數學分析第二冊章數項級數

數學分析第二冊章數項級數第1頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月有限個數相加

第2頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月無窮多個數相加第3頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月一、引言《莊子·天下篇》“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”第4頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月如：“無限個數±1相加”如果寫作如果寫作=0，=1，第5頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月定義1:

給定一個數列{un},稱其為數項級數或無窮級數(簡稱級數),稱un為數項級數(1)的通項或一般項.稱Sn為∑un的第n個部分和,簡稱部分和.常記簡記記若（即∑un的部分和數列{Sn}收斂于S）則稱數項級數∑un收斂,稱S為數項級數∑un的和,定義2記若{Sn}發(fā)散,則稱數項級數∑un發(fā)散.二、級數概念第6頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月級數的部分和部分和數列第7頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月數項級數∑un收斂例1

討論等比級數(也稱幾何級數)的收斂性(a≠0).解級數的第

n個部分和為(1)當q≠1時,(2)當q=1時,∴∑aqn等比級數收斂,其和為三、級數計算第8頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月

發(fā)散.例2

討論數項級數的收斂性.解級數(4)的第n個部分和為總之，等比級數∴級數(4)收斂,且其和為1.第9頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例E4

討論數項級數的收斂性.解級數的第n個部分和為第10頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月四、級數性質定理(線性性質)

對常數c,d定理

去掉、增加或改變級數的有限項并不改變級數的斂散性.在收斂時，和一般是要變的.第11頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月結論:級數的每一項同乘一個不為零的常數,斂散性不變.結論:收斂級數可以逐項相加與逐項相減.第12頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月定理

在收斂級數的項中任意加括號,

既不改變級數的收斂性,也不改變它的和.證設部分和Sn第13頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月注從級數加括號后的收斂,不能推斷它在沒加括號時也收斂.

例如收斂,但級數卻是發(fā)散的.第14頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月數項級數收斂的必要條件若數項級數收斂，第15頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月收斂級數通項的極限為0的證明證明：第16頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月注意1.如果級數的一般項不趨于零,則級數發(fā)散;

發(fā)散2.必要條件但不充分.第17頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月討論第18頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月由定積分的幾何意義這塊面積顯然大于定積分以1為底的的矩形面積把每一項看成是以為高就是圖中n個矩形的面積之和即故調和級數發(fā)散調和級數的部分和第19頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月級數的Cauchy(柯西)收斂準則定理第20頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月數項級數收斂的必要條件特別地取p=1,第21頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月定理

第22頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例3用級數收斂的Cauchy準則,證明收斂.證∴當m>N及任意正整數p,有

第23頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月第二種證明第24頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月根據數列的單調有界定理可知的極限一定存在.第25頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例4證明調和級數是發(fā)散的.分析:一般項∴級數滿足收斂必要條件，但不能判斷級數收斂

解:對N，只要

m>N，取p=m

由Cauchy收斂準則知，調和級數發(fā)散.第26頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月正項級數一、特征定理：第27頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月

二、收斂或發(fā)散的判別法第28頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月⒈比較判別法：第29頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例題判別級數的斂散性第30頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月２.比較判別法的極限形式：①②③第31頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：①②③第32頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例題判別級數的斂散性第33頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月解答第34頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例題判別級數的斂散性第35頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月解答第36頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月利用等比級數作為比較對象得到比式判別法第37頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月3第38頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月證明第39頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月第40頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月4.比式判別法的極限形式：①②第41頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月證明第42頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月證明第43頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例題判斷級數的斂散性第44頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月解答解：

第45頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例題第46頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月解答解：第47頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例題判斷級數的斂散性第48頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月解答解：第49頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例題判斷級數的斂散性第50頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月解答解：第51頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：第52頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月考慮下面兩個級數第53頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月5第54頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月證明第55頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月證明第56頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月6.根式判別法的極限形式：①②第57頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月證明第58頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月證明第59頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：第60頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣地，考慮下面兩個級數第61頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例題判斷級數的斂散性第62頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月解答解：第63頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例題判斷級數的斂散性第64頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月解答解：第65頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月解答第66頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月解答另解：第67頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月比式判別法和根式判別法之比較

