2021-2022學(xué)年安徽省亳州市臨湖中心中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

2021-2022學(xué)年安徽省亳州市臨湖中心中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.橢圓+=1（a＞b＞0）與直線(xiàn)x+y=1交于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．橢圓的離心率e滿(mǎn)足≤e≤，則橢圓長(zhǎng)軸的取值范圍是(

)A．[，1] B．[，2] C．[，] D．[，]參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，△＞0．由OP⊥OQ，可得=0，把根與系數(shù)的關(guān)系可得：a2+b2=2a2b2．由橢圓的離心率e滿(mǎn)足≤e≤，化為，即可得出．【解答】解：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立，化為：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，△=4a4﹣4（a2+b2）（a2﹣a2b2）＞0，化為：a2+b2＞1．x1+x2=，x1x2=．∵OP⊥OQ，∴=x1x2+y1y2=x1x2+（x1﹣1）（x2﹣1）=2x1x2﹣（x1+x2）+1=0，∴2×﹣+1=0．化為a2+b2=2a2b2．∴b2=．∵橢圓的離心率e滿(mǎn)足≤e≤，∴，∴，∴≤1﹣≤，化為5≤4a2≤6．解得：≤2a≤．滿(mǎn)足△＞0．∴橢圓長(zhǎng)軸的取值范圍是[，]．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．2.等比數(shù)列｛｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且=

（

）A、10

B、12

C、6

D、5參考答案：D略3.《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位所著，該著作完善了珠算口訣，確立了算盤(pán)用法，完成了由籌算到珠算的徹底轉(zhuǎn)變，對(duì)我國(guó)民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識(shí)起到了很大的作用．如圖所示的程序框圖的算法思路源于該著作中的“李白沽酒”問(wèn)題，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的m的值為0，則輸入的a的值為（）A.

B.

C.

D.參考答案：C4.若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的應(yīng)用；數(shù)列的應(yīng)用．【分析】先設(shè)長(zhǎng)軸為2a，短軸為2b，焦距為2c，由題意可知：a+c=2b，由此可以導(dǎo)出該橢圓的離心率．【解答】解：設(shè)長(zhǎng)軸為2a，短軸為2b，焦距為2c，則2a+2c=2×2b，即a+c=2b?（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故選B．5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是

A.

B.

C.

D.參考答案：B略6.已知點(diǎn)M（a，b）在圓O：x2+y2=1外，則直線(xiàn)ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是（）A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定參考答案：B【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系．【分析】由M在圓外，得到|OM|大于半徑，列出不等式，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出圓心O到直線(xiàn)ax+by=1的距離d，根據(jù)列出的不等式判斷d與r的大小即可確定出直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系．【解答】解：∵M(jìn)（a，b）在圓x2+y2=1外，∴a2+b2＞1，∴圓O（0，0）到直線(xiàn)ax+by=1的距離d=＜1=r，則直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是相交．故選B7.已知空間四邊形ABCD中，O是空間中任意一點(diǎn)，點(diǎn)M在OA上，且OM=2MA，N為BC中點(diǎn)，則=（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：B8.由數(shù)字2，3，4，5，6所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中5，6相鄰的奇數(shù)共有

（

）A．10個(gè)

B．14個(gè)

C．16個(gè)

D．18個(gè)參考答案：B9.在△ABC中，“A=60°”是“cosA=”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專(zhuān)題】三角函數(shù)的求值．【分析】判斷出若“cosA=”成立，則有“A=60°成立；反之在△ABC中，若“A=60°成立則“cosA=”成立，利用充要條件的定義得到結(jié)論．【解答】解：在△ABC中，若“cosA=”成立，則有“A=60°成立；反之在△ABC中，若“A=60°成立則有“cosA=”成立，所以，“A=60°”是“”的充要條件．故選C．【點(diǎn)評(píng)】判斷一個(gè)命題是另一個(gè)命題的什么條件，應(yīng)該先確定出條件，然后兩邊互推，利用充要條件的有關(guān)定義進(jìn)行判斷．10.對(duì)于a∈R，直線(xiàn)（x+y﹣1）﹣a（x+1）=0恒過(guò)定點(diǎn)P，則以P為圓心，為半徑的圓的方程是（）A．x2+y2+2x+4y=0 B．x2+y2+2x﹣4y=0C．x2+y2﹣2x+4y=0 D．x2+y2﹣2x﹣4y=0參考答案：B【考點(diǎn)】圓的一般方程；恒過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；直線(xiàn)與圓．【分析】聯(lián)解直線(xiàn)x+y﹣1=0與x+1=0的方程，可得直線(xiàn)（x+y﹣1）﹣a（x+1）=0恒過(guò)定點(diǎn)P（﹣1，2）．由圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程，寫(xiě)出圓的方程再化成一般式方程，可得本題答案．【解答】解：聯(lián)解，可得x=﹣1，y=2∴直線(xiàn)（x+y﹣1）﹣a（x+1）=0恒過(guò)定點(diǎn)P（﹣1，2）因此以P為圓心，為半徑的圓的方程是（x+1）2+（y﹣2）2=5化成一般式可得x2+y2+2x﹣4y=0故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題給出直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P，求以P為圓心且為半徑的圓．著重考查了直線(xiàn)的方程、圓的方程和直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在圓x2+y2﹣2x﹣6y=0內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E（0，1）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為．參考答案：10【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心M的坐標(biāo)和半徑，最長(zhǎng)的弦即圓的直徑，故AC的長(zhǎng)為2，最短的弦BD和ME垂直，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，由弦長(zhǎng)公式求出BD的值，再由ABCD的面積為求出結(jié)果．【解答】解：圓x2+y2﹣2x﹣6y=0即（x﹣1）2+（y﹣3）2=10表示以M（1，3）為圓心，以為半徑的圓．由圓的弦的性質(zhì)可得，最長(zhǎng)的弦即圓的直徑，AC的長(zhǎng)為2．∵點(diǎn)E（0，1），∴ME==．弦長(zhǎng)BD最短時(shí)，弦BD和ME垂直，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，此時(shí)，BD=2=2=2．故四邊形ABCD的面積為=10，故答案為10．12.如圖，在△ABC中，,,，則

