第三節(jié)估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)

一.無偏性則稱是的無偏估計量.第3節(jié)估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)估計量是隨機變量，對于不同的樣本值會得到不同的估計值。如果希望估計值在未知參數(shù)真值附近擺動，而它的期望值等于未知參數(shù)的真值。這就引出無偏性這個評選標(biāo)準(zhǔn)。定義：設(shè)是的估計量，若存在且對任意的有：注:在科學(xué)技術(shù)中稱為以作為的估計的系統(tǒng)誤差。則無偏估計即無系統(tǒng)誤差。無偏性的實際意義是指沒有系統(tǒng)性的偏差。它是用數(shù)學(xué)期望衡量其靠近真值的程度。用樣本均值作為總體均值的估計時，雖無法說明一次估計所產(chǎn)生的偏差，但這種偏差隨機地在“0〞的周圍波動，對同一統(tǒng)計問題大量重復(fù)使用不會產(chǎn)生系統(tǒng)偏差。

例如：例1.設(shè)總體X的均值,方差都存在，若證明:的兩個估計量前者是有偏的，后者是無偏的。證明:是有偏的.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（樣本方差）是無偏的。結(jié)論:樣本均值、樣本方差作為總體均值、總體方差的估計量是無偏的，它要比矩估計法，極大似然估計法出來的統(tǒng)計量更接近于真值。所以：一般可取樣本均值與方差作為總體均值與方差的估計量。二.有效性注意到，一個參數(shù)往往有不止一個無偏估計,若和都是參數(shù)的無偏估計量，又由于，這就引出有效

性這個評選標(biāo)準(zhǔn)。較和的大小來決定二者誰則可通過比更優(yōu)。定義：的估計，且兩個樣本的容量相等。若：設(shè)與都是的無偏則稱較

有效。注:有效性指的是在同是的無偏估計量的前提下,希望估計值與真值的偏離程度越小越好。一般稱方差愈小的估計量愈有效。例2.求:與哪個作為的無偏估計更有效？解:且顯然，若總體X的均值為方差，但均為未知，現(xiàn)有兩個的無偏估計量：用作為的估計量更有效。

三.一致性(相合性)注意到，前面介紹的無偏性和有效性都是在樣本容量n固定的前提下提出的。當(dāng)樣本容量n增大時自然希望估計量對未知參數(shù)的估計更精確；

再注意到，在無偏估計類中所討論的是以估計量的方差的大小作為衡量估計量為“最優(yōu)〞的準(zhǔn)那么。但是無偏估計類中方差為最小或較小的估計量不一定比某個有偏的估計量的方差來的??；另外，有偏與無偏是反映估計量的數(shù)學(xué)期望是否等于被估計的參數(shù)的真值；方差的大小是反映估計量的觀測值與被估計的參數(shù)的真值的離散程度。如果希望在偏差性與離散性兩者兼顧的原那么下建立估計量為“最優(yōu)〞的準(zhǔn)那么，這就引出相合性的概念。則稱為的一致估計量(相合估計量)注:一般，一致性〔相合性〕是要在樣本容量相當(dāng)大時才能顯示出其優(yōu)越性。但這在實際中很難做到。因此在工程中經(jīng)常使用的是無偏性和有效性這兩條衡量估計量為“最優(yōu)〞的準(zhǔn)那么。定義：設(shè)為參數(shù)的估計量，若對于任意的當(dāng)時依概率收斂于但值得指出的是：假設(shè)估計量不具有相合性，那么不管將樣本容量n取的多大，都不能使得待估計量估計的足夠準(zhǔn)確。即：似然函數(shù)為