初三數(shù)學(xué)同步教學(xué)-一元二次方程(5)一元二次方程的應(yīng)用(基礎(chǔ)卷)

讓更多的孩子得到更好的教育PAGE地址：北京市西城區(qū)新德街20號(hào)4層電話真4頁(yè)共8頁(yè)一元二次方程的應(yīng)用（基礎(chǔ)）撰稿：張曉新審稿：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程模型并解決實(shí)際問題，總結(jié)運(yùn)用方程解決實(shí)際問題的一般步驟；

2.通過列方程解應(yīng)用題，進(jìn)一步提高邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟1.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

2.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；

設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；

列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）

答(寫出答案，切忌答非所問).

要點(diǎn)詮釋：列方程解實(shí)際問題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.

知識(shí)點(diǎn)二、一元二次方程應(yīng)用題的主要類型1.數(shù)字問題(1)任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、

千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位數(shù).

如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個(gè)三位數(shù)可表示為：

100c+10b+a.

(2)幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1.

如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1，x+1.

幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.

如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2，x+2.

2.平均變化率問題

列一元二次方程解決增長(zhǎng)(降低)率問題時(shí)，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長(zhǎng)率或降低率，以及增長(zhǎng)或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)或降低兩次.

(1)增長(zhǎng)率問題：

平均增長(zhǎng)率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量.)

(2)降低率問題：

平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)

3.利息問題

(1)概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫期數(shù).

利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期數(shù)

利息稅=利息×稅率

本金×(1+利率×期數(shù))=本息和

本金×[1+利率×期數(shù)×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時(shí))

4.利潤(rùn)(銷售)問題

利潤(rùn)(銷售)問題中常用的等量關(guān)系：

利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)

總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)×總件數(shù)

5.形積問題

此類問題屬于幾何圖形的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.

