2023年春季高一數(shù)學(xué)（答案）修正版

高一數(shù)學(xué)試題第頁（共8頁）保密★啟用前2022-2023學(xué)年度下學(xué)期泉州市保密★啟用前2023．07高一數(shù)學(xué)本試卷共22題，滿分150分，共6頁?？荚囉脮r120分鐘。注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．考生作答時，將答案答在答題卡上。請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。在草稿紙、試題卷上答題無效。3．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號；非選擇題答案使用毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)，則A． B． C． D．【命題意圖】本小題主要考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的基本運算、模長等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性．【試題簡析】解法1因為，所以.解法2因為，所以.故選B．2．為貫徹國家體育總局提出的“陽光體育”運動要求，某校舉行了全校大課間跑操比賽.現(xiàn)從該校隨機抽取個班級的比賽成績,得到以下統(tǒng)計表,由統(tǒng)計表可得這個比賽成績的第百分位數(shù)是成績678910班級數(shù)A． B． C． D．【命題意圖】本小題考查百分位數(shù)等基礎(chǔ)知識；考查運算求解的基本能力；導(dǎo)向教學(xué)對邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的關(guān)注；體現(xiàn)基礎(chǔ)性．【試題簡析】由，得出第百分位數(shù)是第和第個成績的平均數(shù)，所以第百分位數(shù)為，故選．3．已知向量，，則在上的投影向量為A． B． C． D．【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)的定義、向量夾角、投影向量等基礎(chǔ)知識；考查邏輯推理、運算求解、數(shù)形結(jié)合等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性，導(dǎo)向?qū)χ庇^想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的關(guān)注．【試題簡析】解法1，則在上的投影向量為．解法2由圖可得，在軸上的投影數(shù)量為，則在上的投影向量．故選B．4．從,,,,這五個數(shù)中隨機抽取兩個不同數(shù)字，則這兩個數(shù)字乘積為偶數(shù)且它們的和大于的概率為A． B． C． D．【命題意圖】本題主要考查古典概型、概率等基礎(chǔ)知識；考查運算求解的基本能力；導(dǎo)向教學(xué)對數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)的關(guān)注；體現(xiàn)基礎(chǔ)性.【試題簡析】從,,,,這五個數(shù)中隨機抽取兩個不同數(shù)字的樣本空間是，，，，，，，，，，共個樣本點，記事件“這兩個數(shù)字乘積為偶數(shù)且和大于”，則，，，，共個樣本點，所以．故選D．5．用平行于正四棱錐底面的平面去截該棱錐，把底面和截面之間的那部分多面體叫做正四棱臺，經(jīng)過正四棱臺不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做該正四棱臺的對角面．若正四棱臺的體積為，上、下底面邊長分別為，，則該棱臺的對角面面積為A． B． C． D．【命題意圖】本小題主要考查棱臺的體積、幾何體的截面等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性．【試題簡析】解法1設(shè)截去小錐體的高為，棱臺的高為，則，得．由，解得．所以對角面面積為．故選A．解法2設(shè)截去小錐體的體積為，高為，則，又，所以，所以，解得．所以棱臺的高，所以對角面面積為．故選A．解法3如圖，設(shè)，分別為正四棱臺上、下底面的中心，由題意，知等腰梯形為棱臺的對角面，且既為棱臺的高，也為對角面的高；由棱臺體積公式，有，解得；所以．故選A．6．已知向量，，若向量與的夾角等于與的夾角，則可以是A． B． C． D．QUOTE150°【命題意圖】本小題主要考查向量的夾角、向量的數(shù)量積、平面向量的分解等基礎(chǔ)知識；考查邏輯推理、運算求解、數(shù)形結(jié)合等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性，導(dǎo)向?qū)χ庇^想象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的關(guān)注．