第68頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月比式判別法和根式判別法之比較

反例：由根式判別法可知級數是收斂的。但是應用比式判別法，第69頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月7.積分判別法證明：第70頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月第71頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月積分判別法的應用：例1.解：第72頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.解：考慮第73頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月常用于比較的級數⑴等比級數⑵第74頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例題判別級數和的斂散性第75頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例題判別級數的斂散性第76頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例題當發(fā)散發(fā)散收斂第77頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例題(證明題)證明：第78頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例題(證明題)證明：第79頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例題(證明題)證明：故收斂第80頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月一般項級數

交錯級數(正項和負項交錯排列的級數)第81頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月一、萊布尼茨（Leibniz）判別法定理第82頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月第83頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月證明第84頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月證明第85頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月第二種證明第86頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月第二種證明第87頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月⑴收斂特別地收斂⑵收斂⑶一些收斂級數的例子收斂第88頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月絕對收斂定理：證法1：第89頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月定義證法2：第90頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例題.⑴絕對收斂.⑵條件收斂第91頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月例題第92頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月下面討論絕對收斂級數的兩個重要性質.1.級數的重排

我們把正整數列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射原數列的重排.相應地稱級數為原級數的重

作稱為正整數列的重排,相應地對于數列

第93頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月定理設原級數絕對收斂,且其和等于S,則任

意重排后所得到的新級數(*)絕對收斂且和也為S.第一步設原級數是正項級數,用Sn表示它的第n個部分和.又用表示新級數(*)的第m個部分和.因為級數(*)為原級數

*證

的重排,所以每一應等于某一第94頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月即新級數(*)收斂,且其和由于原級數也可看作新級數(*)的重排,所以也有,從而得到.這就證明了對正項級數定理成立.第二步證明(*)絕對收斂.設原級數是一般項級數且絕對收斂,

則由第一步結論,可得收斂,即新級數(*)是絕對收斂的.則對于任何第95頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月要把原級數分解成正項級數的和.為此令第三步證明絕對收斂級數(*)的和也等于S.

根據第一步的證明,收斂的正項級數重排后和不變,所以先第96頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月對于原級數重排后所得到的新級數(*),也可按(8)式的

辦法,把它表示為兩個收斂的正項級數之差其和不變,從而有由原級數絕對收斂,及(9)式,知都是收

斂的正項級數.因此第97頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月注定理只對絕對收斂級數成立.條件收斂級

數重排后得到的新級數,不一定收斂,

即使收斂,也不一定收斂于原來的和.

更進一步,

條件收斂級數適當重排后,既可以得到發(fā)散級數,

也可以收斂于任何事先指定的數.

例如下列級數是條件收斂的,

設其和為A,即第98頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月將上述兩個級數相加,得到的是(2)的重排:第99頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月2.級數的乘積

若為收斂級數,a為常數,則由此可以立刻推廣到收斂級數與有限項和的乘

積,即那么無窮級數之間的乘積是否也有上述性質?第100頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月將級數(11)與(12)中每一項所有可能的乘積列成下表

設有收斂級數可以按各種方法排成不同的級數,常

用的有按正方形順序或按對角線順序.

第101頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月第102頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月第103頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月定理

(柯西定理)若級數(11)、(12)都絕對收斂,

依次相加,于是分別有和則對(13)中按任意順序排列所得到的級數也絕對收斂,且其和等于AB.*證第104頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月則必有的部分和數列都是有界的.

由定理條件,級數(11)與(12)都絕對收斂,因而

第105頁，課件共118頁，創(chuàng)作于2023年2月

于是是有界的,從而級數

絕對收斂.下面證明的和由于絕對收斂級數具有可重排的性質,即級數的和與采用哪一種排列的次序無關,

為此,

采用正方形順序并對各被加項取括號,即將每一括號作為一項,得到