要點(diǎn)詮釋：列一元二次方程解應(yīng)用題是把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問題的解決.這是在解決實(shí)際問題時(shí)常用到的數(shù)學(xué)思想—方程思想.【典型例題】類型一、數(shù)字問題1．已知兩個(gè)數(shù)的和等于12，積等于32，求這兩個(gè)數(shù)是多少．【答案】4和8.【解析】如果設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x，那么另一個(gè)數(shù)可表示為(12-x)，依題意得：x(12-x)＝32，整理得x2-12x+32＝0解得x1＝4，x2＝8，當(dāng)x＝4時(shí)12-x＝8；當(dāng)x＝8時(shí)12-x＝4．所以這兩個(gè)數(shù)是4和8．類型四、形積問題4．(2010·山東濟(jì)南)如圖所示，某幼兒園有一道長(zhǎng)為16米的墻，計(jì)劃用32米長(zhǎng)的圍欄靠墻圍成一個(gè)面積為120平方米的矩形草坪ABCD，求該矩形草坪BC邊的長(zhǎng)．【答案與解析】解：設(shè)草坪ABCD的BC邊長(zhǎng)x米，則寬AB為根據(jù)題意，得整理得：x2-32x+240＝0，∴(x-12)(x-20)＝0．解得：x1＝12，x2＝20又由題意知：BC≤16．∴x＝20(不合題意，舍去)．∴該矩形草坪BC邊的長(zhǎng)為12米．【點(diǎn)評(píng)】1．結(jié)合圖形分析數(shù)量關(guān)系是解決面積等幾何問題的關(guān)鍵；2．注意檢驗(yàn)一元二次方程的兩個(gè)解是否符合題意．【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．在一幅長(zhǎng)80cm、寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示．如果要使整個(gè)掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是()．A．x2+130x-1400＝0B．x2-65x-350＝0C．x2-130x-1400＝0D．x2+65x-350＝02．為了改善居民住房條件，我市計(jì)劃用未來兩年的時(shí)間，將城鎮(zhèn)居民的住房面積由現(xiàn)在的人均約為10cm2提高到12.1m2A．9%B．10%C．11%D．12%3．某農(nóng)機(jī)廠四月份生產(chǎn)零件50萬個(gè)，第二季度共生產(chǎn)零件182萬個(gè)，設(shè)該廠五、六月份平均每月的增長(zhǎng)率為x，那么x滿足的方程是()．A．50(1+x)2＝182B．50+50(1+x)+50(1+x)2＝182C．50(1+2x)＝182D．50+50(1+x)+50(1+2x)＝1824．一個(gè)矩形的長(zhǎng)是寬的3倍，若寬增加3cm，它就變成正方形.則矩形面積是()．A．B．C．D．5．為執(zhí)行“兩免一補(bǔ)”政策，某地區(qū)2010年投入教育經(jīng)費(fèi)2500萬元，預(yù)計(jì)2012年投入3600萬元．設(shè)這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x，則下列方程正確的是()．A．2500(1+x)2＝3600B．2500x2＝3600C．2500(1+x%)＝3600D．2500(1+x)+2500(1+x)2＝36006．一個(gè)跳水運(yùn)動(dòng)員從距離水面10米高的跳臺(tái)向上跳起0.5米，開始做翻滾動(dòng)作，它在空中每完成一個(gè)動(dòng)作需要時(shí)間0.2秒，并至少在離水面3.5米處停止翻滾動(dòng)作準(zhǔn)備入水，最后入水速度為14米/秒，該運(yùn)動(dòng)員在空中至多做翻滾動(dòng)作()．A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)二、填空題7．某商場(chǎng)銷售額3月份為16萬元，5月份25萬元，該商場(chǎng)這兩個(gè)月銷售額的平均增長(zhǎng)率是________．8．若兩數(shù)的和是2，兩數(shù)的平方和是74，則這兩數(shù)為________．9．大連某小區(qū)準(zhǔn)備在每?jī)纱睒欠恐g開辟面積為300m2的一塊長(zhǎng)方形綠地，并且長(zhǎng)比寬多10m10．菱形ABCD的一條對(duì)角線長(zhǎng)6，AB的長(zhǎng)是方程x2-7x+12＝0的一個(gè)根，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為________．11．有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人？12.(2010·山東威海)小明家為響應(yīng)節(jié)能減排號(hào)召，計(jì)劃用兩年時(shí)間，將家庭每年人均碳排放量由目前的3125kg降至2000kg(全球人均目標(biāo)碳排放量)，則小明家未來兩年人均碳排放量平均每年需降低的百分率是________．三、解答題13．