【試題簡析】解法1由向量與的夾角等于與的夾角即，可得，可得，對于選項A：可得，故選項A錯誤；對于選項B：可得，故選項B錯誤；對于選項C：，故選項C正確；對于選項D：，故選項D錯誤．故選C．解法2由圖可知，向量與，的夾角均為，即向量在向量，方向上分解的長度始終相等，又,，故恒成立，故選C.7．2022年6月5日，神舟十四號載人飛船成功與天和核心艙對接形成組合體，并于12月4日成功返回地面.本次任務(wù)的完成見證了貨運飛船與空間站交會對接最快世界紀錄等眾多歷史性時刻.如圖，神州十四號返回艙接近地面時，傘面是表面積約為的半球面(不含底面圓)，傘頂與返回艙底端的距離為半球半徑的倍，直線在水平地面上的投影為，和觀測點在同一水平線上.在遙控觀測點處測得點的仰角為，線段的視角（即）的正弦值為，則此時返回艙底端離地面的高度約為求解示意圖求解示意圖A． B． C． D．【命題意圖】本小題主要考查球的表面積公式，正弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)運算，直觀想象，數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性與應(yīng)用性．【試題簡析】解法1設(shè)半球半徑為米，則，則，所以，因為仰角，則，又，所以在中，，所以，因為，則，所以在直角中，，故選B．解法2設(shè)半球半徑為米，則，則，所以，因為仰角，則，又，所以在中，，所以，因為，則所以，即可得可解得，所以，則，故選B．8．已知為的外心，，，，則的面積為A． B． C． D．【命題意圖】本小題主要考查三角形外心定義、向量的投影、向量的數(shù)量積運算、向量的模、正弦定理等基礎(chǔ)知識；考查邏輯推理、運算求解、數(shù)形結(jié)合等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性，創(chuàng)新性，導(dǎo)向?qū)?shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的關(guān)注．【試題簡析】由為的外心可得，，，故，又，可得，故，則的面積為,故選D．二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。9．已知直線，與平面，，，則的充分條件可以是A．， B．，C．， D．，，【命題意圖】本小題主要考查空間中直線和平面的位置關(guān)系、平面與平面平行的判定等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性．【試題簡析】對于選項A：已知，，由平行的傳遞性可得；對于選項B：已知，，聯(lián)想到“墻角模型”，可知無法推出；對于選項C：已知，則可找到內(nèi)的兩條相交直線，有，過構(gòu)造一平面交于直線，又，則，所以；同理，所以；對于選項D：已知，，，等價于，，由選項C可知結(jié)論正確．故選擇ACD．10．下圖是年和年小明家庭各項支出的比例分配圖，其中每年用于房貸的支出費用相等，則A．總支出年比年增長B．用于飲食的支出費用年與年相等C．用于交通的支出費用年與年相等D．用于娛樂的支出費用年比年增長【命題意圖】本小題主要考查扇形統(tǒng)計圖的基礎(chǔ)知識；考查數(shù)學(xué)問題與統(tǒng)計圖表的閱讀理解能力，數(shù)據(jù)處理、運算求解能力；體現(xiàn)基礎(chǔ)性，導(dǎo)向?qū)?shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的關(guān)注.【試題簡析】對于選項：因為每年用于房貸的支出費用相等，設(shè)為，則年總支出為，年總支出為，故選項正確；對于選項B：年與年飲食支出分別為，，故選項B錯誤；對于選項C：年與年交通支出分別為，，故選項C正確；對于選項D：年與年總支出不一樣，故選項D錯誤；故選．11．在中，，，，是邊上的一點，則A． B．外接圓的半徑是C．若，則 D．若是的平分線,則【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積、爪子型三角形中向量的表示、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性．【試題簡析】對于選項：，故選項正確；對于選項B：由余弦定理，得，解得，由正弦定理，得外接圓的半徑是，故選項B錯誤；對于選項C：因為，所以，所以，則，故選項C正確；對于選項D：由等面積法，得即，解得，故選項D正確；故選．12．如圖，正三棱柱的上底面上放置一個圓柱，得到一個組合體，其中圓柱的底面圓內(nèi)切于，切點，分別在棱，上，為圓柱的母線．已知圓柱的高為，側(cè)面積為，棱柱的高為，則A．