九年級數學下冊?？键c微專題提分精練構造直角三角形利用三角函數求邊長小題(解析版)

專題24構造直角三角形利用三角函數求邊長小題【典例講解】RtEABC中,EA=90°,BC=4,有一個內角為60°,點P是直線AB上不同于A、B的一點，且EACP=30°,則PB的長為.【詳解】分兩種情況考慮:當△ABC=60°時，如圖所示：ΞΞCAB=90°,ΞΞBCA=30°.又EEPCA=30°,EEPCB=EPCA+EACB=60°.又如ABC=60°,EEPCB為等邊三角形.又EBC=4,EPB=4.當EABC=30°時，(i)當P在A的右邊時，如圖所示:EEPCA=30°,EACB=60°,EEPCB=90°.又EB=30°,BC=4,CBCPB=EcosB= ,即PBBC4 4 8cosBcos302 J33.2(ii)當P在A的左邊時，如圖所示:EEPCA=30°,EACB=60°,EEBCP=30°.XEB=30°,EEBCP=EB.ECP=BP.在RtEABC中，EB=30°,BC=4,EAC=1BC=2.2根據勾股定理得：AB=.、、BC2—AC2=、.42—22=2√3,EAP=AB-PB=2√3—PB.在RtEAPC中，根據勾股定理得：AC2÷AP2=CP2=BP2,即22+(2v3-PB)2=BP2,解得：BP=4、3綜上所述,bp的長為4或3石或”【綜合演練】1.在EASC中，BC=A+1，EB=45°,EC=30°,則EABC的面積為()√3-1

A.2Bg÷1

B. ÷12C √3+1.2D.%?3÷1【答案】C【分析】過點A作AD△BC,垂足為D.在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分別用AD表示出BD、CD,根據BC的長先求出AD,再求三角形的面積.【詳解】如圖，過點A作AD△BC,垂足為D.A在RtBABD中，△B=45°,BD=AD.在RtBACD中，△C=30°,CD=、,3AD.BD÷CD=BC,AD÷、3AD=1÷,J即AD=LS△ABC=2XBCXAD=2（ι÷,、3）.故選：C.【點睛】本題考查了一般三角形面積計算問題，關鍵是通過作輔助線轉化為直角三角形來解決.2.如圖，在aABC中，/A=15。，AB=2,P為AC邊上的一個動點（不與A、C重合），連接BP,則上2AP+PB的最小值是（）2A.v2B.%?3CTD.2【答案】B【分析】以Ap為斜邊向abbc:外作等腰直角三角形，得pd=2Aap,當d、p、B在同一2直線上時，2AAP+PB=PD+PB取得最小值.在RbABD中，利用正弦函數即可求得答案.2【詳解】如圖，以AP為斜邊向^。外作等腰直角三角形，CoSNAPD=CoS45°==-??AP2PD=2-AAP2當D、P、B在同一直線上時，一AP+PB=PD+PB取得最小值.2在RtAABD中，/D=90。,AB=2,NDAB=NDAP+ZBAC=45。+15。=60osinNDAB=Sin60°= ,AB△BD=亙X2=√3.2【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，D構造輔助線得到PD=仝AP是解題的關鍵.23.如圖，有一塊三角形空地需要開發(fā)，根據圖中數據可知該空地的面積為（）100√3m2150.3m2200√3m2 D.300√3m2【答案】B【分析】延長BA,過C作CD^BA的延長線于點D,再根據補角的定義求出MAC的度數，由△△BAC=120°,△△DAC=180°-120°=60°，△AC=20m，△CD=AC?sin60°=20x立=10√3（m），2△S△八d=1AB?CD=1×30x10?3=150、、3（m2）.abc2 2故選B.【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵.—— 而 3 . 4.如圖，CoSB=—,SinC=-,AC=10，則aBSC的面積是（ ）\o"CurrentDocument"2 5?A.42 B.43 C.44 D.45【答案】A【分析】過點A作AD△BC于點D,根據銳角三角函數的定義，求出AD、BD和CD的長度.【詳解】過點A作AD△BC于點D,AD△sinC=AC△AD=AC?sinC=6,△由勾股定理可知：BC=8,巨EcosB=——,2EEB=45°,EBD=AD=6,EBC=14,EEABc的面積為2BC?AD=2×6×14=42.故選A.【點睛】考查解直角三角形，解題的關鍵是根據銳角三角函數求出AD與BC的長度.5.如圖，正六邊形ABCDEF中，AB=2,點P是ED的中點，連接AP,則AP的長為（ ）【答案】C在正六邊形中，EF=1×(6-2)?180°=120°.△AF=EF,EeAEF=EEAF=1(180°-120°)=30°.EEAEP=120°-30°=90°.5 .16.已知在ZiABC中，/A、/B是銳角，且SlnB= ,tanA=-,AB=44cm,則4ABC的13 2△點P是ED的中點，EEP=1×2=1.面積等于-cm2.【答案】220【分析】過點C作AB的垂線，得到兩個直角三角形，根據題意求出兩直角三角形中AD,DB和CD的長，用三角形的面積公式求出三角形的面積.【詳解】解：如圖：B DA過點C作AB的垂線，垂足為點D'?'sinB=—13CD,BC設CD=5X,BC=13Xa>0)'tanA=cD1,

