概率統(tǒng)計第八章

概率統(tǒng)計第八章第1頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月§8.1方差分析例8.1.0

在飼料養(yǎng)雞增肥的研究中，某研究所提出兩種飼料配方：A1是以魚粉為主的飼料，A2是以樹粉為主的飼料。為比較兩種飼料的效果，特選16只相似的雛雞隨機均分為兩組，每組各喂一種飼料，60天后觀察它們的重量。試驗結果如下表所示：飼料A雞重（克）A110731009106010011002101210091028A21107109299011091090107411221001第2頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月分析：本例中，我們要比較的是兩種飼料配方下雞的平均重量是否相等。這是兩總體均值的比較問題，可以采用兩樣本均值差的假設檢驗方法來處理。兩樣本假設檢驗中，一個分類變量把試驗數(shù)據(jù)分為兩組，要研究這兩組的均值有沒有顯著差異。

例8.1.0,分類變量：飼料配方（2種）試驗數(shù)據(jù)：雞的重量第3頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月8.1.1

問題的提出

實際工作中我們經常碰到多個(>2）正態(tài)總體均值的比較問題，處理這類問題通常采用所謂的方差分析方法。第4頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.1.1

在飼料養(yǎng)雞增肥的研究中，某研究所提出三種飼料配方：A1是以魚粉為主的飼料，A2是以樹粉為主的飼料，A3是以苜蓿粉為主的飼料。為比較三種飼料的效果，特選24只相似的雛雞隨機均分為三組，每組各喂一種飼料，60天后觀察它們的重量。試驗結果如下表所示：第5頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月表8.1.1

雞飼料試驗數(shù)據(jù)

飼料A雞重（克）A110731009106010011002101210091028A21107109299011091090107411221001A310931029108010211022103210291048第6頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月

分析：

本例中，我們的目的是比較三種飼料配方下雞的平均重量是否相等，假設檢驗的方法不再適用。方差分析就是對多個總體均值進行比較最常用的一種統(tǒng)計方法.

方差分析中，一個分類變量把試驗數(shù)據(jù)分為多組，要研究多組樣本數(shù)據(jù)的均值有沒有顯著差異。例8.1.1,分類變量：飼料配方（3種）試驗數(shù)據(jù)：雞的重量第7頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月方差分析中，將分類變量稱為因子，試驗數(shù)據(jù)稱為指標。

本例中，有3種飼料，每種飼料獲得了8個試樣。

因子（分類變量）：飼料，記為A；

水平（因子不同取值）：三種不同的配方的飼料記為A1,A2,A3；

指標（試驗數(shù)據(jù)）：雞的重量，記為yij

，表示使用配方Ai下第j只雞60天后的重量，i=1,2,3,j=1,2,,10。方差分析的結論是因子的不同水平對指標有無顯著影響。第8頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月8.1.2

單因子方差分析的統(tǒng)計模型

在例8.1.1中我們只考察了一個因子，稱其為單因子試驗。

通常，在單因子試驗中，記因子為A,設其有r個水平，記為A1,A2,…,Ar.在每一水平下考察的指標可以看成一個總體，現(xiàn)有r個水平，故有r個總體，假定：第9頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月1、正態(tài)性：每一總體均為正態(tài)總體，記為N(i,

i2)，i＝1,2,…,r；2、方差齊性：各總體的方差相同:1

2=22

=…=

r2=

2

；3、獨立性：從每一總體中抽取的樣本是相互獨立的，即所有的試驗結果yij都相互獨立。

第10頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月我們要比較各水平下的均值是否相同,即:H0

：1=2=…=r

（8.1.1）備擇假設為H1

：1,2,…,r

不全相等在不引起誤解的情況下，H1?？墒÷圆粚憽?/p>

H0成立：因子A的r個水平均值相等，因子水平A沒有顯著差異，簡稱因子A不顯著；

H0不成立：因子A的r個水平均值不全相同，因子A的不同水平間有顯著差異，簡稱因子A顯著。

第11頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月記yij表示水平Ai下的第j次觀察結果，則一共得如下n=rm個試驗結果：

yij，

i＝1,2,…,r，j＝1,2,…,m,

其中r為水平數(shù)，m為重復數(shù)。單因子試驗中，因子為A,設有r個水平A1,A2,…,Ar.設對第i個水平Ai

作了m次重復觀察，得到m個試驗結果。因子A

試驗數(shù)據(jù)