∥平面B．C．組合體的表面積為D．若三棱柱的外接球面與線段交于點，則與平面所成角的正弦值為【命題意圖】本小題主要考查組合體、空間位置關(guān)系、表面積、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性．【試題簡析】對于選項A：由題意，可知切點，分別為，的中點，作出平面截組合體所得截面，如下圖1：由圖可知，，分別在截面的兩側(cè)，故選項A錯誤；對于選項B：由題意，可知圓柱底面半徑為，所以棱柱底面邊長為；如下圖2：分別取，的中點，，連接，，，，，則，所以，，，四點共面，又，所以，所以，因為平面，所以，又，所以平面，因為平面，所以，故選項B正確；對于選項C：由于圓柱的下底面與棱柱的上底面有重疊部分，因此表面積，故選項C正確；對于選項D：如下圖3：取的中心，則的中點為棱柱的外接球球心，連接，，由勾股定理，得外接球半徑；連接，在平面內(nèi)過作，垂足為，則，由勾股定理，得，所以，所以，，由余弦定理，得，所以，所以；設(shè)到平面的距離為，與平面所成的角為，由，有，即，解得，所以，故D正確．故選BCD．圖1圖2圖3三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。將答案填在答題卡的相應(yīng)位置。13．在△中，，，，則．【命題意圖】本小題主要考查余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查推運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性．【試題簡析】因為，所以．14．2022年8月16日，航天員的出艙主通道——問天實驗艙氣閘艙首次亮相．某高中為了解學(xué)生對這一新聞的關(guān)注度，采用按比例分配的分層抽樣方法從高中三個年級中抽取了45人進行問卷調(diào)查，其中高一年級抽取了18人，高二年級抽取了12人，且高三年級共有學(xué)生1200人，則該高中的學(xué)生總數(shù)為人．【命題意圖】本小題主要考查按比例分配的分層抽樣方法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性．【試題簡析】從高中三個年級抽取45人組成樣本，分別從高一年級、高二年級和高三年級抽取了18人，12人，15人，樣本結(jié)構(gòu)比為高一：高二：高三，所以該高中的學(xué)生總數(shù)為人，所以應(yīng)該填．15．設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，則．【命題意圖】本小題主要考查復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的四則運算、幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性與應(yīng)用性．【試題簡析】由復(fù)數(shù)，滿足可知，復(fù)數(shù)，對應(yīng)于復(fù)平面的點位于圓心在原點，半徑為的圓上，又，可知對應(yīng)于復(fù)平面的點也位于圓心在原點，半徑為的圓上．根據(jù)平行四邊形法則和條件，知在中，，，，所以，則，故答案應(yīng)為.16．在三棱錐中，，平面，，，則與所成的角為．【命題意圖】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性．【試題簡析】如圖，以，為鄰邊將補成矩形，連接，則（或其補角）為與所成的角．由平面，得，又，，所以平面．因為平面，所以．又，所以．故與所成的角為．四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．（10分）在△中，內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求；（2）求的最小值.【命題意圖】本小題主要考查解三角形的正、余弦定理、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性．【試題簡析】（1）因為，由正弦定理得， 1分又， 2分所以， 3分又，所以， 4分而，所以. 5分（2）解法1因為 6分， 7分所以， 8分因為，所以的最大值為1， 9分故的最小值為. 10分解法2因為， 6分所以， 7分又因為，所以， 8分所以，當且僅當時取等號， 9分故的最小值為. 10分18．（12分）在矩形中，，，是的中點，是邊上的三等分點（靠近點），與交于點．（1）設(shè)，，請用，表示和；（2）求與夾角的余弦值．【命題意圖】本小題主要考查平面向量基本定理、向量的數(shù)量積運算、向量的夾角運算等基礎(chǔ)知識；考查邏輯推理、運算求解、數(shù)形結(jié)合等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性，導(dǎo)向?qū)χ庇^想象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的關(guān)注．