稀奇古怪的數(shù)學(xué)題目

稀奇古怪的數(shù)學(xué)題目第1頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月學(xué)會(huì)學(xué)解題第2頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1．1數(shù)學(xué)解題

解題是找出數(shù)學(xué)問(wèn)題答案的活動(dòng)．例題講解、習(xí)題求解、定理證明以及實(shí)際問(wèn)題的建模解決等都是解題．解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)核心內(nèi)容和一種最基本的活動(dòng)形式．?dāng)?shù)學(xué)解題又是掌握數(shù)學(xué)、學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”的基本途徑，概念的掌握、技能的熟練、定理的理解、能力的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟、數(shù)學(xué)態(tài)度的養(yǎng)成等都離不開(kāi)解題實(shí)踐(沒(méi)有勤奮而得法的解題訓(xùn)練，談不上掌握數(shù)學(xué))；數(shù)學(xué)解題還是評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)的重要手段第3頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

2．3．1學(xué)解題的三步驟程式及其反思三步驟程式

第1步：簡(jiǎn)單模仿第2步：變式練習(xí)第3步：自發(fā)領(lǐng)悟第4步：自覺(jué)分析第4頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月前3步體現(xiàn)了“接受記憶知識(shí)——練習(xí)鞏固知識(shí)——頓悟形成理解”這樣一個(gè)逐步深化的認(rèn)識(shí)過(guò)程，是傳統(tǒng)教學(xué)所熟悉的．

解題思維需要有“第二過(guò)程”的暴露第5頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程的暴露是一個(gè)不斷分析解題過(guò)程、循環(huán)提升理解能力的探究活動(dòng)．在過(guò)程上，既有“第一過(guò)程”的暴露又有“第二過(guò)程”的暴露，是解題思維的全過(guò)程暴露；在內(nèi)容上，既包括數(shù)學(xué)家的思維、又包括教師的思維、學(xué)生的思維（教室里應(yīng)是這三種思維的同時(shí)暴露）．第6頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）弗里德曼在《怎樣學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題》（文[5]）“致讀者”中，分析學(xué)生解了大量的題但還“不開(kāi)竅”時(shí)指出：“這些學(xué)生沒(méi)有在應(yīng)有的程度上分析所解的習(xí)題，不能從中分析出解題的一般方式和方法，解題常常只是為了得個(gè)答案．”第7頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月波利亞的《怎樣解題》一書(shū)正是通過(guò)剖析典型例題的解題過(guò)程來(lái)展開(kāi)“解題表”和“教會(huì)年輕人去思考”的，并且在解題表中專(zhuān)設(shè)了一個(gè)步驟“回顧”，為每一道題的自覺(jué)分析都留下了時(shí)間和空間．他在書(shū)中指出：“一個(gè)好的教師應(yīng)該懂得并且傳授給學(xué)生下述看法：沒(méi)有任何問(wèn)題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做．經(jīng)過(guò)充分的探討與鉆研，我們能夠改進(jìn)這個(gè)解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對(duì)這個(gè)解答的理解水平．”這就又進(jìn)一步說(shuō)明，分析解題過(guò)程不僅能“改進(jìn)”解答，而且總能提高“理解”水平．波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》序言中還具體指出解題分析的最佳時(shí)機(jī)：“可能是讀者解出一道題的時(shí)候，或是閱讀它的解法的時(shí)候”．第8頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月主要的解題理論①波利亞的《怎樣解題》②弗里德曼在《怎樣學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題》③元認(rèn)知理論認(rèn)④數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論⑤分析典型的例題或自己的解題，也是一種“案例分析”，它是“案例數(shù)學(xué)”在解題教學(xué)中的移植解題差異論認(rèn)為，解題的過(guò)程就是消除已知（條件）與未知（結(jié)論）之間差異的過(guò)程．第9頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月什么是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決呢？

1．問(wèn)題解決是心理活動(dòng)．

2．問(wèn)題解決是一個(gè)過(guò)程．

3．問(wèn)題解決是一個(gè)目的．

4．問(wèn)題解決是一種能力．

第10頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)解題在數(shù)學(xué)教育中的重要性波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中認(rèn)為：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就在于加強(qiáng)解題能力的訓(xùn)練”（參見(jiàn)文[5]序言），解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有不容置疑的重要性:1．?dāng)?shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的核心內(nèi)容，數(shù)學(xué)解題的思維實(shí)質(zhì)是發(fā)生數(shù)學(xué)．2．?dāng)?shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可替代的實(shí)質(zhì)活動(dòng)，解題活動(dòng)的核心價(jià)值是掌握數(shù)學(xué)．3．?dāng)?shù)學(xué)解題是評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)能力時(shí)不可削弱的主體構(gòu)成，解題測(cè)試的基本理念是呈現(xiàn)數(shù)學(xué)．第11頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)解題就是解題者在數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下，運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)基本技能分析、解決問(wèn)題的過(guò)程．

