計算機控制技術課件第2章

計算機控制技術第二章計算機控制系統(tǒng)基礎計算機控制系統(tǒng)的采樣及信號特點

——計算機控制系統(tǒng)的信號形式

——信號的采樣、采樣周期和采樣定理

——信號的保持計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學模型——Z變換與數(shù)學模型第1節(jié)

計算機控制系統(tǒng)的采樣及信號特點計算機控制系統(tǒng)的信號形式信號的采樣、采樣周期和采樣定理信號的保持一、計算機控制系統(tǒng)信號形式模擬信號：時間與幅值上均連續(xù)，如：y(t)、u(t)離散模擬信號：時間離散，幅值連續(xù)，如：y*(t)數(shù)字信號：時間離散，幅值為數(shù)字量，如：y(kT)、u(kT)量化模擬信號：時間連續(xù)，幅值為連續(xù)量化的信號，如：u*(t)二、信號的采樣、采樣周期和采樣定理采樣信號y*(t)可以描述為：（2-1）其中表示發(fā)生在時刻的理想采樣脈沖。假設y*(t)與采樣時刻無關則上式可以描述為：（2-2）采樣過程二、信號的采樣、采樣周期和采樣定理香農(nóng)采樣定理：原信號頻率的最高頻率為

，采樣頻率為，則采樣定理指出，采樣信號y*(t)唯一地復現(xiàn)原信號

y(t)所必需的最低采樣頻率必須滿足。

也即采樣頻率必須大于原信號頻譜中最高頻率的兩倍，才能根據(jù)采樣信號y*(t)唯一地復現(xiàn)原信號y(t)

。的選擇應保證的間隔內(nèi)，原信號基本保持不變，同時應盡可能小些，以便在采樣時間T以內(nèi)實現(xiàn)多路采樣。三、信號的保持零階保持器的信號保持過程保持器的原理是根據(jù)現(xiàn)在或過去時刻的采樣值，用常數(shù)、線性函數(shù)和拋物線函數(shù)等去逼近兩個采樣時刻之間的原信號。

相保持器可分為零階保持器、一階保持器和高階保持器。，，···三、信號的保持零階保持器的信號恢復，，···零階保持器的傳遞函數(shù)：（2-3）式中，T為采樣周期，s為拉普拉斯（Laplace）算子。

計算機控制系統(tǒng)中，D/A轉換器通常具有零階保持器的功能。三、信號的保持，，···一階保持器具有一階多項式的形式，即（2-4）由于

令t=0和t=-T，可以得到故一階保持器可用下式來描述（2-5）第2

節(jié)

計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學模型Z變換數(shù)學模型一、Z變換

（一）Z變換的定義設連續(xù)函數(shù)y(t)是可以進行拉氏變換的，它的拉氏變換被定義為：（2-6）y(t)被采樣后的脈沖采樣函數(shù)y*(t)為：（2-7）它的拉氏變換式為：（2-8）一、Z變換

根據(jù)廣義脈沖函數(shù)δ(t)的性質：（2-9）所以（2-10）Y*(s)是脈沖采樣函數(shù)的拉氏變換式，因復變量s含在指數(shù)e-skT中不便計算，故引進一個新變量。令（2-11）一、Z變換將式（2-11）代入（2-10）中，可以得到以z為變量的函數(shù)，即（2-12）式（2-12）只能表征連續(xù)時間函數(shù)y(t)在采樣時刻上的特性，而不表征采樣點之間的特性。我們習慣稱Y(z)是y(t)的Z變換，指的是y(t)經(jīng)采樣后y*(t)的Z變換，即（2-13）一、Z變換Z變換的非一一對應性：任何采樣時刻為零的函數(shù)φ(t)

與y(t)相加，得曲線y(t)+φ(t)，將不改變y*(t)的采樣值，因而他們的Z變換相同。采樣時刻為零值的函數(shù)φ(t)的影響一、Z變換

1.級數(shù)求和法它是利用式（2-13）直接展開而得，下面舉例說明?！纠?-1】求單位階躍函數(shù)1(t)的Z變換。單位階躍函數(shù)序列（二）Z變換的方法一、Z變換

解：單位階躍函數(shù)1(t)在任何采樣時刻的值均為1，即：代入式（2-13）中，得：（2-14）將式（2-14）兩邊乘以z-1，有：（2-15）上兩式相減，得：（2-16）所以（2-17）一、Z變換

2.部分分式法設連續(xù)函數(shù)y(t)的拉氏變換Y(s)為有理函數(shù)，具體形式如下：（2-18）式中，M(s)與N(s)都是復變量s的多項式，若將Y(s)分解成部分分式形式：（2-19）它是相應的連續(xù)時間函數(shù)，y(t)為諸指數(shù)函數(shù)Aie-ait之和，這樣利用已知的典型函數(shù)Z變換，便可求出環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的Z變換。一、Z變換

【例2-2】求

的Z變換解：因為

與

相對應的連續(xù)時間函數(shù)是1(t)，相應的Z變換是

，它與

相對應的連續(xù)函數(shù)是e-at，相應的Z變換是

，因而：一、Z變換

3.留數(shù)計算法已知連續(xù)時間函數(shù)y(t)的拉氏變換式Y(s)及全部極點si(i=1,2,3,…,m)，y(t)的Z變換可由下面留數(shù)計算公式求得：（2-20）（1）單極點情況：（2-21）（2）n階極點情況：（2-22）一、Z變換

【例2-3】求

的Z變換解：上式有兩個單極點s1=-1，s2=-3，利用式（2-21）可得：二、數(shù)學模型

（一）差分方程（2-24）式中，k=0,1,2,…，表示采樣時刻；n為差分方程的階次，且要求m≤n。不失一般性，可設a0=1。常用的數(shù)學模型差分方程脈沖傳遞函數(shù)權序列離散狀態(tài)空間方程二、數(shù)學模型

（二）脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)又稱為Z傳遞函數(shù)，其定義為：在零初始條件下，系統(tǒng)輸出采樣函數(shù)的Z變換和輸入采樣函數(shù)的Z變換之比。開環(huán)采樣系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：（2-25）若已知系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)及輸入信號的Z變換X(z)，則輸出響應就可求得，即（2-26）二、數(shù)學模型

（三）權序列（單位脈沖響應）單位脈沖序列{δ(k)}的定義是：（2-27）若輸入序列為任意一個{u(k)}，則根據(jù)卷積公式可得此時的系統(tǒng)輸出響應y(k)為：（2-28）二、數(shù)學模型

（四）離散狀態(tài)空間方程線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以描述為：（2-29）X(k)為n維狀態(tài)向量；U(k)為m維控制向量；Y(k)為p維輸出向量；A為n×n系統(tǒng)矩陣；B為n×m輸入矩陣；C為p×n輸出矩陣；D為p×m前饋矩陣。二、數(shù)學模型

若已知離散狀態(tài)方程，則可以通過Z變換求出脈沖傳遞函數(shù)。對式（2-