用長(zhǎng)12m的一根鐵絲圍成長(zhǎng)方形．(1)如果長(zhǎng)方形的面積為5m2，那么此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是多少?寬是多少?如果面積是8m(2)能否圍成面積是10m2(3)能圍成的長(zhǎng)方形的最大面積是多少?14.從一塊長(zhǎng)80cm，寬60cm的長(zhǎng)方形鐵片中間截去一個(gè)小長(zhǎng)方形，使剩下的長(zhǎng)方形四周寬度一樣，并且小長(zhǎng)方形的面積是原來鐵片面積的一半，求這個(gè)寬度．15．常德市工業(yè)走廊南起漢壽縣太子廟鎮(zhèn)，北玉桃源縣盤塘鎮(zhèn)創(chuàng)元工業(yè)園，在這一走廊內(nèi)的工業(yè)企業(yè)2008年完成工業(yè)總產(chǎn)值440億元，如果要在2010年達(dá)到743.6億元，那么2008年到2010年的工業(yè)總產(chǎn)值年平均增長(zhǎng)率是多少?《常德工業(yè)走廊建設(shè)發(fā)展規(guī)劃綱要(草案)》確定2012年走廊內(nèi)工業(yè)總產(chǎn)值要達(dá)到1200億元，若繼續(xù)保持上面的增長(zhǎng)率，該目標(biāo)是否可以完成?【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】D；【解析】可列方程(80+2x)(50+2x)＝5400，化簡(jiǎn)即可．2.【答案】B；【解析】10(1+x)2＝12.1，解得x＝0.1．3.【答案】B；【解析】四、五、六月份產(chǎn)量之和為182．4.【答案】C；【解析】設(shè)矩形的寬為xcm，則矩形的長(zhǎng)為3xcm，依題意得x+3＝3x．5.【答案】A；【解析】由平均增長(zhǎng)率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量)可列方程.6.【答案】D；【解析】從10.5米高處到入水過程的平均速度為7米/秒，所用時(shí)間為10.5÷7＝1.5秒，速度每秒變化米/秒．設(shè)運(yùn)動(dòng)員從最高處到離水面3.5米時(shí)用時(shí)x秒，那么這段距離的平均速度為x2＝1.5，x≈1.2，1.2÷0.2＝6，最多做6個(gè)翻滾動(dòng)作．二、填空題7．【答案】25%；【解析】設(shè)商場(chǎng)這兩個(gè)月銷售額的平均增長(zhǎng)率是x，則16(1+x)2＝25解得x1＝0.25＝25%，x2＝-2.25(不合題意，舍去)．8．【答案】-5和7；【解析】設(shè)兩數(shù)中一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為2-x．根據(jù)題意得x2+(2-x)2＝74，解得x1＝-5，x2＝7．當(dāng)x＝-5時(shí)，另一個(gè)數(shù)為7；當(dāng)x＝7時(shí)，另一個(gè)數(shù)為-5，所以這兩個(gè)數(shù)為-5和7．9．【答案】x(x+10)＝300；【解析】因?yàn)閷挒閤m，則長(zhǎng)為(x+10)m，可列方程x(x+10)＝300．10.【答案】16；【解析】x2-7x+12＝0的兩根為x1＝3，x2＝4，AB不可能等于3，因?yàn)橛幸粭l對(duì)角線長(zhǎng)為6，所以AB＝4，菱形周長(zhǎng)為16．11．【答案】10；【解析】設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人．列方程，得．解方程，得，經(jīng)檢驗(yàn)，x2不合題意，舍去．所以平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人12．【答案】20%；【解析】設(shè)降低的百分率為x，則3125(1-x)2＝2000，(舍去)，．三、解答題13.【答案與解析】(1)設(shè)長(zhǎng)方形的寬為xm，則長(zhǎng)為，根據(jù)題意，得x(6-x)＝5，即x2-6x+5＝0，x1＝1，x2＝5(舍去)．∴當(dāng)長(zhǎng)方形的寬為1m，長(zhǎng)為6m-1m＝5m時(shí)，面積為5m同樣，當(dāng)面積為8m2時(shí)，有x(6-x)＝8，即x2-6x+8＝0，x1＝2，x2∴當(dāng)長(zhǎng)方形的寬為2m，長(zhǎng)為6-2＝4m時(shí)，面積為8m2(2)當(dāng)面積為l0m2時(shí)，x(6-x)＝10，即x2-6x+10＝0，此時(shí)b2-4ac故此方程無實(shí)數(shù)根，所以這樣的長(zhǎng)方形不存在．(3)設(shè)圍成的長(zhǎng)方形的面積為k，則有x(6-x)＝k，即x2-6x+k＝0，要使該方程有解，必須有(-6)2-4k≥0，即k≤9．∴最大的k只能是9，即最大的面積為9m2，此時(shí)x＝3m這時(shí)所圍成的圖形是正方形．14.【答案與解析】設(shè)這個(gè)寬度為xcm，根據(jù)題意有：(80-2x)(60-2x)＝80×60÷2．解這個(gè)方程得x1＝10，x2＝60．因?yàn)榻厝サ男￠L(zhǎng)方形的寬60-2x必須大于0，即60-2x＞0，亦即x＜30，所以x＝10．答：寬度為