第10章含有耦合電感電路

第十章含有耦合電感的電路學習要點熟練掌握互感的概念；具有耦合電感電路的計算方法：①直接列寫方程的支路法或回路法。②受控源替代法。③互感消去法。掌握空心變壓器和理想變壓器的應(yīng)用。2023/7/71重點互感和互感電壓的概念及同名端的含義；含有互感電路的計算；空心變壓器和理想變壓器的電路模型。耦合電感的同名端及互感電壓極性的確定；含有耦合電感的電路的方程含有空心變壓器和理想變壓器的電路的分析。難點本章與其它章節(jié)的聯(lián)系本章的學習內(nèi)容建立在前面各章理論的基礎(chǔ)之上。2023/7/72耦合電感元件屬于多端元件，在實際電路中：收音機、電視機中的中周線圈(中頻變壓器)、振蕩線圈；整流電源里使用的電源變壓器；它們都是耦合電感元件，熟悉這類多端元件的特性，掌握包含這類多端元件的電路問題的分析方法非常必要。電力變壓器等；用于可控硅中頻電源、中頻電爐、超音頻電源的降壓、增流或升壓隔離的中頻變壓器；2023/7/73中周線圈(中頻變壓器)、振蕩線圈2023/7/7410kVA~300kVA的大功率單相、三相電源變壓器。焊接設(shè)備使用的主變壓器、控制變壓器。2023/7/75PowerTransformerTelecomTransformerAudioTransformer2023/7/762023/7/77§10-1互感1.互感的概念一個電感線圈的情況以上是熟悉的情況。L1N111'i1F11i1產(chǎn)生的磁通為F11。i1與F11的參考方向符合右手螺旋法則，為關(guān)聯(lián)的參考方向。F11穿越自身線圈時，產(chǎn)生的自感磁通鏈用Y11表示：Y11=L1i1當i1變化時，將產(chǎn)生自感電壓u11。-+u11若u11與i1取關(guān)聯(lián)參考方向則u11=dtdY11=L1dtdi12023/7/78若L1鄰近有一線圈L2，載流線圈之間通過彼此的磁場相互聯(lián)系的物理現(xiàn)象稱為磁耦合。

耦合線圈中的總磁通鏈應(yīng)該是自感磁通鏈和互感磁通鏈的代數(shù)和：

Y1=Y11±Y12Y2=Y22±Y21L1N111'i1F11L2N22'2則F11的F21F21稱為互感磁通。磁通鏈為Y21。同理：i2通過L2時也產(chǎn)生磁通F22

，i2F22F12F22的一部分F12也穿過L2。兩個線圈的情況一部分會穿過L2。2023/7/792.互感系數(shù)存在磁耦合的兩個線圈，當一個線圈的磁通發(fā)生變化時，就會在另一個線圈上產(chǎn)生感應(yīng)電壓，稱為互感電壓。Y11=L1i1，Y22=L2i2，Y12=M12i2，Y21=M21i1M12和M21稱互感系數(shù)。簡稱互感，單位是

H。不管是自感磁通鏈，還是互感磁通鏈，都與它的施感電流成正比：這就是互感現(xiàn)象。L1N111'i1F11L2N22'2F21i2F22F122023/7/710自感系數(shù)L總為正值，互感系數(shù)

M

值有正有負。L1N111'i1F11L2N22'2F21i2F22F12磁通鏈可表示為：M12=M21

=MM值與線圈的形狀、幾何位置、空間媒質(zhì)有關(guān)，與線圈中的電流無關(guān)，因此滿足：正值表示自感磁鏈與互感磁鏈方向一致，互感起增助作用，負值表示自感磁鏈與互感磁鏈方向相反，互感起削弱作用。Y1=L1i1±Mi2Y2=

L2i2±Mi12023/7/711L1N111'i1F11L2N22'2F21i2F22F123.同名端的概念及其判斷方法！通過線圈的繞向、位置和施感電流的參考方向，用右手螺旋法則，就可以判定互感是“增助”還是“削弱”。但實際的互感線圈往往是封閉的，看不出繞向；在電路圖中也無法反映繞向。L1L2+-+-u1u2i1i211'22'M2023/7/712常用同名端表明互感線圈之間的繞向關(guān)系。電流分別通入互感線圈時，使磁場相互增強的一對端點稱同名端。