A1y11

y12

…y1mA2y21

y22

…y2m┆┆Aryr1

yr2

…yrm第12頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月在水平Ai下的試驗結果yij與該水平下的指標均值i一般總是有差距的，即有yij=

i+ij

（8.1.2）

其中i

表示水平Ai下的均值，ij為隨機誤差。（8.1.2）式稱為試驗結果yij的數(shù)據(jù)結構式。

第13頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月

單因子方差分析的統(tǒng)計模型：yij=

i+ij，1≤i≤r，1≤j≤m

（8.1.3）

假定ij滿足：●ij相互獨立●同方差，零均值●正態(tài)分布(ij～N(0,2))

總均值與效應:

稱諸i的平均為總均值.

而稱第i水平下的均值i與總均值

的差:

ai=i-為Ai的效應。

第14頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月模型（8.1.3）可以改寫為

(8.1.8)

即觀察值yij表示為總平均數(shù)μ、水平效應αi、試驗的隨機誤差εij之和。假設（8.1.1）可改寫為

H0

：a1

=a2=…=ar=0（8.1.9）

第15頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月方差分析的實質就是檢驗多個正態(tài)總體均值是否相等。方差分析是將r個水平的試驗數(shù)據(jù)作為一個整體看待，試驗數(shù)據(jù)波動由兩方面引起：因子水平的不同引起；偶然誤差引起。方差分析的基本思想：試驗數(shù)據(jù)波動分解成兩部分，一部分反映由因子水平不同引起的波動，另一部分反映由試驗誤差引起的波動?？偲钇椒胶头纸鉃榉从潮厝恍缘母鱾€因子的偏差平方和與反映偶然性的誤差平方和，并計算它們的平均偏差平方和（方差）。將兩者進行比較，借助F檢驗法，檢驗假設H0：μ0＝μ1＝μ2＝…＝μ，從而確定因素對試驗結果的的影響是否顯著。方差分析(analysisofvariance)是由統(tǒng)計學家Fisher于1923年提出的。第16頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月8.1.3

平方和分解

一、試驗數(shù)據(jù)通常在單因子方差分析中可將試驗數(shù)據(jù)列成如下頁表格形式。第17頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月表8.1.2

單因子方差分析試驗數(shù)據(jù)

因子水平

試驗數(shù)據(jù)

行和

行平均

A1y11

y12

…y1mT1A2y21

y22

…y2mT2┆┆┆┆Aryr1

yr2

…yrmTrT第18頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)據(jù)間是有差異的。數(shù)據(jù)yij與總平均間的偏差可用yij

表示，它可分解為二個偏差之和（8.1.10）記二、組內偏差與組間偏差第19頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月由于

（8.1.11）所以yij-僅反映組內數(shù)據(jù)與組內平均的隨機誤差，稱為組內偏差（組內變差）；而

（8.1.12）除了反映隨機誤差外，還反映了第i個水平的效應，稱為組間偏差（組間變差）。第20頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月第21頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月在統(tǒng)計學中，把k個數(shù)據(jù)y1,y2,…,yk分別對其均值=(y1+…+yk)/k的偏差平方和稱為k個數(shù)據(jù)的偏差平方和，它常用來度量若干個數(shù)據(jù)分散的程度。三、偏差平方和及其自由度第22頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月在構成偏差平方和Q的k個偏差y1

,…,yk

間有一個恒等式這說明在Q中獨立的偏差只有k1個。在統(tǒng)計學中把平方和中獨立偏差個數(shù)稱為該平方和的自由度，常記為f，如Q的自由度為fQ=k1。自由度是偏差平方和的一個重要參數(shù)。

第23頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月各yij間總的差異大小可用總偏差平方和

表示，其自由度為fT=n1；四、總平方和分解公式僅由重復試驗中隨機誤差引起的數(shù)據(jù)間的差異可以用組內偏差平方和表示:

也稱為誤差偏差平方和，其自由度為fe=nr；第24頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月由于組間差異除了隨機誤差外，還反映了效應間的差異，故由效應不同引起的數(shù)據(jù)差異可用組間偏差平方和表示:

也稱為因子A的偏差平方和，其自由度為fA=r1；反映的是各水平平均值偏離總平均值的偏離程度。第25頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月定理8.1.1

