不等式理科高考真題模擬新題

EE15．E1、E6[2012·福建卷]下列不等式一定成立的是

1≥2(x≠kπ，k∈Z)2 2x [解析] 定正確；Bsinx>0時(shí)，不等式成立，所以B也不正確；C0<D命題不正確 1≤10<x]a2≠0.求證：{an}12若2得，即aa2≠0a1＝1，得a1Sn＋2－Sn＋1＝a2(Sn＋1－Sn)，即an＋2＝a2an＋1，a2≠0an＋1≠0，因此

綜上，

＝a2n∈N*成立，從而{an}1a2222n＝kak＝ak－122n＝k＋12n＝k＋12n∈N*，an＝an－1.因此{(lán)an}1a222(2)n＝12Sn＝n(a1＋an)22n≥3，a2＞－1a2≠0，由(1)a1＝1，an＝an－12

222222

2a2＝122當(dāng)－1＜a2＜1時(shí)，ar－1an－r－1(r＝1,2，…，n－1)2222a2＞1時(shí)，ar－1an－r－1(r＝1,2，…，n－1)22a2＞－1a2≠1時(shí)，總有(ar－1)(an－r－1)＞0 222222r1n－1 2221＋a2＋a2＋…＋an＜2222n＝12

nn(a1＋an)a2＝1n

n當(dāng)a≠1時(shí)，由(1)知S 2，a＝an－1，下證n-2-＜ ＜

2 (1＋an－1)(n≥3，a＞－1a2 當(dāng)－1＜a2＜1222(n－2)an＋na22222222當(dāng)－1＜a2＜0時(shí)，1－an－2＞022222220＜a2＜1a222222g(a2)＝(n－2)an1－(n－1)an2＋1g′(a2)＝(n－2)(n－1)(a21)an3＜0222因此f(a2)＜f(1)＝n－2，所要證的不等式成立．a(chǎn)a2＞1b＝10＜b＜1a21－1 a2＜n1＋1a1－a2

2nan－12n

B11、B12、E1[2012·浙江卷]設(shè) [解析]本題考查構(gòu)造函數(shù)、利用函數(shù)性質(zhì)來(lái)實(shí)現(xiàn)判斷邏輯推理的正確與否，考查觀察、構(gòu)想、推理的能力．若2a＋2a＝2b＋3b，必有2a＋2a>2b＋2b.構(gòu)造函數(shù)：f(x)＝2x＋2xf(x)＝2x＋2xx＞0a＞bA正確，B錯(cuò)誤．其余選項(xiàng)用D2、E1[2012·浙江卷]設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無(wú)窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則 若數(shù)列{Sn}n∈N*Sn>0 [解析]n項(xiàng)和，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)以及不等式知識(shí)，C顯然是錯(cuò)的，舉出反例：－1，0,1,2,3，…滿足數(shù)列{SSn＞0法二：由于S

＝dn2＋a－dn，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知當(dāng)

那么d>0，但對(duì)任意的n∈N*，Sn>0不成立，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；反之，選項(xiàng)D是正確的；故應(yīng)選C.[點(diǎn)評(píng)]等差數(shù)列的求和與二次函數(shù)的圖象的關(guān)系是解決本題的重要依據(jù)E213．E2[2012·山東卷]若不等式|kx－4|≤2的解集為{x|1≤x≤3}，則實(shí)數(shù) [解析]本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查運(yùn)算求解能力，容易題．去絕對(duì)值得－2≤kx－4≤2，即2≤kx≤6，又∵其解集為{x|1≤x≤3}，∴k＝2.E3]的不等式f(x)＜c的解集為(m，m＋6)，則實(shí)數(shù)c的值 [解析]破口為二次函數(shù)的性質(zhì)及三個(gè)“二次”a2－4b＝0 f(x)<c解集為－a－c<x<－a＋ 2－a－2故

兩式相減得－2＋11．E2、A1[2012·卷]已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合 [解析]本題考查絕對(duì)值不等式的解法及集合的交并運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能∵A＝{x∈R|－5<x<1}∴A∩B＝(－1,1)] B．(3,4) [解析]本題主要考查不等式的求解、集合的關(guān)系與運(yùn)算等．由于應(yīng)選B.[點(diǎn)評(píng)]A2、A3、B3、E3[2012·卷]已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若①?x∈R，f(x)<0則m的取值范圍是 ]時(shí)，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0m<02mm－31

