廣東省茂名市信宜礪儒中學2021-2022學年高二數(shù)學理期末試題含解析

廣東省茂名市信宜礪儒中學2021-2022學年高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結果是（）A．34 B．55 C．78 D．89參考答案：B【考點】程序框圖；程序框圖的三種基本邏輯結構的應用．【專題】算法和程序框圖．【分析】寫出前幾次循環(huán)的結果，不滿足判斷框中的條件，退出循環(huán)，輸出z的值．【解答】解：第一次循環(huán)得z=2，x=1，y=2；第二次循環(huán)得z=3，x=2，y=3；第三次循環(huán)得z=5，x=3，y=5；第四次循環(huán)得z=8，x=5，y=8；第五次循環(huán)得z=13，x=8，y=13；第六次循環(huán)得z=21，x=13，y=21；第七次循環(huán)得z=34，x=21，y=34；第八次循環(huán)得z=55，x=34，y=55；退出循環(huán)，輸出55，故選B【點評】本題考查程序框圖中的循環(huán)結構，常用的方法是寫出前幾次循環(huán)的結果找規(guī)律，屬于一道基礎題．2.已知函數(shù)有兩個極值點，若，則關于的方程的不同實根個數(shù)為

（

）A．3

B．4

C．5

D．6

參考答案：A略3.一質點做直線運動，由始點經過t秒后的距離為s=t3﹣t2+2t，則t=2秒時的瞬時速度為（）A．8m/s B．10m/s C．16m/s D．18m/s參考答案：B【考點】變化的快慢與變化率．【分析】求出路程s對時間t的導函數(shù)，求出導函數(shù)在t=2時的值即為t=2時的瞬時速度．【解答】解：s′=3t2﹣2t+2∴s′（2）=12﹣4+2=10∴t=2時的瞬時速度為10m/s．故選：B4.一物體在力F(x)＝3x2－2x＋5(力單位：N，位移單位：m)作用力下，沿與力F(x)相同的方向由x＝5m直線運動到x＝10m處做的功是()．A.925J B.850J C.825J D.800J參考答案：CW＝F(x)dx＝(3x2－2x＋5)dx＝(x3－x2＋5x)＝(1000－100＋50)－(125－25＋25)＝825(J)．選C.5.設a>1>b>-1,則下列不等式中恒成立的是（

）A.

B.

C.a>b2

D.a2>2b參考答案：C6.下表是x與y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關于x的回歸直線必過（

）

x0123y1357

A．點（2,2）

B．點（1.5,2）

C.點(1,2)

D.點（1.5,4）參考答案：D略7.從5男4女中選4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分別到四個不同的工廠調查，不同的分派方法有

A.100種

B.400種

C.480種

D.2400種參考答案：D略8.下列圖象中，有一個是函數(shù)（）的導函數(shù)的圖象，則等于

（

）

(1)

(2)

(3)

(4)

A．

B．

C．

D．或參考答案：B9.若雙曲線x2＋ky2＝1的離心率是2，則實數(shù)k的值是()A．－3

B．－

C．3

D.參考答案：B10.函數(shù)f（）=，則函數(shù)f（x）的解析式是（）A．（x≠0） B．1+x C． D．（x≠0）參考答案：A考點： 函數(shù)解析式的求解及常用方法．

專題： 函數(shù)的性質及應用．分析： 利用換元法直接求解函數(shù)的解析式即可．解答： 解：函數(shù)f（）=，令，則f（t）==，可得函數(shù)f（x）的解析式是：f（x）=（x≠0）．故選：A．點評： 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查計算能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知橢圓的一個焦點是，則

；若橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形的面積為，則點的坐標是________．參考答案：,.12.命題“，使”的否定是________.參考答案：13.集合,如果,那么的取值范圍是_____.參考答案：略14.直線ax+y﹣1=0（a∈R）恒過定點．參考答案：（0，1）【考點】恒過定點的直線．【專題】數(shù)形結合；轉化思想；直線與圓．【分析】直線ax+y﹣1=0，令，解出即可得出．【解答】解：∵直線ax+y﹣1=0，令，解得x=0，y=1．∴直線ax+y﹣1=0（a∈R）恒過定點（0，1）．故答案為：（0，1）．【點評】本題考查了直線過定點問題，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．【答案】【解析】一次數(shù)學測驗后某班成績均在（20，100]區(qū)間內，統(tǒng)計后畫出的頻率分布直方圖如圖，如分數(shù)在（60，70]分數(shù)段內有9人．則此班級的總人數(shù)為．【答案】60【解析】【考點】頻率分布直方圖．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，利用頻率、頻數(shù)與樣本容量的關系，求出樣本容量即可．【解答】解：根據(jù)頻率分布直方圖，得；分數(shù)在（60，70]分數(shù)段內的頻率為0.015×10=0.15，頻數(shù)為9，∴樣本容量是=60；∴此班級的總人數(shù)為60．故答案為：60．【點評】本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，解題時應用頻率=進行解答，是基礎題．15.在三棱錐P﹣ABC中，側棱PA，PB，PC兩兩垂直，Q為底面ABC內一點，若點Q到三個側面的距離分別為3、4、5，則過點P和Q的所有球中，表面積最小的球的表面積為