無標記的另一對端點也是同名端。L1L2+-+-u1u2i1i211'22'ML1N111'i1F11L2N22'2F21i2F22F12

用“?”或“*”或“△”等標記。2023/7/713

判別方法之一1、2是同名端1'、2'也是同名端11'22'L1L2i1i2ML1L2+-+-u1u2i1i211'22'若能看出繞向，則根據(jù)線圈電流和磁通方向判定。兩個線圈分別施加電流i1、i2(均>0)，若產(chǎn)生的磁通方向相同，則i1、i2的流入端為同名端。2023/7/714兩個線圈分別施加電流i1、i2(均>0)，若產(chǎn)生的磁通方向相同，則i1、i2的流入端為同名端。當有兩個以上的電感彼此耦合時，同名端要用不同的符號一對一對標記。11'22'L1L2i1i2i1i2ML1L2+-+-u1u211'22'L1L2L3MM**M知道了同名端，在列寫耦合線圈的VCR時，就不必關(guān)心線圈的具體繞向了。2023/7/7154.互感電壓

若兩耦合電感線圈的電壓、電流都取關(guān)聯(lián)的參考方向，則當電流變化時有：同名端與互感電壓的參考極性

若i1從L1的同名端流入，則i1在L2中引起的互感電壓參考

“+”極在L2的同名端。u1=dtdY1=

L1dtdi1±Mdtdi2u2=dtdY2=

L2dtdi2±Mdtdi1ML1L2+-+-u1u2i1i211'22'++同樣，若i2從L2的同名端流入，則i2在L1中引起的互感電壓參考

“+”極在L1的同名端。2023/7/716練習：列出耦合電感的VCR若施感電流為同頻率正弦量，則耦合電感VCR的相量形式為：L1+-u1i1+-u2i2ML2u1=

L1dtdi1

-

Mdtdi2u2=

L2dtdi2

-

Mdtdi1.U1=jwL1.I1-jwM.I2.U2=jwL2.I2-jwM.I1相量形式：L1+-u1i1+-u2i2ML2u1=

L1dtdi1+Mdtdi2u2=-

L2dtdi2

-

Mdtdi1.U1=jwL1.I1+jwM.I2.U2=-jwM.I1-jwL2.I22023/7/717同名端的判別在實踐中占據(jù)重要地位。正確連接：無論串還是并，互感應(yīng)起“增助”作用。L1L2124TrL3110V110V3L12接3(串聯(lián))后，可將1、4接在220V的電源上使用。1接3、2接4(并聯(lián))后，可用在110V的電源上。而在含有互感線圈(變壓器耦合)的振蕩電路中，若搞錯同名端，則電路不起振。例如：需要順向串聯(lián)的兩個互感線圈，若錯接成反向串聯(lián)，則使輸入阻抗減小，導致電流增大，可能會燒壞線圈。2023/7/718

同名端的判別法之二：實驗法直流電壓表的正極直流電壓表的負極ML1L21234+-u1i1USS+-u2接線圖依據(jù)：同名端的互感電壓極性相同。mV+-設(shè)1、3是同名端u2=

Mdtdi1則S閉合后，dtdi1>0故u2>0說明u2的實際極性與參考極性相同。S閉合瞬間，若表針順時針偏轉(zhuǎn)，則假設(shè)正確。否則，1、4是同名端。因此2023/7/7195.耦合因數(shù)k一般情況下，一個線圈中的電流所產(chǎn)生的磁通只有一部分與鄰近線圈交鏈，另一部分稱為漏磁通。漏磁通越少，互感線圈之間的耦合程度越緊密。工程上常用耦合因數(shù)k表示其緊密程度：11'22'L1L2i1F21漏磁通F1sF11=F21+F1skdelY12Y11·Y21Y22代入Y11=L1i1，Y22=L2i2k=L1L2M≤10≤k的大小與兩線圈的結(jié)構(gòu)、相對位置和周圍的磁介質(zhì)有關(guān)。k=1為緊耦合。Y12=Mi2，Y21=M

i1得2023/7/720§10-2含有耦合電感電路的計算方法1：直接列寫方程法與一般電路相比，在列寫互感電路方程時，必須考慮互感電壓，并注意極性。對互感電路的正弦穩(wěn)態(tài)分析，用相量形式。方法2：互感消去法(去耦等效法)