在上述符號下，總平方和ST可以分解為因子平方和SA與誤差平方和Se之和，其自由度也有相應分解公式，具體為：

ST=SA+Se,fT=fA+fe

（8.1.16）（8.1.16）式通常稱為總平方和分解式。

第26頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月偏差平方和Q的大小與自由度有關，為了便于在偏差平方和間進行比較，統(tǒng)計上引入了均方和的概念:MS=Q/fQ

，其意為平均每個自由度上有多少平方和，它比較好地度量了一組數(shù)據(jù)的離散程度。

8.1.4檢驗方法第27頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月對因子平方和SA與誤差平方和Se之間進行比較，用其均方和MSA=SA

/fA

，MSe=Se

/fe進行比較更為合理，故可用作為檢驗H0的統(tǒng)計量。第28頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月定理8.1.2

在單因子方差分析模型(8.1.8)及前述符號下，有

(1)Se/

2~

2(nr)，從而E(Se)

＝(nr)

2

，進一步，若H0成立，則有SA/

2~

2(r1)(2)SA與Se獨立。

由定理8.1.2，若H0成立，則檢驗統(tǒng)計量F服從自由度為r-1和n-r的F分布.第29頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月如果H0不成立，則所以，即H0不成立時，有大于1的趨勢。所以H0為真時的小概率事件應取在F值較大的一側。因此拒絕域為

W={FF1(fA,fe)}，cF單側檢驗第30頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月構造檢驗的統(tǒng)計量

(F分布與拒絕域)如果均值相等，F(xiàn)=MSA/MSE1a

F分布F1-

(r-1,n-r)0拒絕H0不能拒絕H0F第31頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月通常將單因子方差分析的計算過程列成一張表格，稱為方差分析表。表8.1.3

單因子方差分析表來源平方和自由度均方和F比因子SAfA=r1MSA=SA/fAF＝MSA/MSe誤差Sefe=nrMSe=Se/fe總和STfT=n1第32頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月對給定的，可作如下判斷：若F<

F1(fA,fe)

，則說明因子A不顯著。該檢驗的p值也可利用統(tǒng)計軟件求出，若以Y記服從F(fA,fe)的隨機變量，則檢驗的

p值為p=P(YF)。如果F>=F1(fA,fe)，則認為因子A顯著；第33頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月常用的各偏差平方和的計算公式如下：

（8.1.19）

一般可將計算過程列表進行。

第34頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.1.2

采用例8.1.1的數(shù)據(jù)，將原始數(shù)據(jù)減去1000，列表給出計算過程：表8.1.4例8.1.2的計算表水平數(shù)據(jù)（原始數(shù)據(jù)-1000）TiTi2A17396012129281943763610024A210792-101099074122158534222560355A3932980212232294835412531620984113350517791363第35頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月利用(8.1.19)，可算得各偏差平方和為：把上述諸平方和及其自由度填入方差分析表第36頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月表8.1.5例8.1.2的方差分析表

來源平方和自由度均方和F比因子9660.083324830.04173.5948

誤差28215.9584211343.6171總和37876.041723若取=0.05，則F0.95

(2

,21)=3.47

，由于F=3.5948>3.47，故認為因子A（飼料）是顯著的，即三種飼料對雞的增肥作用有明顯的差別。

第37頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月8.1.5參數(shù)估計

在檢驗結果為顯著時，我們可進一步求出總均值、各主效應ai和誤差方差2的估計。

第38頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月一、點估計由模型(8.1.8)知諸yij相互獨立，且yij~N(+ai,2)

，因此，可使用極大似然方法求出一般平均、各主效應ai和誤差方差2的估計:由極大似然估計的不變性，各水平均值i的極大似然估計為，由于不是2的無偏估計，可修偏：第39頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月由于可給出Ai的水平均值i的1-的置信區(qū)間為

其中。

二、i

的置信區(qū)間第40頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.1.3

繼續(xù)例8.1.2，此處我們給出諸水平均值的估計。因子A的三個水平均值的估計分別為從點估計來看，水平2（以槐樹粉為主的飼料）是最優(yōu)的。

第41頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月誤差方差的無偏估計為利用(8.1.23)可以給出諸水平均值的置信區(qū)間。此處，，若?。?.05

，則t1-

/2(fe)=t0.95(21

)=2.0796，于是三個水平均值的0.95置信區(qū)間分別為第42頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月在單因子試驗的數(shù)據(jù)分析中可得到如下三個結果：