【試題簡析】解法1（1）由圖可得： 2分 4分（2）由于與的夾角等于與的夾角 6分 7分 8分 10分與夾角的余弦值為，即與夾角的余弦值為 12分解法2由于與的夾角等于與的夾角 6分建立如圖所示坐標系可得，，，，，， 7分故， 8分， 9分 10分與夾角的余弦值為，即與夾角的余弦值為 12分19．（12分）泉州,作為古代海上絲綢之路的起點，具有深厚的歷史文化底蘊，是全國同時擁有聯(lián)合國三大類非遺項目的唯一城市.為高效統(tǒng)籌整合優(yōu)質(zhì)文旅資源，文旅局在“五一”假期精心策劃文旅活動，使得來泉旅游人數(shù)突破了萬人次.某數(shù)學(xué)興趣小組為了解來泉游客的旅游體驗滿意度，用問卷的方式隨機調(diào)查了名來泉旅游的游客，被抽到的游客根據(jù)旅游體驗給出滿意度分值（滿分分），該興趣小組將收集到的數(shù)據(jù)分成五段：，，，，，處理后繪制了如下頻率分布直方圖：（1）求圖中的值，并估計名游客滿意度分值的中位數(shù)；（2）已知在的平均數(shù)為，方差為，在的平均數(shù)為，方差為，試求被調(diào)查的名游客的滿意度分值的平均數(shù)及方差.【命題意圖】本題考查頻率分布直方圖、平均數(shù)、中位數(shù)、方差等基礎(chǔ)知識；考查數(shù)據(jù)處理、運算求解等基本能力；導(dǎo)向教學(xué)對數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)的關(guān)注；體現(xiàn)基礎(chǔ)性、應(yīng)用性.【試題解析】解：（1）由頻率分布直方圖可得：，解得 分由頻率分布直方圖， 分因此，中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)， 分 分可以估計名游客滿意度分值的中位數(shù)為 分（2）把在的平均數(shù)記為，方差記為；在的平均數(shù)記為，方差記為；在的平均數(shù)記為，方差記為 分由題得，，，，，在的頻率為，在的頻率為則 分由 分可得 分即被調(diào)查的名游客的滿意度分值的方差為 分

20．（12分）如圖，在三棱柱中，底面是等邊三角形，側(cè)面是矩形，，，是的中點．（1）求證：平面；（2）求到平面的距離．【命題意圖】本小題主要考查直線與平面垂直、棱錐的體積、點到平面的距離等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力和應(yīng)用意識，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性．【試題簡析】（1）由為等腰直角斜邊的中點，得．在三棱柱中，，所以，所以，即． 2分因為側(cè)面是矩形，所以， 3分又，平面，平面，所以平面． 4分（2）解法1連接交于點，連接，則為的中點，所以到平面的距離等于到平面的距離，設(shè)此距離為．由（1）知平面，又，所以平面，因為平面，所以， 6分所以．又，所以，所以，所以，又，平面，平面，所以平面． 8分因為，所以，又，所以，所以，所以． 10分由，得，所以，解得．即到平面的距離為． 12分解法2連接交于點，連接，在平面內(nèi)過點作，垂足為，則為的中點． 5分因為，所以． 6分由（1）知平面，又，所以平面，因為平面，所以，所以，所以．又，平面，平面，所以平面． 8分因為平面，所以，又，平面，平面，所以平面． 10分又，由，得，解得．即到平面的距離為． 12分21．（12分）在平面四邊形中，點在直線的兩側(cè)，，，四個內(nèi)角分別用表示，.（1）求；（2）求與的面積之和的最大值．【命題意圖】本小題主要考查解三角形、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識，考查推理論證、運算求解等能力，考查數(shù)形結(jié)合和化歸與轉(zhuǎn)化等思想，體現(xiàn)綜合性與應(yīng)用性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的關(guān)注．【試題解析】（1）解法1聯(lián)想到勾股定理，預(yù)感． 1分對照題設(shè)條件，確認能滿足題意，至少為其中的一個解. 2分因為，，均為定值，兩邊及夾角確定，則三角形唯一確定，所以． 5分解法2在中，由余弦定理，得． 2分，，，所以，即． 3分所以， 4分故． 5分（2）設(shè)，.因為，所以，所以四點共圓，且BC為該圓的直徑， 6分從而，.， 7分， 8分在中，，. 9分所以. 11分因為，,，，故當時，.故與的面積和的最大值為． 12分22．（12分）如圖，在正三棱柱中，，為的中點，，在上，．（1）試在直線上確定點，使得對