。參考答案：13.若直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第一象限，則的取值范圍是__________。參考答案：14.設(shè)平面區(qū)域是由雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)和拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)所圍成的三角形（含邊界與內(nèi)部）．若點(diǎn)，則目標(biāo)函數(shù)的最大值與最小值之和為

．參考答案：3

略15.如圖，已知可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部，若目標(biāo)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)在點(diǎn)A處取得最大值，則k的取值范圍是

.參考答案：16.設(shè)，，，則的大小關(guān)系為_(kāi)▲_.參考答案：17.將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同分法的種數(shù)為

（用數(shù)字作答）。參考答案：96略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1，2，3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同，隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c．（1）求“抽取的卡片上的數(shù)字滿(mǎn)足a+b=c”的概率；（2）求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率．（注：若三個(gè)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a≤b≤c，則稱(chēng)b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)）參考答案：【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專(zhuān)題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）所有的可能結(jié)果（a，b，c）共有3×3×3=27種，一一列舉即可，而滿(mǎn)足a+b=c的（a，b，c）有3個(gè)，由此求得“抽取的卡片上的數(shù)字滿(mǎn)足a+b=c”的概率．（Ⅱ）所有的可能結(jié)果（a，b，c）共有3×3×3種，用列舉法求得滿(mǎn)足“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c完全相同”的（a，b，c）共計(jì)三個(gè)，由此求得“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c完全相同”的概率，再用1減去此概率，即得所求【解答】解：（Ⅰ）由題意，（a，b，c）所有的可能為：（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（1，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27種．

設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿(mǎn)足a+b=c”為事件A，則事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3種，所以P（A）==．

因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿(mǎn)足a+b=c”的概率為．（Ⅱ）設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3種．所以P（B）=1﹣P（）=1﹣=．因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式的應(yīng)用，屬于中檔題19.已知a＞0，求證：﹣≥a+﹣2．參考答案：【考點(diǎn)】不等式的證明．【分析】用分析法，證明不等式成立的充分條件成立，要證原命題，只要證+2≥a++，即只要證（+2）2≥（a++）2，進(jìn)而展開(kāi)化簡(jiǎn)，可得只要證明：（a﹣）2≥0，易得證明，【解答】證明：要證﹣≥a+﹣2，只要證+2≥a++．∵a＞0，故只要證（+2）2≥（a++）2，即a2++4+4≥a2+2++2（a+）+2，從而只要證

2≥（a+），只要證4（a2+）≥2（a2+2+），即a2+≥2，即：（a﹣）2≥0，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立．20.已知函數(shù)在區(qū)間(－1,2)上為減函數(shù).（1）求a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，方程有幾個(gè)不同的實(shí)根？說(shuō)明理由.參考答案：（1），因?yàn)樵趨^(qū)間上為減函數(shù)，所以在區(qū)間上恒成立，所以即解之得，所以的取值范圍是（2）因?yàn)?，所以令，得或，隨的變化情況如下表：畫(huà)出函數(shù)的大致圖象（略）易知方程有3個(gè)不同的實(shí)根.某市一個(gè)社區(qū)微信群“步行者”有成員100人，其中男性70人，女性30人，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)他們平均每天步行的時(shí)間，得到頻率分布直方圖，如圖所示：若規(guī)定平均每天步行時(shí)間不少于2小時(shí)的成員為“步行健將”，低于2小時(shí)的成員為“非步行健將”.已知“步行健將”中女性占.（1）填寫(xiě)下面2×2列聯(lián)表，并通過(guò)計(jì)算判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“是否為‘步行健將’與性別有關(guān)”；

步行健將非步行健將總計(jì)男性

女性

總計(jì)

（2）現(xiàn)從“步行健將”中隨機(jī)選派2人參加全市業(yè)余步行比賽，求2人中男性的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】【解析】（1）據(jù)頻率分布直方圖，“步行健將”的人數(shù)為，其中女性有7人，填寫(xiě)表格如下：故故在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下不能認(rèn)為“是否為‘步行健將’與性別有關(guān)”.（2）依題意知的可能取值為0,1,2，所以分布列為故.21.(12分)已知c＞0，且c≠1，設(shè)p：函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減；q：函數(shù)f(x)＝x2－2cx＋1在上為增函數(shù)，若“p且q”為假，“p或q”為真，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．參考答案：②當(dāng)p假，q真時(shí)，＝.綜上所述，實(shí)數(shù)c的取值范圍是.22.（14分）（2013?陜西）設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．（Ⅰ）若{an}為等差數(shù)列，推導(dǎo)Sn的計(jì)算公式；（Ⅱ）若a1=1，q≠0，且對(duì)所有正整數(shù)n，有Sn=．判斷{an}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論．參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比關(guān)系的確定．

【專(zhuān)題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則an=a1+（n﹣1）d，可得a1+an=a2+an﹣1=…，利用“倒序相加”即可得出；（II）利用an+1=Sn+1﹣Sn即可得出an+1，進(jìn)而得到an，利用等比數(shù)列