湖南省株洲市東風(fēng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

湖南省株洲市東風(fēng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，則所得的圖象的解析式為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.A.

B.

C.

D.參考答案：C3.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，則等于（）A．2015 B．﹣2015 C．1 D．﹣1參考答案：C【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由題意和求和公式可得q的方程，解方程可得q，可得S2015，進(jìn)而可得比值．【解答】解：由題意可得等比數(shù)列{an}的公比q≠1，∵，∴S4a2=S2a4，∴?a1q=?a1q3，化簡(jiǎn)并解方程可得q=﹣1，∴S2015==a1，∴==1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，求出數(shù)列的公比是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．4.對(duì)于，有如下四個(gè)命題:

①若，則為等腰三角形，②若，則是直角三角形③若，則是鈍角三角形其中正確的命題個(gè)數(shù)是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略5.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)將線段三等分，則該雙曲線的漸近線方程為A．

B．

C．

D．參考答案：A略6.如果（m∈R，i表示虛數(shù)單位），那么m=（） A．1 B．﹣1 C．2 D．0參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 【專題】計(jì)算題． 【分析】把給出等式的左邊變形為a+bi（a，b∈R）的形式，然后運(yùn)用復(fù)數(shù)相等的概念求m． 【解答】解：因?yàn)椋? 而（m∈R，i表示虛數(shù)單位）， 所以，m=1． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)相等的概念，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)部等于實(shí)部，虛部等于虛部，此題是基礎(chǔ)題． 7.已知P為雙曲線C：＝1上的點(diǎn)，點(diǎn)M滿足||＝1，且·＝0，則當(dāng)取得最小值時(shí)的點(diǎn)P到雙曲線C的漸近線的距離為(

)A.

B.

C．4

D．5參考答案：B8.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm﹣1=5，Sm=﹣11，Sm+1=21，則m=(

) A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：C考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，建立方程組即可解得m的值．解答： 解：在等比數(shù)列中，∵Sm﹣1=5，Sm=﹣11，Sm+1=21，∴am=Sm﹣Sm﹣1=﹣11﹣5=﹣16，am+1=Sm+1﹣Sm=21﹣（﹣11）=32，則公比q=，∵Sm=﹣11，∴，①又，②兩式聯(lián)立解得m=5，a1=﹣1，故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的計(jì)算和應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力．9.若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為64，則其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．540 B．﹣540 C．135 D．﹣135參考答案：C【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】由題意令x=1，則2n=64，解得n，再利用通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：由題意令x=1，則2n=64，解得n=6．∴的通項(xiàng)公式為：Tr+1=（3x6﹣r）=（﹣1）r36﹣r，令6﹣=0，解得r=4．∴常數(shù)項(xiàng)=×32=135．故選：C．10.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若復(fù)數(shù)z=（1+i）?i2（i表示虛數(shù)單位），則=

．參考答案：﹣1+i【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】先化簡(jiǎn)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可求出【解答】解：z=（1+i）?i2=﹣1﹣i，∴=﹣1+i，故答案為：﹣1+i．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．12.一名大學(xué)生到一單位應(yīng)聘，面試需回答三道題.若每一道題能否被正確回答是相互獨(dú)立的,且這名大學(xué)生能正確回答每一道題的概率都是,則這名大學(xué)生在面試中正確回答的題目的個(gè)數(shù)的期望=______________.參考答案：答案：213.若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組（其中為常數(shù)），若的最大值為5，則的值等于

▲

．參考答案：略14.下列四個(gè)命題：①函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；②函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為；③在中，“”是“”的充分不必要條件；④數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.其中真命題的序號(hào)是

.

參考答案：②④15.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則的概率為

．參考答案：略16.已知函數(shù)，若，則________參考答案：217.已知函數(shù)的定義域?yàn)?則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且對(duì)于?x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值三角不等式；絕對(duì)值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法，利用分類討論進(jìn)行求解即可．（Ⅱ）利用1的代換，結(jié)合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：（Ⅰ），（2分）當(dāng)時(shí)，由3﹣3x≥6，解得x≤﹣1；當(dāng)時(shí)，x+1≥6不成立；當(dāng)x＞2時(shí)，由3x﹣3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集為（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．…（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（6分）∴對(duì)于?x∈R，恒成立等價(jià)于：對(duì)?x∈R，|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤9，即[|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|]max≤9（7分）∵|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤|（x﹣2﹣m）﹣（x+2）|=|﹣4﹣m|∴﹣9≤m+4≤9，（9分）∴﹣13≤m≤5（10分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，以及不等式恒成立問題，利用1的代換結(jié)合基本不等式，將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵．19.（本小題滿分12分）

已知等比數(shù)列滿足，且是的等差中項(xiàng)，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使成立的n的取值集合。參考答案：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，有即……………3分[K]由①得，解得或.當(dāng)時(shí)，不合題意舍；當(dāng)時(shí)，代入②得，所以，，……….……6分（2）.

……………….…………7分所以

……………….………10分因?yàn)椋?，即解得，故所求的n的取值集合為{1,2,3,4}…………….12分20.已知函數(shù)是奇函數(shù)，并且函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，3），（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)的值域參考答案：解：（1）函數(shù)是奇函數(shù)，則

………（3分）

又函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，3），

∴a=2

……（6分）

（2）由（1）知………（7分）

當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)

即時(shí)取等號(hào)…（10分）

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)……………（13分）

綜上可知函數(shù)的值域?yàn)椤?2分）略21.已知f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），定義h（x）=max{f（x），g（x）}=．（1）求函數(shù)f（x）的極值；（2）若g（x）=xf'（x），且存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若g（x）=lnx，試討論函數(shù)h（x）（x＞0）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為不等式在x∈[1，2]上有解，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（3）通過討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f'（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）…令f'（x）=0，得x1=0或，∵a＞0，∴x1＜x2，列表如下：x（﹣∞，0）0f'（x）+0﹣0+f（x）↗極大值↘極小值↗∴f（x）的極大值為f（0）=1，極小值為…（2）g（x）=xf'（x）=3ax3﹣6x2，∵存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），∴f（x）≥g（x）在x∈[1，2]上有解，即ax3﹣3x2+1≥3ax3﹣6x2在x∈[1，2]上有解，即不等式在x∈[1，2]上有解，…設(shè)，∵對(duì)x∈[1，2]恒成立，∴在x∈[1，2]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=1時(shí)，的最大值為4，∴2a≤4，即a≤2…（3）由（1）知，f（x）在（0，+∞）上的最小值為，①當(dāng)，即a＞2時(shí)，f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上無零點(diǎn)…②當(dāng)，即a=2時(shí)，f（x）min=f（1）=0，又g（1）=0，∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)…③當(dāng)，即0＜a＜2時(shí)，設(shè)φ（x）=f（x）﹣g（x）=ax3﹣3x2+1﹣lnx（0＜x＜1），∵，∴φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，又，∴存在唯一的，使得φ（x0）=0．Ⅰ．當(dāng)0＜x≤x0時(shí)，∵φ（x）=f（x）﹣g（x）≥φ（x0）=0，∴h（x）=f（x）且h（x）為減函數(shù)，又h（x0）=f（x0）=g（x0）=lnx0＜ln1=0，f（0）=1＞0，∴h（x）在（0，x0）上有一個(gè)零點(diǎn)；Ⅱ．當(dāng)x＞x0時(shí)，∵φ（x）=f（x）﹣g（x）＜φ（x0）=0，∴h（x）=g（x）且h（x）為增函數(shù)，∵g（1）=0，∴h