2022-2023學(xué)年山東省臨沂市沂水第二十一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2022-2023學(xué)年山東省臨沂市沂水第二十一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若，則的取值范圍是

(

）A．（0，1）

B．（0，）C．（，1）

D．（0，1）∪（1，+∞）參考答案：C2.在△ABC中，sinA=，，則△ABC的面積為（）A．3 B．4 C．6 D．參考答案：A【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】由題意結(jié)合數(shù)量積的運算可得，而△ABC的面積S=，代入數(shù)據(jù)計算可得．【解答】解：由題意可得，又sinA=，故可得cosA=，故=10故△ABC的面積S===3故選A3.直線與直線互相垂直，則的值為

（

）

A．

B.

C．

D．參考答案：C4.已知a=2﹣1.2，b=log36，c=log510，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a(chǎn)＜b＜c D．a(chǎn)＜c＜b參考答案：D【考點】對數(shù)值大小的比較．【分析】a=2﹣1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，可得b＞c．即可得出．【解答】解：a=2﹣1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，∴b＞c．∴b＞c＞a．故選：D．【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5.已知是首項為1的等比數(shù)列，是的前n項和，且，則數(shù)列的前5項和為（

）A．或5

B．或5

C．

D．參考答案：C6.復(fù)數(shù)的虛部是A.

B.

C.

D.參考答案：B，所以虛部為，選B.7.惠州市某機(jī)構(gòu)對兩千多名出租車司機(jī)的年齡進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出100名司機(jī)，已知抽到的司機(jī)年齡都在歲之間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出司機(jī)的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如右圖所示，利用這個殘缺的頻率分布直方圖估計該市出租車司機(jī)年齡的中位數(shù)大約是(

)（A）歲

（B）歲（C）歲

（D）歲參考答案：C由面積和為1，知的頻率為，為保證中位數(shù)的左右兩邊面積都是，必須把的面積劃分為，此時劃分邊界為，故選C．8.已知函數(shù)y=f（2x）+x是偶函數(shù)，且f（2）=1，則f（﹣2）=（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：B【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)，令x=1，即可得到結(jié)論．【解答】解：∵y=f（2x）+x是偶函數(shù)，∴f（﹣2x）﹣x=f（2x）+x，∴f（﹣2x）=f（2x）+2x，令x=1，則f（﹣2）=f（2）+2=3．故選：B【點評】本題主要考查函數(shù)值的計算，利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)得到方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，注意要學(xué)會轉(zhuǎn)化．9.已知x，y∈R，且x＞y＞0，則下式一定成立的是（）A．﹣＞0 B．2x﹣3y＞0 C．（）x﹣（）y﹣x＜0 D．lnx+lny＞0參考答案：C【考點】不等式的基本性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式．【分析】對于A．由x＞y＞0，無法得出x﹣y與y的大小關(guān)系，即可判斷出結(jié)論．對于B．取x=3，y=2，即可判斷出正誤．對于C．由x＞y＞0，可得x＞0＞y﹣x，利用指數(shù)函數(shù)y=在R上的單調(diào)性即可判斷出正誤．對于D．取x=，y=，可得lnx+lny＜0，即可判斷出結(jié)論．【解答】解：A．由x＞y＞0，無法得出x﹣y與y的大小關(guān)系，因此A不成立．B．取x=3，y=2，23＜32，因此不成立．C．∵x＞y＞0，x＞0＞y﹣x，∴＜，因此成立．D．取x=，y=，則lnx+lny＜0，因此不成立．故選：C．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．10.設(shè)x∈R，則“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要條件，故選A．考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某圓柱切割獲得的幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是中心角為的扇形，則該幾何體的體積為__________．參考答案：

12.在△ABC中，已知∠A＝45°，，BC＝2，則∠C＝____________.參考答案：30°略13.已知集合A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，則A∩B=．參考答案：{﹣1，0}【考點】交集及其運算．【分析】由A與B，求出兩集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0}，故答案為：{﹣1，0}．14.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部是_______________．參考答案：略15.運行如圖所示的算法框圖，則輸出的結(jié)果S為