通過列寫、變換互感電路的VCR方程，可以得到一個無感等效電路。分析計算時，用無感等效電路替代互感電路即可。2023/7/721

方法3：受控源替代法

重復前面的話：若i2從L2的同名端流互感電壓，控制量為相鄰電感的同名端確定。11'L1+-u1i1M22'L2+-u2i2.U2.I2jwL1jwM.I1.I211'+-jwL2jwM.I122'+-.U1可以用相量形式的CCVS替代互感電壓，從而將互感電壓明確地畫在電路中。施感電流。被控量為極性根據(jù)若i1從L1的同名端流入，則i1在L2中引起的互感電壓參考

“+”極在L2的同名端。的互感電壓參考

“+”極在L1的同名端。+-+-入，則i2在L1中引起2023/7/7221.耦合電感的串聯(lián)(1)L1、L2反向串聯(lián)時，無感等效電路如下u1=

R1i+

L1dtdi

-Mdtdi=

R1i+(L1-M)dtdiu2=

R2i+

L2dtdi-Mdtdi=

R2i+(L2-M)dtdi互感起“削弱”作用。由KVL(注意互感)得：L1+-ui+-u2ML2R1R2u1+-L1-M+-ui+-u2L2-MR1u1+-R22023/7/723相量形式：.U1=

R1.I+jw(L1-M).I=

Z1.I.U=.U1+.U2=(Z1+

Z2).I=

Z.Iu1=

R1i

+(L1-M)dtdiu2=

R2i

+(L2-M)dtdi式中Z1=

R1+jw(L1-M).U2=

R2.I+jw(L2-M).I=

Z2.I式中Z2=

R2+jw(L2-M)Z

=Z1+Z2

=(R1+

R2)

+jw(L1

+L2-2M)由KVL：jw(L1-M)+-+-R1R2+-.U.U1.U2.Ijw(L2-M)2023/7/724互感的“削弱”作用類似于“容性”效應(yīng)。由于耦合因數(shù)k≤1，所以(L1+L2-2M)≥0。電路仍呈感性。Z

=Z1+Z2

=(R1+

R2)

+jw(L1

+L2-2M)可見，當反向串聯(lián)時，由于互感的“削弱”作用，使每一條耦合電感支路阻抗(Z1、Z2)和輸入阻抗Z都比無互感時小。(L1-M)和(L2-M)有可能一個為負，但不會都為負。

友情提示：jw(L1-M)+-+-R1R2+-.U.U1.U2.Ijw(L2-M)2023/7/725(2)順向串聯(lián)用同樣的方法可得出：Z1=

R1+jw(L1+M)Z2=

R2+jw(L2+M)綜上：兩個串聯(lián)的耦合電感可以用一個等效電感L來替代：Z

=(R1+

R2)

+jw(L1+L2+2M)去耦等效電路為jwL1+-+-jwMR1R2+-.I.U.U1.U2jwL2jw(L1+M)+-+-R1R2+-.U.U1.U2.Ijw(L2+M)L

=

L1+

L2±2M順接取“+”，反接取“-”。2023/7/726解題指導：電路如圖，L1=0.01H，L2=0.02HR1=R2=10W，C=20mF，M=0.01H，U=6V。L1+-+-L2R1R2+-.U.I.U1.U2CMw=1000rad/s等效復阻抗為：Z=(R1+R2)+jw(L1+L2-2M)

