遼寧省沈陽(yáng)市第一二零中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

遼寧省沈陽(yáng)市第一二零中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知A={（x，y）|x2+y2≤π2}，B是曲線y=sinx與x軸圍成的封閉區(qū)域，若向區(qū)域A內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)M，則點(diǎn)M落入?yún)^(qū)域B的概率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】先求構(gòu)成試驗(yàn)的全部區(qū)域?yàn)閳A內(nèi)的區(qū)域的面積，再利用積分知識(shí)可得正弦曲線y=sinx與x軸圍成的區(qū)域記為M的面積，代入幾何概率的計(jì)算公式可求．【解答】解：構(gòu)成試驗(yàn)的全部區(qū)域?yàn)閳A內(nèi)的區(qū)域，面積為π3，正弦曲線y=sinx與x軸圍成的區(qū)域記為M，根據(jù)圖形的對(duì)稱性得：面積為S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4，由幾何概率的計(jì)算公式可得，隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A，則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率P=，故選：D．2.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且c=2a，則cosB=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】余弦定理；等比數(shù)列．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得b=a，將c、b與a的關(guān)系結(jié)合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比數(shù)列，則b2=ac，由c=2a，則b=a，=，故選B．3.已知集合，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C，所以，故選C.考點(diǎn)：1.集合的運(yùn)算；2.二次不等式的求解.4.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象

A．右移個(gè)單位 B．右移個(gè)單位

C．左移個(gè)單位 D．左移個(gè)單位參考答案：A,所以把函數(shù)向右平移個(gè)單位，可以得到函數(shù)的圖象，所以選A.5.全集U=R，集合，則[UA= A． B． C． D．參考答案：B，所以，所以選B.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出K的值為8，則判斷框中可填入的條件是（

）A、s

B、s

C、s

D、s參考答案：C7.設(shè)函數(shù)，將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖像與原圖像重合，則的最小值等于（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C8.已知復(fù)數(shù)，則

等于（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B9.如果定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)于任意，都有，則稱為“函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①；②；③；④，其中“函數(shù)”的個(gè)數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C∵，∴，∴在上單調(diào)遞增．①，，，不符合條件；②，符合條件；③，符合條件；④在單調(diào)遞減，不符合條件；綜上所述，其中“函數(shù)”是②③．10.已知菱形的邊長(zhǎng)為,，，則的值為（

）(A) (B)

(C)

(D)參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察等式：①×13+×12+×1=12，②×23+×22+×2=12+22，③×33+×32+×3=12+22+32，…以上等式都是成立的，照此寫下去，第2015個(gè)成立的等式是

．參考答案：×20153+×20152+×2015=12+22+32+42+…+20152考點(diǎn)：歸納推理．專題：推理和證明．分析：根據(jù)已知中的式子，分析等式兩邊各項(xiàng)的底數(shù)變化情況與式子編號(hào)之間的關(guān)系，歸納出規(guī)律后，可得答案．解答： 解：由已知中的等式：觀察等式：①×13+×12+×1=12，②×23+×22+×2=12+22，③×33+×32+×3=12+22+32，…歸納可得：第n個(gè)成立的等式是：×n3+×n2+×n=12+22+32+42+…+n2，當(dāng)n=2015時(shí)，第2015個(gè)成立的等式是：×20153+×20152+×2015=12+22+32+42+…+20152故答案為：×20153+×20152+×2015=12+22+32+42+…+20152點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．12.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù)。如三角形數(shù)1,3,6,10···，第n個(gè)三角形數(shù)為。記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n,k)(),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)

N(n,3)=

正方形數(shù)

N(n,4)=五邊形數(shù)

N(n,5)=

六邊形數(shù)

N(n,6)=可以推測(cè)N(n,k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)=____________.參考答案：1000略13.設(shè)，則參考答案：14.已知與為非零向量，，且，則與的夾角為．參考答案：45°【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)向量的夾角公式，以及向量的垂直，向量模計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)與的夾角為θ，∵，∴|+|2=|﹣|2，∴?=0，∵，∴（+）?（﹣）=0，∴=，∴?=，|+|=||，∴cosθ==，∵0≤θ≤180°，∴θ=45°，故答案為：45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算以及向量的模的計(jì)算以及向量垂直的條件，屬于中檔題．15.設(shè)分別為橢圓:的左右頂點(diǎn),為右焦點(diǎn),為在點(diǎn)處的切線,為上異于的一點(diǎn),直線交于,為中點(diǎn),有如下結(jié)論:①平分;②與橢圓相切;③平分;④使得的點(diǎn)不存在.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_________________.