當(dāng)m∈(－1,0)時(shí)，2m>－m－3，只要－4>－m－3，解得m>1與m∈(－1,0)的交集為空集；m＝－1時(shí)，兩根為－2；－2>－4m∈(－4，－1)時(shí)，2m<－m－3，所E3[2012·重慶卷]不等式2x＋≤0的解集為 1 [解析]不等式等價(jià)于

解得－2＜x≤116．B11、B12、E3[2012·重慶卷]設(shè)f(x)＝aln 1 在點(diǎn)(1，f(1))ya 解：(1)f(x)＝alnx＋1 f′(x)＝a－

y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))y0a－1＋3＝0 (2)由(1)f(x)＝－lnx＋1 f′(x)＝－1－ f′(x)＝0x1＝1，x2＝－1(x2＝－1不在定義域內(nèi)，舍去 x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＜0f(x)在(0,1)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)．故f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3，無(wú)極大值．E4E5 ]

Dxy＝f(x)線在點(diǎn)(1,0)處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則z＝x－2y在D上的最大值 [解析]xx＝1y＝lnx求導(dǎo)，x當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)(0，－1)z5．E5[2012·山東卷]x，y滿足約束條件

y的取值范圍是

[解析]本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，考查數(shù)據(jù)處理能力，容易題．當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線l移至可行域中的點(diǎn)A(2,0)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最大值z(mì)＝3×2－0＝6；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線l移至可行域中的B點(diǎn)1，3時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最小值z(mì)＝3×1－3＝－3. 10．E5、H4[2012·重慶卷]設(shè)平面點(diǎn)集A＝(x，

0，B{x，y|x－12＋y－12≤1}，則A∩B所表示的平面圖形的面積為

—x 10D [解析]平面點(diǎn)集A表示的平面區(qū)域就是不等式組 xB表示的平面區(qū)域?yàn)橐渣c(diǎn)(1,1)1為半徑的圓及y＝1y＝xx1，即為 E5[2012·遼寧卷]x，y滿足

則2x＋3y的最大值為 [解析]本小題主要考查線性規(guī)劃．解題的突破口為作出可行域，借助目標(biāo)函數(shù)不等式組表示的區(qū)域如圖1－1所示，令z＝2x＋3y，目標(biāo)函數(shù)變?yōu)閥＝－2x＋z 當(dāng)截距越大，z的取值越大，故當(dāng)直線z＝2x＋3y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z最大，由于

A的坐標(biāo)為(5，15)z＝2x＋3yzmax＝552x＋3y 卷]x，y滿足約束條件

z＝3x－y [解析]本小題主要考查線性規(guī)劃最優(yōu)解的應(yīng)用，解題的突破口是正確作出可利用不等式組，作出可行域，則目標(biāo)函數(shù)直線過(guò)(0,1)時(shí)，z 卷]若x，y滿足約束條件

則x－y的取值范圍是

[解析]z＝x－y.作出約束條件

zmin＝－3z＝x－yC(1,1)yz取得最大值，即zmax＝0，所以x－y∈[－3,0]．E5、 卷]設(shè)不等式組

DD隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是 B.π

[解析]設(shè)A：點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于

＝S＝S＝4E5[2012·卷]某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原1千克、B21A2千克、B1千克．每桶甲產(chǎn)品A、B12千克，通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是()A．1800 B．2400C．2800 D．3100 [解析]xy則

zmax＝300×4＋400×4＝2800

]，實(shí)數(shù)m的最大值為 22

2[解析]2y＝2xy＝－x＋3m

x＝1，y＝2x＝1m≤1y＝2x上存在點(diǎn)(x，y)m

z＝3x＋y ]A點(diǎn)時(shí)，z最大，由

A(3,2)zmax＝3×3＋2＝11.8．E5[2012·江西卷]某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和，種植面積不超過(guò)50畝，投入超過(guò)54萬(wàn)元，假設(shè)種植黃瓜和的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表年產(chǎn)量/年種植成本/41.20.5560.90.3 8．B[解析]考查二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用、數(shù)形驟求解，即①設(shè)出x、y、z；②列出約束條件，確定目標(biāo)函數(shù)；③畫(huà)出可行域；④判斷最優(yōu) 原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在條件