-wC1求I、U1、U2。...解：耦合線圈為反向串聯(lián)L1改為L1-ML2改為L2-ML1-M+-+-L2-MR1R2+-.U.I.U1.U2Cw=1000rad/s去耦等效電路如圖。代入數(shù)據(jù)求得：Z=20-j40=

44.7-63.4oW2023/7/727.U1=[R1+jw(L1-M)].I=1.3463.4oV可進一步分析功率、串聯(lián)諧振等問題。L1+-+-L2R1R2+-.U.I.U1.U2CMw=1000rad/sZ=20-j40=

44.7-63.4oW設(shè).U=

60oV則：.I=Z.U=60o44.7-63.4o=

0.13463.4oAL1-M+-+-L2-MR1R2+-.U.I.U1.U2Cw=1000rad/s.U2=[R2+jw(L2-M)].I=1.90108.4oV2023/7/7282.耦合電感的并聯(lián)①jwL2jwL1

.U.I1.I2+-.I3②jwM.U

=jwL1.I1+jwM.I2.U+jwL2.I2=jwM.I1.I3

=.I1+.I2.U.I1

=jwL1+jwM.I3-.I1()=jw(L1-M).I1+jwM.I3

(1)同側(cè)并聯(lián)同名端接在同一結(jié)點上。把(3)代入(1)得……(1)……(2)………………(3)把(3)代入(2)得.U

=jwM.I3-.I2().I2

+jwL2=jwM.I3

+jw(L2-M).I22023/7/729.I3jwM.I1jw(L1-M)+-.U.I2jw(L2-M)②①1'①jwL2jwL1

.U.I1.I2+-.I3②jwM.U

=jw(L1-M).I1+jwM.I3

.U=jwM.I3

+jw(L2-M).I2由以上兩個方程得到(2)異側(cè)并聯(lián)去耦等效電路的推演過程從略。①jwL2jwL1

.U.I1.I2+-.I3②jwM異名端連接在同一個結(jié)點上。2023/7/730對去耦方法歸納如下：使用條件：兩個耦合電感必須有一側(cè)聯(lián)在一起，或經(jīng)電阻聯(lián)在一起。L2L1M312**L2-ML1-MM312同正異負L2L1M312R1R2L2+ML1+M-M312R1R2同減異加另一側(cè)可任意聯(lián)接。2023/7/731例：求圖示電路的開路電壓。解法1：列方程求解。由于L2中無電流，故L1與L3為反向串聯(lián)。所以電流

.US.I1=R

+jw(L1+

L3-2M31)

.UOC=jwM12.I1-jwM23.I1-jwM31.I1+jwL3.I1開路電壓為(注意互感電壓)將電流表達式代入得

.UOC=R

+jw(L1+

L3-2M31)jw(M12-M23-M31+L3)

.USL2L1M12+**-

.Uoc+-

.US

.I1L3△△M31M23R2023/7/732例：求圖示電路的開路電壓。解法2：互感消法。作去耦等效電路，一對一對地消去互感。L2L1M12+**-

.Uoc+-

.US

.I1L3△△M31M23RL1-M12+**-

.Uoc+-

.US

.I1L3+M12△△M31M23RL2-M12L1-M12+-

.Uoc+-

.US

.I1L3+M12△△M31RL2-M12+M23-M23-M232023/7/733例：求圖示電路的開路電壓。解法2：互感消法。作去耦等效電路，一對一對地消去互感。L2L1M12+**-

.Uoc+-

.US

.I1L3△△M31M23RL1-M12+-

.Uoc+-

.US

.I1L3+M12△△M31RL2-M12+M23-M23-M23L1-M12+M23+-

.Uoc+-

.US

.I1L3+M12-M23RL2-M12-M23-M31-M31+M312023/7/734由無互感電路得開路電壓

.UOC=R

+jw(L1+

L3-2M31)jw(L3+M12-M23-M31)