參考答案：略16.若2sinα﹣cosα=，則sinα=

，tan（α﹣）=

．參考答案：，3．【考點(diǎn)】GR：兩角和與差的正切函數(shù)；GH：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．【分析】根據(jù)已知及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：∵2sinα﹣cosα=，∴cosα=2sinα﹣，∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+（2sinα﹣）2=1，即5sin2α﹣4sinα+4=0，∴解得：sinα=，∴cosα=2×﹣=﹣，tan=﹣2，∴tan（α﹣）===3．故答案為：，3．17.已知，，向量與垂直，則實(shí)數(shù)_______．參考答案：12三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分13分)設(shè)函數(shù)，其中b≠0．(I)當(dāng)b>時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性：(II)求函數(shù)的極值點(diǎn)．參考答案：函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

……………2

……………4令，則在上遞增，在上遞減，．當(dāng)時(shí)，，在上恒成立．即當(dāng)時(shí),函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增……………6（II）分以下幾種情形討論：（1）由（I）知當(dāng)時(shí)函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，，時(shí)，時(shí)，時(shí)，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)………8（3）當(dāng)時(shí)，解得兩個(gè)不同解，．當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)在上有唯一的極小值點(diǎn)…………10當(dāng)時(shí)，在都大于0，在上小于0，此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)綜上可知，時(shí)，在上有唯一的極小值點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)．………13

19.（本小題滿分14分）已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F（1,0），且點(diǎn)（－1，）在橢圓C上。（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）已知?jiǎng)又本€l過(guò)點(diǎn)F，且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。參考答案：20.（本小題滿分10分）已知的解為條件，關(guān)于的不等式的解為條件.（1）若是的充分不必要條件時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（2）若是的充分不必要條件時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：（1）設(shè)條件的解集為集合A,則

設(shè)條件的解集為集合B,則若是的充分不必要條件,則是的真子集（2）若是的充分不必要條件,則是的真子集21.如圖，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且不與△ABC的頂點(diǎn)重合．已知AE的長(zhǎng)為m，AC的長(zhǎng)為n，AD，AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2﹣14x+mn=0的兩個(gè)根．（Ⅰ）證明：C，B，D，E四點(diǎn)共圓；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圓的半徑．參考答案：【考點(diǎn)】圓周角定理；與圓有關(guān)的比例線段．【專題】計(jì)算題；證明題．【分析】（I）做出輔助線，根據(jù)所給的AE的長(zhǎng)為m，AC的長(zhǎng)為n，AD，AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2﹣14x+mn=0的兩個(gè)根，得到比例式，根據(jù)比例式得到三角形相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，得到結(jié)論．（II）根據(jù)所給的條件做出方程的兩個(gè)根，即得到兩條線段的長(zhǎng)度，取CE的中點(diǎn)G，DB的中點(diǎn)F，分別過(guò)G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連接DH，根據(jù)四點(diǎn)共圓得到半徑的大?。窘獯稹拷猓海↖）連接DE，根據(jù)題意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即又∠DAE=∠CAB，從而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB∴C，B，D，E四點(diǎn)共圓．（Ⅱ）m=4，n=6時(shí)，方程x2﹣14x+mn=0的兩根為x1=2，x2=12．故AD=2，AB=12．取CE的中點(diǎn)G，DB的中點(diǎn)F，分別過(guò)G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連接DH．∵C，B，D，E四點(diǎn)共圓，∴C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的圓心為H，半徑為DH．由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12﹣2）=5．故C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的半徑為5【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，考查與圓有關(guān)的比例線段，考查一元二次方程的解，考查四點(diǎn)共圓的判斷和性質(zhì)，本題是一個(gè)幾何證明的綜合題．22.為了解某單位員工的月工資水平，從該單位500位員工中隨機(jī)抽取了50位進(jìn)行調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：月工資（單位：百元）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）男員工數(shù)1810644女員工數(shù)425411（Ⅰ）完成如圖月工資頻率分布直方圖（注意填寫縱坐標(biāo)）；（Ⅱ）試由圖估計(jì)該單位員工月平均工資；（Ⅲ）若從月工資在[25，35）和[45，55）兩組所調(diào)查的女員工中隨機(jī)選取2人，試求這2人月工資差不超過(guò)1000元的概率．參考答案：【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式；頻率分布直方圖．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，分析可得各組的頻率，計(jì)算可得圖中各組的縱坐標(biāo)，即可得頻率分布直方圖；（Ⅱ）該單位員工月平均工資為各小矩形的面積與相應(yīng)的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘積之和；（Ⅲ）計(jì)算從6名女員工中隨機(jī)抽取2名的抽法種數(shù)，再計(jì)算這2人月工資差不超過(guò)1000元的抽法種數(shù)，利用古典概型概率公式計(jì)算．【解答】解：（Ⅰ）如圖（Ⅱ）20×0.1+30×0.2+40×0.3+50×0.2+60×0.1+70×0.1=43（百元）即該單位員工月平均工資估計(jì)為4300元．（Ⅲ）由上表可知：月工資在[25，35）組的有兩名女工，分別記作甲和乙；月工資在[45，