因子是否顯著；

試驗的誤差方差2的估計；

諸水平均值i的點估計與區(qū)間估計。

在因子A顯著時，通常只需對較優(yōu)的水平均值作參數(shù)估計，在因子A不顯著場合，參數(shù)估計無需進行。第43頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月8.1.6重復數(shù)不等情形單因子方差分析并不要求每個水平下重復試驗次數(shù)全相等，在重復數(shù)不等場合的方差分析與重復數(shù)相等情況下的方差分析極為相似，只在幾處略有差別。

數(shù)據(jù)：設從第i個水平下的總體獲得mi個試驗結果，記為yi1

,yi2…,yim

，i=1,2,…r，統(tǒng)計模型為：

（8.1.24）

第44頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月總均值：諸i的加權平均（所有試驗結果的均值的平均）（8.1.25）稱為總均值或一般平均。

效應約束條件：

各平方和的計算：SA的計算公式略有不同

第45頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.1.4某食品公司對一種食品設計了四種新包裝。為考察哪種包裝最受顧客歡迎，選了10個地段繁華程度相似、規(guī)模相近的商店做試驗，其中二種包裝各指定兩個商店銷售，另二個包裝各指定三個商店銷售。在試驗期內各店貨架排放的位置、空間都相同，營業(yè)員的促銷方法也基本相同，經過一段時間，記錄其銷售量數(shù)據(jù)，列于表8.1.6左半邊，其相應的計算結果列于右側。

第46頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月表8.1.6銷售量數(shù)據(jù)及計算表

包裝類型

銷售量

miTiTi2/miA11218230450468A2141213339507509A319172135710831091A4243025414581476和n=10T=180第47頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可求得各類偏差平方和如下

方差分析表如表8.1.8所示

.若取＝0.01，查表得F0.99(3,6)=9.78，由于F=11.22>9.78，故我們可認為各水平間有顯著差異。

第48頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月表8.1.7例8.1.4的方差分析表

來源平方和自由度均方和F比因子A25838611.22誤差e4667.67總和T3049第49頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月由于因子顯著，我們還可以給出諸水平均值的估計。因子A的四個水平均值的估計分別為由此可見，第四種包裝方式效果最好。誤差方差的無偏估計為第50頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月進一步，利用(8.1.23)也可以給出諸水平均值的置信區(qū)間，只是在這里要用不同的mi代替那里相同的m。此處，，若?。?.05，則t1-/2(fe)=t0.95(6)=2.4469，，于是效果較好的第三和第四個水平均值的0.95置信區(qū)間分別為

第51頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月§8.2

多重比較

8.2.1效應差的置信區(qū)間如果方差分析的結果因子A顯著，則等于說有充分理由認為因子A各水平的效應不全相同，但這并不是說它們中一定沒有相同的。就指定的一對水平Ai與Aj，我們可通過求i-j的區(qū)間估計來進行比較。

第52頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月由于，故由此給出i-j的置信水平為1-的置信區(qū)間為

(8.2.1)其中是2的無偏估計。這里的置信區(qū)間與第六章中的兩樣本的t區(qū)間基本一致，區(qū)別在于這里2的估計使用了全部樣本而不僅僅是兩個水平Ai,Aj下的觀測值。第53頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.2.1

繼續(xù)例8.1.2，，fe=21，?。?.05

，則t1-/2(fe)=t0.975(21)=2.0796，于是可算出各個置信區(qū)間為

可見第一個區(qū)間在0的左邊，所以我們可以概率95%斷言認為1

小于2，其它二個區(qū)間包含0點，雖然從點估計角度看水平均值估計有差別，但這種差異在0.05水平上是不顯著的。

第54頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月8.2.2多重比較問題

在方差分析中，如果經過F檢驗拒絕原假設，表明因子A是顯著的，即r個水平對應的水平均值不全相等，此時，我們還需要進一步確認哪些水平均值間是確有差異的，哪些水平均值間無顯著差異。同時比較任意兩個水平均值間有無明顯差異的問題稱為多重比較，多重比較即要以顯著性水平同時檢驗如下r(r1)/2個假設：（8.2.2）

第55頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月直觀地看，當H0ij成立時，不應過大，因此，關于假設(8.2.2)的拒絕域應有如下形式