.USL1-M12+M23+-

.Uoc+-

.US

.I1L3+M12-M23RL2-M12-M23-M31-M31+M31例：求圖示電路的開路電壓。解法2：互感消法。L2L1M12+**-

.Uoc+-

.US

.I1L3△△M31M23R2023/7/735§10-3耦合電感的功率在含有耦合電感的電路中，兩個耦合的電感之間無功功率相等，有功功率或者均為零，或者通過磁耦合等量地進行傳輸，彼此平衡。電源提供的有功功率，在通過耦合電感的電磁場傳遞過程中，全部消耗在電路中所有的電阻(包括耦合電感線圈自身電阻)上?；ジ蠱是一個非耗能的儲能參數(shù)，兼有L和C的特性：同向耦合時，儲能特性與電感相同，使L中磁能增加；反向耦合時，儲能特性與電容相同，與L中的磁能互補(容性效應(yīng))。2023/7/736例10-6：R1=3W，R2=5W，

wL1=7.5W，wL2=12.5W，wM=8W，US=50V。求電路的復功率，并說明互感在功率轉(zhuǎn)換和傳遞中的作用。jwL1R1R2+-.US.I1jwL2jwMS.I2解：設(shè).US=

500oV回路方程為：(R1+jwL1).I1+jwM.I2=.USjwM.I1+(R2+jwL2)代入數(shù)據(jù)解得：.I1=8.81-32.93oA.I2=5.24168.87oA=SS.US.I1*≈(233+j582)+(137-j343)VAS2=0.I2jwM.I1+(R2+jwL2).I2*=I22≈(-137-j343)+(137+j343)VA(3+j7.5)I12+j8.I2I1*2023/7/737jwL1R1R2+-.US.I1jwL2jwMS.I2互感電壓發(fā)出無功功率補償L1、L2中的無功功率。完全補償線圈1吸收137W功率，兩耦合電感之間等量地傳輸有功功率，兩者恰好平衡，其和為零。=SS.US.I1*≈(233+j582)+(137-j343)VAS2jwM.I1+(R2+jwL2).I2*=I22≈(-137-j343)+(137+j343)VA(R1+jwL1).I12+jwM.I2=.I1*L1中的無功功率為582乏。不能完全補償，需電源提供無功功率239乏。傳遞給線圈2，供R2消耗。2023/7/738電源提供的有功功率P=USI1cos32.93o=370WjwL1R1R2+-.US.I1jwL2jwMS.I2.I2=5.24168.87oA.US=

500oV.I1=8.81-32.93oAR1=3W，R2=5WR1消耗I12

R1=233W，R2消耗I22

R2=137W，平衡。電源提供的無功功率Q=USI1sin32.93o=239Var，互感電壓發(fā)出無功功率343Var，L1吸收的無功功率為582Var。也平衡。2023/7/739§10-4變壓器原理1.常識變壓器是電工、電子技術(shù)中常用的電氣設(shè)備。有單相、三相之分。有便于調(diào)壓的自耦變壓器。

在低頻電路中使用的變壓器，如電力變壓器、電源變壓器、音頻變壓器、儀用互感器等，采用高導磁率的鐵磁材料制成心子(作為磁路)。在高頻電路中使用的變壓器，如振蕩線圈、中周變壓器等，則用鐵氧體材料作為心子。頻率很高時，用空(氣)心。220V0～250V2023/7/740從原理上說，變壓器由繞在一個共同心子上的兩個(或更多的)耦合線圈組成。+-+-.U1.U2N1N2.I1.I2Tr變壓器的圖形符號與文字符號+-.USZL一個線圈(N1)作為輸入，稱初級繞組，或原邊繞組，或原方繞組，或一次側(cè)繞組等。初級繞組接電源。所形成的回路稱初級回路或原邊回路等。另一個線圈(N2)為輸出，稱次級繞組，或副邊繞組，或副方繞組，或二次側(cè)繞組等。次級繞組接負載。所形成的回路稱次級回路或副邊回路等。2023/7/7412.空心(非鐵磁材料)變壓器的模型與分析方法選繞行方向與電流參考方向一致，列一、二次回路方程分析：jwL2jwL1R1.I1.I2-+1'1