2可設CD=y,AD=2y(y>0):.AD=2y=2CD=10X.?.BD=J(13X)2-(5X)2=12X:AB=AD+BD=10X+12X=22X由22X=44,得X=2則= =故S =1AB-CD=1X44X10=220cm2^ABC2 2故答案是：220【點睛】本題主要考查了解直角三角形與勾股定理結合求面積，如何解直角三角形是解題的關鍵.△ABC中，AB=4,AC=5,△ABC的面積為5W，那么M的度數是.【答案】60°或120°##120°或60°【分析】首先根據已知條件可以畫出相應的圖形，根據AC=5,可以求出AC邊上的高，再根據她的三角函數值可得她的度數，注意需要分情況討論.【詳解】解：當的是銳角時，如圖，過點B作BD△AC于D,△AC=5,△ABC的面積為5、，3回BD=5√3×2÷5=2C在RtAABD中，sinA=BD=運=-3AB4 200A=60°.當EA是鈍角時，如圖，過點B作BDEAC交CA的延長線于D,DA△AC=5,EABC的面積為5、3EBD=5、:3×2÷5=2×.3在RtEABD中，SinEBAD=sinA=BD=-2-3=—AB4 2EEBAD=60°.EEBAC=180°-60°=120°.故答案為60°或120°.【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是畫出合適的圖形，作出相應的輔助線.8.如圖，在四邊形ABCD中，NB=ZD=90。，/BAD=60。，AB=4,AD=5.則AC的長的值為.【答案】2√7【分析】如圖，延長BC,AD交于E,解直角三角形分別求出AE、DE、CE、BC的長，再運用勾股定理即可求解.【詳解】解：如圖，延長BC,AD交于E,EZB=90。,ZBAD=60。,AB=4EZE=30。EAE=2AB=8,BE=AB?tanZBAE=4Xtan60o=4Y3EAD=5EDE=3回/ADC=ZCDE=90o,CE=-DE-=3L=2√3回cosE33 ,F回BC=BE-CE=2、3回AC=、JAB2+BC2=. +C?3)=2萬故答案為：2*7【點睛】本題考查了解直角三角形的知識，理解題意、明確思路、正確添加輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.9.如圖，在△ABC中，ΞA=30°,ΞB=45°,AC=2A，貝USAABC=—.CA B【答案】232【分析】如圖，過點C作CDEAB于點D.通過解直角△ACD求得CD、AD的長度，通過解直角△BCD求得BD的長度；則易求AB=AD+BD;然后由三角形面積公式進行解答.【詳解】如圖，過點C作CDEAB于點D.在直角EACD中，EA=30°,AC=2QAD=AC?cos30°=2、J×—=3,CD=jAC=A在直角EBCD中，EB=45°,CD=SEBD=CD=-,3EAB=AD+BD=3+-JESEABC=1AB?CD=1×（3+、、3）×、S=3+3^-2 2 2故答案是：3±3132【點睛】本題考查了解直角三角形.對于此類題目，不是直角三角形，要利用三角函數必須構筑直角三角形，知道三個元素（至少有一個是邊），就能求出其余的邊和角.進而求面積，在轉化時，盡量不要破壞所給條件.10.如圖，在^ABC中，AC=8,^ABC=60。，/C=45。，AD±BC,垂足為D,/ABC的平分線交AD于點E,則AE的長為.【答案】生23【分析】由圖象可得兩個直角三角形,分別為45°等腰直角三角形和30°直角三角形,先在Rt△ADC中算出AD,再Rt^ADB中,算出BD,根據角平分線的性質可得Rt^EBD為30°特殊直角三角形,再求出DE,即可求出AE的長.【詳解】解：△AD±BCAADC=ZADB=90。.在RtAADC中，AC=8,ZC=45。AD=CDQ一AD=——AC=4√22在RtAADB中，AD=4√2,ZABD=60。3 4\;6BD=—AD=—3 3BE平分ZABCZEBD=30。.在RtAEBD中，BD=且，ZEBD=30。3DE=3BBD=生23 38√2△AE=AD—DE=——3【點睛】本題考查解特殊直角三角形,關鍵在于熟練掌握特殊直角三角形的基礎性質.11.如圖，某小區(qū)物業(yè)想對小區(qū)內的三角形廣場ABC進行改造，已知AC與BC的夾角為120o,AC=20米，BC=30米，請你幫助物業(yè)計算出需要改造的廣場面積是平方米.（結果保留根號）120o【答案】15043【分析】過點A作AD±BC,交BC的延長線于點D，根據解直角三角形的方法即可求解.【詳解】如解圖，過點A作AD?BC,交BC的延長線于點D/BCA=120。ZACD=60。.在RtAACD中，AC=20,ZACD=60o打―AD=AC?sin60o=20x——=10√3.2BC=30,AD=10?'3S =1BC?AD=1X30X10√3=150√3（平方米）.AABC2 2【點睛】此題主要考查三角函數的應用，解題的關鍵是根據題意作出輔助線進行求解..如圖，在△ABC中，△A=30°,tanB==,AC=2、3，AB的長..【答案】5【分析】作CD^AB于D,據含30度的直角三角形三邊的關系得到CD=%3,AD=3，再在Rt^BCD中根據正切的定義可計算出BD，然后把AD與BD相加即可.【詳解】解：作CD^AB于D,如圖，在RtAACD中，△A=30°,AC=2√3△CD=2AC=A,AD=Y3CD=3,在RtABCD中，tanB=CDBD△亙=遮BD2△BD=2,△AB=AD+BD=3+2=5.【點睛】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形..如圖，等腰直角△/%的面積為16,點D在斜邊AC的延長線上，△BDC=30°,貝必BDC的面積是__.【答案】8√3+8【分析】作BH△AC于H.想辦法求出AD.BH即可解決問題.【詳解】解：如圖，作BH△AC于H.△等腰直角AABC的面積為16,EBA=BC=4-.2EBA=BC=4√2,EABC=90°,BHEAC,.??AC=J(4√2)2+(4√2)2=8,AH=CH=BH=4,在RtABDH中，EEBHD=90°,EBDC=30°,??.DH=、J3BH=4<3,??.AD=4√3+4,.?.s=1?AD?BH=IQ：3+4).4=8V3+8.AADB2 2【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型..已知：在EABC中，AC=a,AB與BC所在直線成45°角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為2后EPcosC=2在），則AC邊上的中線長是【答案】票a或得a【詳解】解：分兩種情況:①EABC為銳角三角形時，如圖1.作EABC的高AD,BE為AC邊的中線.E在直角EACD中，AC=a,cosC=2上，55ECD=2、5a,AD=Wa.E在直角EABD中，EABD=45°,EBD=AD=立a,53√5