．參考答案：50π【考點】球的體積和表面積．【專題】球．【分析】根據(jù)題意，點Q到三個側面的垂線與側棱PA、PB、PC圍成一個棱長為3、4、5的長方體，分析可知以PQ為直徑的球是它的外接球，此時過點P和Q的所有球中，表面積最小的球，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意：點Q到三個側面的垂線與側棱PA、PB、PC圍成一個棱長為3、4、5的長方體，內部圖形如圖．則其外接球的直徑即為PQ且為長方體的體對角線，過點P和Q的所有球中，此時外接球的表面積最?。?r==．∴r=由球的表面積公式得：S=4πr2=50π故答案為：50π．【點評】本題主要考查空間幾何體的構造和組合體的基本關系．判斷長方體的對角線是過P和Q的所有球中，最小的球是解題的關鍵．16.已知，則的值為__________.參考答案：8略17.是平面上一點,是平面上不共線三點,動點滿足,時,則的值為__________。參考答案：0當時,,即,所以,即是的中點.所以,所以=0三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知的展開式前三項中的系數(shù)成等差數(shù)列．（1）求n的值和展開式系數(shù)的和；（2）求展開式中所有x的有理項．參考答案：（1）；（2），，.【分析】（1）展開式的通項公式為，則前3項的系數(shù)分別為1，，，成等差，即可列式求解。（2）由（1）知，則，對r賦值，即可求出所有的有理項?！驹斀狻浚?）根據(jù)題意，（）n的展開式的通項為Tr+1＝?nr（）n﹣r（）r，其系數(shù)為?nr，則前3項的系數(shù)分別為1，，，成等差，∴，解可得：或，又由，則，在中，令可得：。（2）由（1）的結論，，則的展開式的通項為，當時，有，當時，有，當時，有；則展開式中所有的有理項為.【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，熟練掌握展開式的通項公式是解題的關鍵，屬基礎題。19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求證：PC⊥BC；（2）求點A到平面PBC的距離．參考答案：【考點】點、線、面間的距離計算；空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】（1），要證明PC⊥BC，可以轉化為證明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易證明BC⊥平面PCD，從而得證；（2），有兩種方法可以求點A到平面PBC的距離：方法一，注意到第一問證明的結論，取AB的中點E，容易證明DE∥平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等，而A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍，由第一問證明的結論知平面PBC⊥平面PCD，交線是PC，所以只求D到PC的距離即可，在等腰直角三角形PDC中易求；方法二，等體積法：連接AC，則三棱錐P﹣ACB與三棱錐A﹣PBC體積相等，而三棱錐P﹣ACB體積易求，三棱錐A﹣PBC的地面PBC的面積易求，其高即為點A到平面PBC的距離，設為h，則利用體積相等即求．【解答】解：（1）證明：因為PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC．由∠BCD=90°，得CD⊥BC，又PD∩DC=D，PD、DC?平面PCD，所以BC⊥平面PCD．因為PC?平面PCD，故PC⊥BC．（2）（方法一）分別取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則：易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等．又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍．由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因為PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．易知DF=，故點A到平面PBC的距離等于．（方法二）等體積法：連接AC．設點A到平面PBC的距離為h．因為AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．從而AB=2，BC=1，得△ABC的面積S△ABC=1．由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P﹣ABC的體積．因為PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC．又PD=DC=1，所以．由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面積．由VA﹣PBC=VP﹣ABC，，得，故點A到平面PBC的距離等于．20.已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率；（Ⅱ）求f（x）的單調區(qū)間；（Ⅲ）設g（x）=x2﹣2x+2，若對任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范圍．參考答案：【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的導函數(shù)，把x=1代入導函數(shù)中求出的導函數(shù)值即為切線的斜率；（Ⅱ）求出f（x）的導函數(shù)，分a大于等于0和a小于0兩種情況討論導函數(shù)的正負，進而得到函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅲ）對任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈，使得f（x1）＜g（x2），等價于f（x）max＜g（x）max，分別求出相應的最大值，即可求得實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由已知，則f'（1）=2+1=3．故曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率為3；（Ⅱ）．①當a≥0時，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0所以，f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞）．②當a＜0時，由f'（x）=0，得．在區(qū)間上，f'（x）＞0，在區(qū)間上f'（x）＜0，所以，函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（Ⅲ）由已知，轉化為f（x）max＜g（x）max，因為g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈，所以g（x）max=2…由（Ⅱ）知，當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，值域為R，故不符合題意．當a＜0時，f（x）在（0，﹣）上單調遞增，在（﹣，+∞）上單調遞減，故f（x）的極大值即為最大值，f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得a＜﹣．21.設、分別是橢圓的左、右焦點.（Ⅰ）若是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值;（Ⅱ）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）易知所以，設則………2分因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值………4分當，即點為橢圓長軸端點時，有最