].

l-(l+r)

⑵銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題.例如：一年中每月初到銀行存“元，利息為

r,每月利息按復(fù)利計(jì)算，則每月的“元過"個(gè)月后便成為。(1+『)"元.因此，

其次年年初可存款：

12

“(1+r嚴(yán)+“(1+r)“+”(1+r嚴(yán)+…+“(1+r尸止止11dl.

l-(l+r)

⑶分期付款應(yīng)用題：a為分期付款方式貸款為a元；勿為勿個(gè)月將款全部付

清；r為年利率.

a(l+r)'"=x(l+r)"i+吊1+r)m-2+.....員1+r)+x=a(l+r)"'=。+"一=>x=十"

r(1+r),n-1

5.數(shù)列常見的幾種形式：

(1)“"+2=""+|+?"(夕、q為二階常數(shù))-用特證根方法求解.

詳細(xì)步驟：①寫出特征方程f=Px+g(2對(duì)應(yīng)冊(cè),I,X對(duì)應(yīng)*),并設(shè)二根占,與

②若X產(chǎn)工2可設(shè)4〃.=CM+QX；，若%]=匯2可設(shè)a〃=(C]+C2〃)M；③由初始值。],。2確定

。1，。2,

(2)冊(cè)=尸a,i+r(只T為常數(shù))一用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項(xiàng)選代；③

消去常數(shù)77轉(zhuǎn)化為〃“+2=&,用+?“的形式，再用特征根方法求%；④a“=J+c2pl

(公式法)，C]?2勺,〃2確定.

①轉(zhuǎn)化等差，等比：a+x=P(a+x)=>￡z=Pa+Px-x=>x=—^—.

n+inw+1nP~i

②選代法：a〃=&〃_1+，?=P(Pa〃_2+r)+r=…=?尸(^i+-r—r)^，?-1一~T--=(a+x)Pn~x-x

r—ir—Ix

2

=P"~'al+P"~-r+---+Pr+r.

③用特征方程求解：J""+']相減,=a.+|-a"=尸尸a"_|=>a“+|=(P+l)an-Pan_x.

a?=P(in-i+r\

④由選代法推導(dǎo)結(jié)果：，產(chǎn)」一，C2=%+」一，a.aP'T+c產(chǎn)(/+二一)P'-'^-.

\—pp—\p—\+1—p

6.幾種常見的數(shù)列的思想方法：

⑴等差數(shù)列的前”項(xiàng)和為S.，在4Y0時(shí)，有最大值.如何確定使S“取最大值

時(shí)的“值，有兩種方法：

一是求使%20,冊(cè)+1Y(),成立的〃值；二是由5“=12+(/_多〃利用二次函數(shù)的

性質(zhì)求〃的值.

⑵假如數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積,求此數(shù)

列前〃項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前"項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和.例如：

⑶兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是

原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差4,么的最小公倍數(shù).

2.推斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對(duì)于n

22的隨意自然數(shù)，驗(yàn)證為為同一常數(shù)。⑵通項(xiàng)公式法。⑶中項(xiàng)

e

公式法：驗(yàn)證2??+|=a?+*=。/"+2)〃N都成立。

3.在等差數(shù)列｛6｝中，有關(guān)Sn的最值問題：(1)當(dāng)%>0,d<0時(shí)，滿意

的項(xiàng)數(shù)m使得取最大值.(2)當(dāng)?,<0,d>0時(shí),滿意卜-1的項(xiàng)數(shù)m使得

取最小值。在解含確定值的數(shù)列最值問題時(shí)，留意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

(三)、數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。

2.裂項(xiàng)相消法:適用于［上一］其中｛明｝是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c

為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。

3.錯(cuò)位相減法:適用于匕仇｝其中｛%｝是等差數(shù)列，'｝是各項(xiàng)不為0

的等比數(shù)列。

4.倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.

5.常用結(jié)論

1):1+2+3+...+n=幽土D

2

2)1+3+5+...+(2n-l)=n2

1［2

3)l3+23+---+W3=-n(n+1)

4)I2+22+32+---+n2=-/?(n+l)(2rt+l)

6

5)=L)

/i(/i4-1)nn+\〃(〃+2)2nn+2

6)—=--—(-----)(〃<。)

pqq-ppq

中學(xué)數(shù)學(xué)第四章-三角函數(shù)

考試內(nèi)容：

角的概念的推廣.弧度制.

隨意角的三角函數(shù).單位圓中的三角函數(shù)線.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.

正弦、余弦的誘導(dǎo)公式.

兩角和與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì).周期函數(shù).函數(shù)y=Asin（3x+6）的圖

像.正切函數(shù)的圖像和性質(zhì).已知三角函數(shù)值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考試要求：

（1）理解隨意角的概念、弧度的意義能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算.

（2）駕馭隨意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定

義；駕馭同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；駕馭正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；了解周

期函數(shù)與最小正周期的意義.

（3）駕馭兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；駕馭二倍角的正弦、

余弦、正切公式.

（4）能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)潔三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證

明.

（5）理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”

畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)丫=人$5（0^+6）的簡(jiǎn)圖，理解A.3、6的物

理意義.

（6）會(huì)由已知三角函數(shù)值求角,并會(huì)用符號(hào)arcsinx\arc-cosx\arctanx

表示.

（7）駕馭正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形.

（8）“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式:sin2a+cos2a=1,sina/cosa=tana,tan

a?cosa=]”.