下，求1.2x－0.9y＝x＋0.9y的最大值．畫(huà)出可行域如圖．利用線性規(guī)劃知識(shí)可知，當(dāng)x，y

的交點(diǎn)(30,20)時(shí)，z 卷]設(shè)x，y滿足約束條件

z＝x－2y范圍 14．[答案

[解析]

表示的平面區(qū)域(界)z＝x－2yz＝x－2yM(1,2)時(shí)，z＝x－2y取得最小值－3，經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(3,0)時(shí)，z＝x－2y取得最大值3，所以z∈[－3,3]．E6

a2E1、E6[2012·福建卷]下列不等式一定成立的是

1≥2(x≠kπ，k∈Z)2 2x [解析] 定正確；Bsinx>0時(shí)，不等式成立，所以B也不正確；C0<D命題不正確 1≤10<xA2、C8、E6、E9[2012·卷]設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，

15．①②③[解析]本題考查命題真判斷，正、余弦定理，不等式的性質(zhì)，基本 π對(duì)于①，由c2＝a2＋b2－2abcosC<ab得π

ab＝a＋b≥2，則cosC>2

4c2＝4a2＋4b2－8abcosC<a2＋b2＋2abab(8cosC＋2)>3(a2＋b2)8cosC＋2>3a＋b≥6，則cosC>1，因?yàn)?<C<π，所

π＋b2c2<a2＋b2Cπ2對(duì)于④，(a＋b)c<2ab可變?yōu)?×1>1＋1≥2，可得ab>c，所以ab>c2，因?yàn)棣衏 π，所以 12 11

對(duì)于⑤，(a2＋b2)c2<2a2b2可變?yōu)閍2＋b2<c2，即c2>ab，所以

，所以cosC> ≥1，所

E7E8

b ]所給不等式條件同時(shí)除以c，三元換成兩元．

c

記x＝c，y＝c

cccc

x為z＝y(tǒng)x

得交點(diǎn)坐標(biāo)為C1，7，此時(shí)

＝7.y＝ex

解之得x0＝1，故切線方程為y＝ex，從而zmin＝e，所求取值范圍為[e,7]．21．B12、B14、E8 卷]設(shè)a<1，集合f(x)＝2x3－3(1＋a)x2＋6axD令h(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a，3①當(dāng)1<a<133a＝1時(shí)，Δ＝0h(x)＝03

4

a<3時(shí)，Δ>0h(x)＝01，1 ∵x1<x211

當(dāng)a≤0時(shí)，D＝(x2，＋∞)．當(dāng)a<1時(shí)，f(x)在R上的單調(diào)性如下表：xa1＋0—0＋3①當(dāng)1<a<13由表可得，x＝af(x)D內(nèi)的極大值點(diǎn)，x＝1f(x)D3a＝133由表可得，x＝1f(x)D310<a<31 4 4＝ 4≥4[3＋3a 4

由表可得，x＝af(x)Da≤0時(shí)，D＝(x2，＋∞)由表可得，f(x)D內(nèi)單調(diào)遞增．因此f(x)在D內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)．21．B9、B12、E8[2012·陜西卷] 設(shè) 21．解：(1)b＝1，c＝－1，n≥2∵f1f(1)＝1－1×1<0，∴f(x)在1，1n2

x∈1，1 n＝2差M≤4.據(jù)此分類(lèi)討論如下：①當(dāng)b>1，即|b|>22②當(dāng)－1≤－b<00<b≤22M＝f2(1)－f－b＝b＋12≤4 20≤－b≤1，即－2≤b≤02M＝f2(－1)－f－b＝b－12≤4 max{a，b}a，b2當(dāng)－1≤－b≤1，即－2≤b≤22M＝max{f2(1)，f2(－1)}－f