參考答案：略16.已知，則=

.參考答案：17.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，，則實數(shù)的取值范圍是參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.2014年“雙節(jié)”期間，高速公路車輛較多．某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如圖的頻率分布直方圖．（1）求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)的估計值；（2）若從車速在[60，70）的車輛中任抽取2輛，求車速在[65，70）的車輛恰有一輛的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；散點圖．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】（1）眾數(shù)的估計值為最高的矩形的中點，由此能求出眾數(shù)的估計值；設(shè)圖中虛線所對應(yīng)的車速為x，由頻率分布直方圖能求出中位數(shù)的估計值和平均數(shù)的估計值．（2）從頻率分布直方圖求出車速在[60，65）的車輛數(shù)、車速在[65，70）的車輛數(shù)，設(shè)車速在[60，65）的車輛設(shè)為a，b，車速在[65，70）的車輛設(shè)為c，d，e，f，利用列舉法能求出車速在[65，70）的車輛恰有一輛的概率．【解答】解：（1）眾數(shù)的估計值為最高的矩形的中點，即眾數(shù)的估計值等于77.5，設(shè)圖中虛線所對應(yīng)的車速為x，則中位數(shù)的估計值為：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，解得x=77.5，即中位數(shù)的估計值為77.5，平均數(shù)的估計值為：5×（62.5×0.01+67.5×0.02+72.5×0.04+77.5×0.06+82.5×0.05+87.5×0.02）=77．（2）從圖中可知，車速在[60，65）的車輛數(shù)為：m1=0.01×5×40=2（輛），車速在[65，70）的車輛數(shù)為：m2=0.02×5×40=4（輛）設(shè)車速在[60，65）的車輛設(shè)為a，b，車速在[65，70）的車輛設(shè)為c，d，e，f，則所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15種其中車速在[65，70）的車輛恰有一輛的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f）共8種∴車速在[65，70）的車輛恰有一輛的概率為．【點評】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運用．19.（本小題滿分10分）已知，（其中）.(1)求；(2)求證：當(dāng)時，．參考答案：(1)取，則；取，則，∴；

…………4分(2)要證，只需證，當(dāng)時，；假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即，兩邊同乘以3得：而∴，即時結(jié)論也成立，∴當(dāng)時，成立.綜上原不等式獲證.

……………………10分20.已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)T，對任意x∈R，有f(x+T)=Tf(x)成立.

（Ⅰ）函數(shù)f(x)=x是否屬于集合M？說明理由；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)=ax（a>0,且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點，證明：

f(x)=ax∈M；

（Ⅲ）若函數(shù)f(x)=sinkx∈M,求實數(shù)k的值.參考答案：解：（Ⅰ）對于非零常數(shù)T，f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx.因為對任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，所以f(x)=

------（2分）（Ⅱ）因為函數(shù)f(x)=ax（a>0且a≠1）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點，所以方程組：有解，消去y得ax=x,顯然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常數(shù)T，使aT=T.于是對于f(x)=ax有

故f(x)=ax∈M.

------（3分）（Ⅲ）當(dāng)k=0時，f(x)=0，顯然f(x)=0∈M.當(dāng)k≠0時，因為f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常數(shù)T，對任意x∈R，有f(x+T)=Tf(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx.因為k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，于是sinkx∈[－1，1]，sin(kx+kT)∈[－1，1]，故要使sin(kx+kT)=Tsinkx.成立，只有T=，當(dāng)T=1時，sin(kx+k)=sinkx成立，則k=2mπ,m∈Z.當(dāng)T=－1時，sin(kx－k)=－sinkx成立，即sin(kx－k+π)=sinkx成立，則－k+π=2mπ,m∈Z，即k=－2(m－1)π,m∈Z.綜合得，實數(shù)k的取值范圍是{k|k=mπ,m∈Z}

------（5分）21.已知動點與平面上兩定點連線的斜率的積為定值．（1）試求動點的軌跡方程；（2）設(shè)直線與曲線交于M．N兩點，當(dāng)時，求直線的方程．參考答案：

解：（1）設(shè)點，則依題意有，整理得，由于，22.如圖，邊長為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直，AF∩BC=O，DE=，ED∥AF且∠DAF=90°（1）求證：DE⊥平面BCE（2）過O作OH⊥平面BEF，垂足為H，求二面角H﹣AE﹣O的余弦值．參考答案：【分析】（1）由AF⊥面BCE，且DE∥AF，即可得DE⊥面BCE．（2）取BF中點G，連結(jié)EG，過O作OH垂直EG于H，則有OH⊥面BEF．如圖以O(shè)為原點，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．則A（0，﹣，0），E（0，0，2），O（0，0，0），G（）二面角H﹣AE﹣O等于二面角G﹣AE﹣O，利用面AEG、面AEO的法向量求解．【解答】解：（1）∵正方形ABFC的對角線AF、BC互相垂直，面ABFC⊥面ADEF，ABFC∩面ADEF=AF∴AF⊥面BCE，且DE∥AF，∴DE⊥面BCE．（2）∵∠DAF=90°，面AB