.U12'2R2ZL+-

.U2jwM(R1+jwL1).I1+jwM.I2=.U1jwM.I1+(R2+jwL2+ZL)=0一次側(cè)和二次側(cè)兩個回路通過互感的耦合聯(lián)列在一起。令Z11=

R1+jwL1ZM=jwM稱為一次回路的阻抗。Z22=

R2+jwL2+ZL稱為二次回路的阻抗。稱為互感抗。則方程具有更簡明的形式Z11.I1+ZM.I2=.U1ZM.I1+Z22.I2=0(一次側(cè))(二次側(cè)).I22023/7/742解方程可得.I1=

Z11-ZMY22.U12=Z11+(wM)2

Y22

.U1ZiZi=.U1.I1=Z11+(wM)2Y22

為一次側(cè)輸入阻抗。它是二次回路阻抗和互感抗通過互感反映到一次側(cè)的等效阻抗。(wM)2Y22=(wM)2|Z22|1-j反映阻抗的性質(zhì)與Z22相反(wM)2Y22稱引入阻抗。所以又稱反映阻抗。感性變?nèi)菪?，容性變感性。jwL2jwL1R1.I1.I2-+1'1

.U12'2R2ZL+-

.U2jwM2023/7/743根據(jù).I1=

Z11+(wM)2

Y22

.U1可得一次側(cè)等效電路

Z11.I1-+1'1

.U1(wM)2Y22

jwL2jwL1R1.I1.I2-+1'1

.U12'2R2ZL+-

.U2jwM從等效電路看出，變壓器輸入端口的工作狀態(tài)隱含了二次端口的工作狀態(tài)。Z11.I1+ZM.I2=.U1ZM.I1+Z22.I2=0由變壓器方程得.I2=-Z22ZM.I1.U2=-ZL.I2=Z22ZMZL.I1用I1

表示了U2。..2023/7/744也可以用二次等效電路研究一、二次側(cè)的關(guān)系現(xiàn)用戴維寧定理分析如下(注意方法)：jwL2jwL1R1.I1.I2-+1'1

.U12'2R2ZL+-

.U2jwM.Uoc+-.I2=0，一次側(cè)無互感電壓。.I1=

Z11.U1=

Y11.U1在次級回路.Uoc為.I1

產(chǎn)生的互感電壓：.Uoc=jwM.I1

=jwMY11.U1再求等效阻抗jwL2jwL1R1.I1.I1'12'2R2+-

.UjwM列回路電流方程(注意互感)2023/7/745(R2+jwL2)(R2+jwL2).I

+jwM(-jwMY11.I

)=.U.Uoc=jwMY11.U1Z11.I1+jwM.I

=0.I

+jwM.I1=.U列回路方程消去.I1Zeq=.U.I

=(R2+jwL2)+(wM)2Y11Zeq.I2-+2'2jwMY11.U1ZL

-+.U2.I2=

-jwMY11.U1Zeq+ZL一次回路反映到二次回路的阻抗。二次等效電路jwL2jwL1R1.I1.I1'12'2R2+-

.UjwM2023/7/746空心變壓器電路分析方法方程分析法

等效電路分析法Z11.I1+ZM.I2=.U1ZM.I1+Z22.I2=0jwL2jwL1R1.I1.I2-+1'1

.U12'2R2ZL+-

.U2jwMZ11.I1-+1'1

.U1(wM)2Y22

Zeq.I2-+2'2jwMY11.U1ZL

-+.U2基于方程分析法得到?！?/p>

二次等效電路一次等效電路還有去耦等效分析法，略。T型、或G型等效電路。2023/7/7473.例題分析：思路1：利用等效電路。Zeq=jwL2+(wM)2Y11=-

j28W

Z22=jwL2+ZL=3+j12W

-+

.U1M+-

.U2L1L2.I1.I2ZLL1=5H，L2=1.2H，M=2H，ZL=3W。求i1、i2。u1=100cos(10t)V一次Z11.I1-+1'1

.U1(wM)2Y22

Z11=jwL1=j50WZeq.I2-+2'2jwMY11.U1ZL

-+.U2二