吉林省長春市第八十中學2021-2022學年高三數學理模擬試卷含解析

吉林省長春市第八十中學2021-2022學年高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.巳知集合，是虛數單位，設為整數集，則集合中的元素個數是A．3個

B．２個

C．１個

D．0個參考答案：B略2.設樣本數據X1,X2,X3……..X10的均值和方差分別是1和4，若yi=xi+(為非零常數，i=1,2…..10),則y1,y2……….y10的均值和方差分別是

（

）

(A)1+，4

(B)1+4+

(C)1，4

(D)1,4+參考答案：A3.已知函數,若||≥,則的取值范圍是（

）A．

B.

C.

D．參考答案：D略4.若集合，，則集合等于（）A.

B.

C.

D.參考答案：D5.“”是“方程表示橢圓”的A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A6.已知q是等比數{an}的公比，則q＜1”是“數列{an}是遞減數列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：D【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】題目給出的數列是等比數列，通過舉反例說明公比小于1時數列還可能是遞增數列，反之，遞減的等比數列公比還可能大于1，從而得到“q＜1”是“等比數列{an}是遞減數列”的既不充分也不必要的條件．【解答】解：數列﹣8，﹣4，﹣2，…，該數列是公比q=的等比數列，但該數列是遞增數列，所以，由等比數{an}的公比q＜1，不能得出數列{an}是遞減數列；而數列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…是遞減數列，但其公比q=，所以，由數列{an}是遞減數列，不能得出其公比q＜1．所以，“q＜1”是“等比數列{an}是遞減數列”的既不充分也不必要的條件．故選D．7.已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若，則|QF|=（）A．

B．

C．3

D．6參考答案：B8.設全集U=Z，集合M=，P=，則P=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點】集合運算A1C解析：集合P，，，＝．故選C．【思路點撥】理解,直接求解即可.9.給出定義：若函數在上可導，即存在，且導函數在上也可導，則稱

在上存在二階導函數，記，若在上恒成立，則稱在上為凸函數。以下四個函數在上不是凸函數的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D10.函數的定義域為R，且定義如下：（其中M是實數集R的非空真子集），在實數集R上有兩個非空真子集A、B滿足，則函數的值域為

（

）]A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數，則函數的定義域為

.參考答案：12.已知中，角的對邊分別為，若，則

．參考答案：依題意，，故，即，可化得，故.方法二：依題意，，故，即，故.13.在矩形中，對角線與相鄰兩邊所成的角分別為、，則有，類比到空間中的一個正確命題是：在長方體中，對角線與相鄰三個面所成的角分別為、、，則__________.參考答案：考點：線面角及計算．【易錯點晴】本題考查的是合情推理中類比推理和空間直線與平面所成角的求法問題,解答時先依據類比推理的思維模式,猜想類比的結果為,再利用題設條件搞清直線與平面所成角的概念,分別建立題設中直線與平面所成角的余弦值的表達式,再逐一進行化簡與求解何證明.依據線面角的定義對角線相鄰三個面所成的角分別為、、線的余弦值分別為最后化簡獲得結果.14.已知函數則________.參考答案：0因為所以.試題立意：本小題主要考查分段函數；意在考查學生運算求解能力.15.在數列在經過點（5，3）的定直線l上，則數列的前9項和S9=

參考答案：答案：2716.已知命題p:?x∈R，x2+2ax+a≤0．若命題p是假命題，則實數a的取值范圍是___________．參考答案：（0,1）17.三棱錐ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點，F、G分別是CB、CD的中點，若，，則___________．參考答案：易知四邊形EFGH是平行四邊形，,，所以，,所以.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于,它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.（Ⅰ）求橢圓的方程；(Ⅱ)是橢圓上兩點，、是橢圓位于直線兩側的兩動點，若直線的斜率為求四邊形面積的最大值.參考答案：（本小題滿分13分）(Ⅰ）設方程為，則.由，得∴橢圓C的方程為.

…………5分(Ⅱ)（i）解：設，直線的方程為，代入，得

由，解得

…………8分由韋達定理得.四邊形的面積∴當，.

………13分略19.如圖，四棱錐C﹣ABB1A1內接于圓柱OO1，且A1A，B1B都垂直于底面圓O，BC過底面圓心O，M，N分別是棱AA1，CB1的中點，MN⊥平面CBB1．（1）證明：MN∥平面ABC；（2）求四棱錐C﹣ABB1A1與圓柱OO1的體積比．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）．【分析】（1）連接AO，NO，推導出四邊形AMNO是平行四邊形，由此能證明MN∥平面ABC．（2）設圓柱底面半徑為r，高為h，則AB=AC=r，=?AC，V圓柱=S△ABC?h，由此能求出四棱錐C﹣ABB1A1與圓柱OC1的體積比．【解答】證明：（1）如圖連接AO，NO，由O、N分別是BC，B1C的中點，則ONBB1…在圓柱中BB1⊥平面ABC，AA1⊥平面ABC，則AA1BB1又M是AA1的中點，則ONAM，故四邊形AMNO是平行四邊形…MN∥AO，又MN?平面ABC，AO?平面ABC，故MN∥平面ABC…解：（2）由題意MN⊥平面CBB1，MN∥AO，AO⊥平面CBB1又BC?平面CBB1，則AO⊥BC，在Rt△BAC中，則AB=AC在△ABC中，AC⊥AB，又AA1⊥AC，則AC⊥平面ABB1A1…設圓柱底面半徑為r，高為h，則AB=AC=r，=?AC==，…V圓柱=S△ABC?h=πr2?h=πhr2，…==．故四棱錐C﹣ABB1A1與圓柱OC1的體積比為2：3π．…20.（本小題滿分12分）如圖所示，將一矩形花壇擴建成一個更大的矩形花壇，要求點在上，點在上，且對角線過點，已知米，米．（I）要使矩形的面積大于32平方米，則的長應在什么范圍內？（II）當的長度是多少時，矩形花壇的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈担畢⒖即鸢福航猓海↖）設的長為（）米，則米∵，∴，

……2分∴

由得

，

又，得，解得：即長的取值范圍是

……7分

（II）矩形花壇的面積為

……10分當且僅當矩形花壇的面積取得最小值．故，的長度是米時，矩形的面積最小，最小值為平方米．…12分21.（13分）拋物線:（）,焦點為，直線交拋物線于、兩點,是線段的中點,過作軸的垂線交拋物線于點.（1）若拋物線上有一點到焦點的距離為，求此時的值；（2）是否存在實數，使是以為直角頂點的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

參考答案：（1）拋物線的焦點。，得。（或利用得，或（舍去））(2)聯立方程，消去得，設，則（），是線段的中點，，即，，得，若存在實數，使是以為直角頂點的直角三角形，則，即，結合（）化簡得，即，或（舍去），存在實數，使是以為直角頂點的直角三角形。

本題考查拋物線的性質，直線與圓錐曲線的位置關系。22.已知函數，其中，，是自然對數的底數.（Ⅰ）討論的單調性；（Ⅱ）設函數，證明：.參考答案：（Ⅰ）（1）當時，，當，；當，；所以在上單調遞減，在上單調遞增.（2）當時，令，得，由得，由得或，所以在，上單調遞增，在上單調遞減.