第12頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月波利亞的怎樣解題表：弄清問(wèn)題擬定計(jì)劃實(shí)現(xiàn)計(jì)劃回顧第13頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第14頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第15頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第16頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第17頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第18頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第19頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第20頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第21頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第22頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第23頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第24頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第25頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第26頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第27頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第28頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解題化歸論解題化歸論認(rèn)為，解數(shù)學(xué)題的過(guò)程，就是將未知的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決問(wèn)題的過(guò)程．這是一種關(guān)于解題的很流行的觀點(diǎn)，笛卡兒（公元1596～1650）在《指導(dǎo)思維的法則》一書(shū)提出的“通用方法”有化歸思想的明確表達(dá)：●將所論的問(wèn)題化歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題（數(shù)學(xué)化），●將數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題（代數(shù)化），●將代數(shù)問(wèn)題化歸為方程的求解（計(jì)算化）．雖然這種方法不是萬(wàn)能的，但所體現(xiàn)的化歸思想確實(shí)是非常有價(jià)值的．第29頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1波利亞的《怎樣解題表》喬治·波利亞（GeorgePolya1887～1985）是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家．在解題方面，是數(shù)學(xué)啟發(fā)法(指關(guān)于發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，亦譯為探索法)現(xiàn)代研究的先軀．

第30頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月波利亞（公元1889-1985）的《怎樣解題》一書(shū)體現(xiàn)了解題化歸論，波利亞的著作運(yùn)用化歸思想十分熟練、實(shí)施化歸途徑非常豐富（當(dāng)然波利亞的解題思想不僅僅是化歸）．第31頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第32頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第33頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第34頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第35頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第36頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第37頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第38頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第39頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第40頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第41頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第42頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第43頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第44頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)解題美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P·R·Halmos）認(rèn)為，問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟．他說(shuō)：“數(shù)學(xué)究竟是由什么組成的？定理嗎？證明嗎？概念？定義？理論？公式？誠(chéng)然，沒(méi)有這些組成部分，數(shù)學(xué)就不在,這些都是數(shù)學(xué)的必要組成部分，但是，它們中的任何一個(gè)都不是數(shù)學(xué)的心臟,這個(gè)觀點(diǎn)是站得住腳的，數(shù)學(xué)家存在的主要理由就是解問(wèn)題．因此，數(shù)學(xué)的真正的組成部分是問(wèn)題和解．”

第45頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月引例——經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)的積累．例2-1已知求證．經(jīng)測(cè)試，學(xué)生普遍都能找到多種解法，但對(duì)哪種解法更反映問(wèn)題的本質(zhì)或深層結(jié)構(gòu)，認(rèn)識(shí)是不一致的．證明１（從結(jié)論出發(fā)，用配方法）證明２（從結(jié)論出發(fā)，用基本不等式）

第46頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明３（用柯西不等式）

證明4（兩次用基本不等式）

相乘第47頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在同學(xué)們各抒己見(jiàn)的基礎(chǔ)上，我們不表態(tài)，請(qǐng)大家繼續(xù)思考下題：例2-2已知求證．這時(shí)，不同解法的難度、長(zhǎng)度和技巧表現(xiàn)出差異．證明１（配方法）第48頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明2（柯西不等式法）

第49頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明3（三次用基本不等式法）

相乘

．同學(xué)們體會(huì)到，當(dāng)字母增加時(shí)，三次用基本不等式法更反映題目的結(jié)構(gòu)，并立即推廣得例2-3已知是個(gè)正數(shù)，滿(mǎn)足求證

第50頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月原題目：在橢圓上求一點(diǎn)，使它與倆焦點(diǎn)的連線(xiàn)互相垂直。隨著新課程改革的深入，處理好教材上的習(xí)題，挖掘它的潛在教育價(jià)值功能。注意題目的引伸、變式、推廣等，落實(shí)學(xué)生的“三維”目標(biāo)和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。例如高中《數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）》第132頁(yè)第6題來(lái)進(jìn)行剖析說(shuō)明。原題目：在橢圓上求一點(diǎn)，使它與倆焦點(diǎn)的連線(xiàn)互相垂直。第51頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（04湖南）已知是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，在C上滿(mǎn)足的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為_(kāi)________.（2000年天津、江西）、橢圓的焦點(diǎn)為點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是____________.（2004年福州）已知P點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，是兩個(gè)焦點(diǎn)，且=，則的面積_______________.第52頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為點(diǎn)P是橢圓上的任意點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為x，一般地有：

第53頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

雙關(guān)圖第54頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這種畫(huà)有不止一種效果，如果你按通常的方式去看它，它是一個(gè)圖像，可是如果你轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置再換一種特殊方式去看它，那么另一個(gè)圖像就會(huì)突然閃現(xiàn)在你面前，并對(duì)第一個(gè)圖像發(fā)表某些詼諧的評(píng)論．

第55頁(yè)，課件共57頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月我們也許會(huì)一下子看出隱藏在塞滿(mǎn)了的畫(huà)面里的真正圖形，也可能是逐漸地把它認(rèn)了出來(lái)．我們可能是在努力解題的過(guò)程中，也可能是在一些次要的、非實(shí)質(zhì)性