ΞBC=BD+CD==a.5在EBCE中，由余弦定理，得BE2=BC2+EC2-2BC?EC?cosC=9a2+1a2—2X"aX1aX2??=5 4 5 2 51720一a2EBE=185a②EABC為鈍角三角形時，如圖2.作EABC的高AD,BE為AC邊的中線.E在直角EACD中，AC=a,cosC=ZeECD=入5a,AD=區(qū)a.5 5E在直角EABD中，EABD=45°,EBD=AD=-5-a,335EBC=BD+CD=355a.在EBCE中，由余弦定理，得BE2=BC2+EC2-2BC?EC?cosC1 1 Cy-I 2、5 1=a2+a2-2x aXaX=a25 4 5 2 5 20EBE=-??a綜上可知AC邊上的中線長是上邑a或Wa10 1015.在aABC中，AC=4√2,BC=6,NC為銳角且tanC=1.（1）求^ABC的面積；⑵求AB的值；⑶求CosZABC的值.【答案】（1）12（2）2v5⑶15【分析】（1）過點A作AD±BC，根據ZC的正切值確定ZC的度數，再利用直角三角形的邊角間關系求出AD、CD，最后利用三角形的面積公式算出^ABC的面積；（2）先利用線段的和差關系求出BD，然后在Rt△ABD中利用勾股定理求出AB（3）在Rt△ABD中利用直角三角形的邊角間關系求出ZB的余弦值.解：過點A作AD±BC，垂足為DAZADC=ZADB=90。ZC為銳角且tanC=1ZC=45。ZDAC=90o-ZC=45oZDAC=ZC=45oAD=DC在RtAACDAd△SinC=-—，AC=4、2AC△DC=AD=AC?SinC=4\2=4X——2△BC=61 1/△S=BCAD=—X6X4=12△ABC 22△△ABC的面積為12△DC=AD=4，BC=6△BD=BC—DC=6—4=2在Rt△ABD中，AB=、、aD22+BD2=442+22=2%5△AB的值為2芯在Rt△ABD中，AB=2.5，BD=2△CosNABC=BD2 √5AB―2芯—5△cosNABC的值為—.5【點睛】本題主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關系、特殊角的三角函數值、三角形的面積公式及勾股定理是解題的關鍵.2一416.如圖，在△ABC中，SinB=—,cosC=一，AC=5,則△ABC的面積為多少？