＝1＋c＋|b|－－4＋c＝1＋|b|2≤4 2xnfn(x)在1，1內(nèi)的唯一零點(diǎn) fn(xn)＝xn＋xn－1＝0，fn＋

1

n1nn1n知 xnfn(x)在1，1 nnnnnn＝xn＋1＋x－1<xn＋xnnnnfn＋1(x)xn＋1在(xn,1)xn<xn＋1(n≥2)，所以，數(shù)列x2，x3，…，xn，…是遞增數(shù)列．E9E9[2012·江蘇卷]1－5xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1km，某位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx1 2－20(1＋k)x(k＞0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān) 的射程是 彈落地點(diǎn)的求的最大射程17．解：(1)y＝0kx－1(1＋k2)x2＝0x＝20k＝

20＝10k＝1

所以的最大射程為10(2)a>0彈 判別式所以當(dāng)a不超過(guò)6km時(shí)，可目標(biāo)21．H10、E9[2012·卷]如圖1－7所示，動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A(－1,0)、B(2,0)構(gòu)成△MAB，且∠MBA＝2∠MABMC.C|PR|解：(1)M的坐標(biāo)為(x，y)x>0當(dāng)∠MBA＝90°M的坐標(biāo)為 1－tan2.即－|y| .

|y|22 而點(diǎn)(2，±3)3x2－y2－3＝0C

y由題意，方程(*)有兩根且均在(1，＋∞)22所以解得，m>1 2－ 2－ 31－ 31－ 3 31－

m>1m≠2 31－1 31－1 31－1 31－1 所以|PR|的取值范圍是(1,7)∪(7,7＋416．D5、E9[2012·卷]記[x]為不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如 a[－0.3]＝－1.設(shè)a為正整數(shù)，數(shù)列{xn}滿足 a＝5時(shí)，數(shù)列{xn}3②對(duì)數(shù)列{xn}kn≥kn≥1時(shí)，xn＞kxk＋1≥xkxk＝[其中的真命題 ．(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)

16．①③④[解析]

2

2

對(duì)于②，取a＝3，則

2

2

2由此可知，n≥212，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由[x]的定義知[x]＞x－1，而a是正整數(shù)，故xn≥0，且xn是整數(shù)，n＝1時(shí)，x1＝a≥a>a－1

a于是 xn，由于xn和xn都是整數(shù) a

xn＋a

故x＋ xn－1＝n

對(duì)于④，當(dāng)x＋≥x時(shí)，得xk＋xk≥x，從 xk－x2k 2

即a－xk≥0a－xk≥a－xk≥0，即a－xk≥0xk≤ 結(jié)合③得：a－1＜xk≤axk＝[a].A2、C8、E6、E9[2012·卷]設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，

15．①②③[解析]本題考查命題真判斷，正、余弦定理，不等式的性質(zhì)，基本 π對(duì)于①，由c2＝a2＋b2－2abcosC<ab得π

ab＝a＋b≥2，則cosC>2

4c2＝4a2＋4b2－8abcosC<a2＋b2＋2abab(8cosC＋2)>3(a2＋b2)8cosC＋2>3a＋b≥6，則cosC>1，因?yàn)?<C<π，所

π＋b2c2<a2＋b2Cπ2對(duì)于④，(a＋b)c<2ab可變?yōu)?×1>1＋1≥2，可得ab>c，所以ab>c2，因?yàn)棣衏 π，所以 12 11

對(duì)于⑤，(a2＋b2)c2<2a2b2可變?yōu)閍2＋b2<c2，即c2>ab，所以

，所以cosC> ≥1，所

B14、E9、J3、D5[2012·卷]已知a為正實(shí)數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線y＝－x2an2xA.f(n)Ayan n

≥ a

n當(dāng)0＜a＜1時(shí)，比較n

27fk－f2k4·0－f1

1

2，0y＝－x

則拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為y＝－ an，即y＝－2anx＋an，則 2n n 由(1)f(n)＝a

≥ a≥2n n即知，an≥2n3＋1nn＝2a≥a＝17，n≥3 nnnnnn22n＝0,1,2時(shí)，顯然( 故a＝17

≥ n na的最小值為n

n

a由(1)知f(k)＝ak， ＝ a

下面證明：n

27fk－f2k>4·0－f1

首先證明：當(dāng)0<x<1時(shí)，1 ≥ 4≥44

43則 43 0<x<3時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)3<x<1g(x)在區(qū)間(0,1)≥ ≥27

4

4an

n 27n

≥427＝4

27>4·＝274 20121．[2012·漳州聯(lián)考]若0<x<y<1，則下