諸臨界值應在（8.2.2）成立時由P(W)=確定?？煞种貜蛿?shù)相等和不等分別介紹臨界值的確定。

第56頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月

8.2.3重復數(shù)相等場合的T法

在重復數(shù)相等時，由對稱性自然可以要求諸cij相等，記為c.記，則由給定條件不難有

第57頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月于是當(8.2.2)成立時，1==r=，可推出其中，稱為t化極差統(tǒng)計量，其分布可由隨機模擬方法得到。于是,其中q1(r,fe)表示q(r,fe)的1分位數(shù)，其值在附表8中給出。第58頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月重復數(shù)相同時多重比較可總結如下：

1、對給定的的顯著性水平，查多重比較的分位數(shù)q(r,fe)表，計算；

2、比較諸與c的大小，若則認為水平Ai與水平Aj間有顯著差異，反之，則認為水平Ai與水平Aj間無明顯差別。這一方法最早由Turkey提出，因此稱為T法。

第59頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月8.2.4重復數(shù)不等場合的S法在重復數(shù)不等時，若假設(8.2.2)成立，則或從而可以要求，在此要求下可推出第60頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月可以證明，從而亦即第61頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月

例8.2.3

在例8.1.4中，我們指出包裝方式對食品銷量有明顯的影響，此處r=4,fe=6,

，若取

=0.05，則F0.95(3,6)=4.76。注意到m1=m4=2，m2=m3=3，故第62頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月由于這說明A1,A2,

A3間無顯著差異，A1,A2與A4有顯著差異，但A4與A3的差異卻尚未達到顯著水平。綜合上述，包裝A4銷售量最佳。

第63頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月§8.3方差齊性檢驗

在進行方差分析時要求r個方差相等，這稱為方差齊性。理論研究表明，當正態(tài)性假定不滿足時對F檢驗影響較小,即F檢驗對正態(tài)性的偏離具有一定的穩(wěn)健性，而F檢驗對方差齊性的偏離較為敏感。所以r個方差的齊性檢驗就顯得十分必要。所謂方差齊性檢驗是對如下一對假設作出檢驗：（8.3.1）

第64頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月很多統(tǒng)計學家提出了一些很好的檢驗方法，這里介紹幾個最常用的檢驗，它們是：

Hartley檢驗，僅適用于樣本量相等的場合；

Bartlett檢驗，可用于樣本量相等或不等的場合，但是每個樣本量不得低于5；

修正的Bartlett檢驗，在樣本量較小或較大、相等或不等場合均可使用。

第65頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月8.3.1Hartley檢驗

當各水平下試驗重復次數(shù)相等時，即

m1=m2==mr=m,Hartley提出檢驗方差相等的檢驗統(tǒng)計量：（8.3.2）

這個統(tǒng)計量的分布無明顯的表達式，但在諸方差相等條件下，可通過隨機模擬方法獲得H分布的分位數(shù)，該分布依賴于水平數(shù)r

和樣本方差的自由度f=m1，因此該分布可記為H(r，f)，其分位數(shù)表列于附表10上。

第66頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月直觀上看，當H0成立，即諸方差相等（12=22==r2）時，H的值應接近于1，當H的值較大時，諸方差間的差異就大，H愈大，諸方差間的差異就愈大，這時應拒絕(8.3.1)中的H0。由此可知，對給定的顯著性水平，檢驗H0的拒絕域為

W={H>H1(r,f)}

（8.3.3）其中H1(r,f)為H分布的1分位數(shù)。

第67頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月

例8.3.1

有四種不同牌號的鐵銹防護劑（簡稱防銹劑），現(xiàn)要比較其防銹能力。數(shù)據(jù)見表8.3.1。這是一個重復次數(shù)相等的單因子試驗。我們考慮用方差分析方法對之進行比較分析，為此，首先要進行方差齊性檢驗。第68頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月本例中，四個樣本方差可由表8.3.1中諸Qi求出，即由此可得統(tǒng)計量H的值

在

=0.05時，由附表10查得H0.95(4,9)=6.31，由于H<6.31，所以應該保留原假設H0，即認為四個總體方差間無顯著差異。

第69頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月8.3.2Bartlett檢驗

在單因子方差分析中有r個樣本，設第i個樣本方差為：由于幾何平均數(shù)總不會超過算術平均數(shù)，故有GMSe≤MSe

,其中

等號成立當且僅當諸si2彼此相等，若諸si2間的差異愈大，則此兩個平均值相差也愈大。

第70頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可見，在比值GMSe/MSe較大時，就意