2 5【答案】10.5【分析】作AD胡^根據cosC和AC即可求得AD的值，再根據胡可以求得AD=BD，根據AD,BC即可求得S^ABC的值?【詳解】解：過點A作AD△BC,垂足為D.一4在RtΔACD中，CoSC=5,AC=5,4△CD=ACXcosC=5X=4.5△由勾股定理得：AD=xAlC2-CD2=3.√2EsinB=-,2EEB=45°.EEBAD=EB=45°.EBD=AD=3.ESaabc=：BC?AD=：(3+4)×3=10.5.【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是掌握特殊角的三角函數值，并能根據題目條件構造直角三角形.17.已知在酎5C中，Ξ^CB=135°,AC=8,D、E分別是邊BC、AB上的一點，若tanEDEA=2,DE=V5,SδDEB=4,求四邊形ACDE的面積.【分析】作DHEAB于H,CNEAB于N,BMEAC交AC的延長線于M.由題意易知tanEDBH=DH=CN=2,可以假設CN=2k,BN=5k,則BC=v29k,再根據tanEA=BM=CNHBBN5 AMAN構建方程即可解決問題.【詳解】解：如圖，作DHEAB于H,CNEAB于N,BMEAC交AC的延長線于M.EDH=2,EH=1,ESδdeb=1?EB?DH,△DEB2△4=1×EB×2,2EEB=4,BH=5,DHCN2EtanEDBH= = =,HBBN5△可以假設CN=2k,BN=5k，貝UBC=29k,EEACB=135°,EEMCB=45°,ECM=BM=立×,29=也8k,22EtanEA=四=CNAMAN且k2kE-2^~=o^^8+任kN-(2k),22解得：k=》或-14咨（舍棄）,2929EAB=AN+BN=28v2+迎理29△S四邊形ACDE=SAABCSadeb1=-X2rL28√2+I30√58)12屈29)X 29336√29604 +——29 29.4【點睛】本題考查解直角三角形的應用，三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題.18.如圖，在RtA∕BC中，EC=90°,D是BC邊上一點，EBAD=45°,AC=3,AB=3√5,求BD的長.【答案】BD的長是5.【分析】過D作DE^AB于點E,設DE=a,用a表示出AE、BE,在RtEABC和RtEBDE中分別表示出tanEABC,從而列出方程，解方程后即可求出BE、DE的長，然后用勾股定理即可求出BD.【詳解】解：過D作DEEAB于點E,如圖所示，△△BAD=45°,△△EAD=^EDA=45°,△AE=DE,設DE=a,貝UBE=AB-AE=3v5-a,△AC=3,AB=3√5,△C=90°,△BC=v'(3、/5)2—32=6△tanNABC=DEBEACa3

= = =—BC3√5—a6,△a=√5經檢驗，a=v5是上面方程的解.△DE=v5，BE=2?/5Rt^BED中，由勾股定理得：BD2=BE2+DE2=(v5)2+(245)2=25△BD=5.【點睛】本題考查了三角函數的應用，通過在不同三角形中表示出同一個角的某個三角函數從而列出方程求解是解題關鍵，這種解法比用相似更簡捷，要靈活運用.19.如圖，aABC的角平分線BD=1,NABC=120。，/A、NC所對的邊記為a、c.BAD C(1)當C=2時，求a的值；(2)求ABBC的面積(用含a,C的式子表示即可)；(3)求證：a,C之和等于a,C之積.【答案】(1)2；(2)S=皂ac；(3)詳見解析.△ABC 4【分析】(1)過點A作AE