§04.三角函數(shù)學(xué)問要點(diǎn)

1.①與a(0°^a<360°)終邊相同的角的集合(角a與角〃的終邊重合):

▲

如分=%x36(r+a,%ez}32

sinxsinx

②終邊在X軸上的角的集合：弧尸=&><180。/ez}二，

③終邊在y軸上的角的集合：如夕=4x180。+90Fez}“：":

sinxsinx

④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：{四夕=Ax9(T,kez}2

S1MCQS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖

⑤終邊在片X軸上的角的集合：物|￡="180。+45。,丘z1高艮二釐嬴三'

⑥終邊在y=-x軸上的角的集合：物|/?=Axl8(T-45、*ez}

⑦若角a與角〃的終邊關(guān)于X軸對(duì)稱，則角a與角/?的關(guān)系：a=360”-〃

⑧若角a與角/的終邊關(guān)于了軸對(duì)稱，則角a與角尸的關(guān)系：a=360"+180。--

⑨若角a與角〃的終邊在一條直線上，則角a與角1的關(guān)系：a=180%+〃

⑩角a與角4的終邊相互垂直，則角a與角〃的關(guān)系：a=360Z+夕±90。

2.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2n180°=n1°=0.01745

1=57.30°=57°18’

留意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：lrad=i8o°?^57.30°=57°18'.1°=三

n180

^0.01745(rad)

3、弧長(zhǎng)公式：/=|々".扇形面積公式：s扇形='=刎"2

4、三角函數(shù)：設(shè)a是一個(gè)隨意角，在a的終邊

(異于原點(diǎn)的)一點(diǎn)P(x,y)P與原點(diǎn)的距離

.y?

sina=—'cosa=-x?'*tana=—y?，cota=—x?,

rrXy

r

csca=-,

y

5、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：(一全二正弦，三切四余弦)

6、三角函數(shù)線16.幾個(gè)重要結(jié)論:

正弦線：MP;余弦線:正切

線：AT.

7.三角函數(shù)的定義域：

三角函數(shù)定義域

{x|xeR}

f(x)=sinx

{x\xeR}

f(x)=COSX

/(x)=tanx|xGRSJC^攵乃+ez1

cosa

8、同角二角函數(shù)的基本關(guān)系式：sina_tana_co(atanacota=l

cosasina

sin2a+cos2a=1

9、誘導(dǎo)公式：

把竺士通三角函數(shù)化為頒三角函數(shù)，概括為："奇變偶不變，符號(hào)看象限

2

三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系

（二）角與角之間的互換

cos(a+4)=cosacos/?-sinasinpsin2a=2sincrcosa

cos(a—(3)=cosacos夕+sinasinpcos2a=cos2a-sin2a-2cos2a—\-1-2sin2a

2tana

sin(a+/?)=sinacosP+cosasinPtanla=

1-tan2a

?a1-cosa

sin(a一夕)=sinacosJ3-cosasinJ3sin—=±.

22

,c、tana+tan

tan(a+0=----------------

1-tanatanp

-、tana-tanBa,ll-cosasina_l-cosa

tanz0.0)=--------tan—=±J--------

I+tanatanB2v1+cosa1+coscrsina

疝5875、sin7-=學(xué)，.5=375-,535=2+6

10.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì):

/y=Asin(5+0)

y=sinxy=cosxy=tanx

(A、^>0)

^x\x&R^x^kn-￥^n,kez|

定義域RRR

[-U+1][T+l]

值域R[-A,A\

27r27r24

周期性CD

奇偶性奇偶函奇函數(shù)當(dāng)(p*0,非奇非

函數(shù)數(shù)偶

當(dāng)°=0,奇函數(shù)

[(2&-1卜,.[--+k7t,-+kA

[--+2kI22)…幾

2兀2knJ"2k;r---(P

------CO=—(Q,

y+2^]上為增上為增函數(shù)

2k冗+」乃一*

上為函數(shù)(keZ)_------C-D-----(-A)」

[2S

單調(diào)性增函上為增函數(shù)；

(24+1卜]

數(shù)；上為減2k兀T------(p

----CO2-⑷，

2k23

弓+乃函數(shù)2K7T+—7T-<p

------1-----(-A)

3兀_._coJ

—+2%九

2)(k&Z)

上為減函數(shù)

上為

(keZ)

減函

數(shù)

(

kwZ)

留意:①用二-sinx與y=sinx的單調(diào)性正好相反;y=—cosx與y=cosx的單調(diào)性也

同樣相反.一般地，若y=/（x）在m,切上遞增（減），則y=-/（X）在［a,句上遞減（增）.

②尸忖叫與好|cosM的周期是*

③丫=$2（5+°）或y=cos（f?r+⑼（（y^0）的周期T=g.

同

y=tai的周期為2乃（7=±=7=2小如圖，翻折無效）.

,2M

@y=sin（3v+夕）的對(duì)稱軸方程是x=br+］（4eZ）,對(duì)稱中心（左乃,0）；y=cos（<uv+9）

的對(duì)稱軸方程是（keZ）,對(duì)稱中心Q+Uo）；y=tan&r+g）的對(duì)稱中

心（絲0）.

2

y=cos2x-對(duì)稱>y=-cos（-2x）=-cos2x

⑤當(dāng)tana?tan/?=1,a+^=^+—（A:eZ）;tana*tanP=-\,a-P=k7r+—（kE.Z）.

⑥y=8sx與y=sin（x+/+2k開）是同一函數(shù)，而y=（3?+3）是偶函數(shù)，則

y=（cox+（p）=sin（6ir+44+；乃）=±cos（tziv）,

⑦函數(shù)y=tanx在R上為增函數(shù).（X）［只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若

在整個(gè)定義域，y=tanx為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的］.

⑧定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是f（x）具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩

個(gè)條件：一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇偶都要），二是滿意奇偶性條件，偶

函數(shù)：f（-x）=