計(jì)算機(jī)圖形中曲面的設(shè)計(jì)理論

計(jì)算機(jī)圖形中曲面的設(shè)計(jì)理論第1頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月9.1插值邊界線的孔斯曲面 9.1.1雙線性孔斯曲面 如圖9.1所示，假設(shè)這一對(duì)曲線邊定義在參數(shù)區(qū)間u∈［0,1］上，即有參數(shù)方程Q0(u)和Q1(u)，而u∈［0,1］，且滿足 Q0(0)=P00,Q0(1)=P10

Q1(0)=P01,Q1(1)=P11(9.1.1)第2頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

則可寫出如上運(yùn)動(dòng)生成的曲面片方程為Q(u,v)=(1-v)Q0(u)+vQ1(u) (u,v)∈［0,1；0,1］(9.1.2)第3頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖9.1曲線邊界的四邊形及其角點(diǎn)示意圖第4頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

完全對(duì)等地，對(duì)另一對(duì)定義在v∈［0,1］上的曲線邊，有參數(shù)方程R0(v)和R1(v)，且滿足R0(0)=P00,R0(1)=P01

R1(0)=P10,R1(1)=P11

我們也可寫出如上方式生成的曲面片方程:R(u,v)=(1-u)R0(v)+u

R1(v)(u,v)∈［0,1；0,1］ (9.1.4)

(9.1.3)第5頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

但這兩個(gè)曲面片都不符合以四條曲線為邊界曲線的條件。如果把兩者疊加起來(lái)卻適得其反，Q(u,v)+R(u,v)不再插值任一對(duì)邊界。對(duì)曲面片

Q(u,v)+R(u,v)而言，在參數(shù)u=0時(shí)的邊為Q(0,v)+R(0,v)=(1-v)P00+vP01+R0(v)

v∈［0,1］(9.1.5)

不難看出，在四條曲線邊恰好都為相應(yīng)的直線段時(shí)，Q(u,v)和R(u,v)定義出同一個(gè)曲面片：S(u,v)=(1-u)(1-v)P00+(1-u)vP01+u(1-v)P10+uv

P11(u,v)∈［0,1；0,1］(9.1.6)第6頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

亦即 為由曲面片四角點(diǎn)決定的一張雙線性張量積曲面，插值于四條直線段邊，正好是Q(u,v)+R(u,v)要插值于四條曲線邊時(shí)多余的那一部分。為得到要求的插值曲面，曲面片Q(u,v)+R(u,v)減去

S(u,v)即可，于是有插值于四條曲線邊的曲面P(u,v)=Q(u,v)+R(u,v)-S(u,v)(u,v)∈［0,1；0,1］ (9.1.8)

(u,v)∈［0,1；0,1］(9.1.7)第7頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

如此定義的曲面片就是雙線性混合孔斯曲面片。根據(jù)P(u,v)的插值性質(zhì)可知，四條邊界曲線的等式關(guān)系為Q0(u)=P(u,0),Q1(u)=P(u,1)

R0(v)=P(0,v),R1(u)=P(1,v)

四個(gè)角點(diǎn)為

P00=P(0,0),P01=P(0,1)

P10=P(1,0),P11=P(1,1)

于是，P(u,v)可用矩陣形式表示為(9.1.9)(9.1.10)(9.1.11)第8頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

如果把式(9.1.11)看作是由式(9.1.12)解得的，則式(9.1.11)右端的負(fù)號(hào)就不奇怪了。 將式(9.1.11)對(duì)v求偏導(dǎo)后代入v=0可得公共邊界線P(u,0)上的跨界切向量為

(9.1.13)(9.1.12)第9頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 9.1.2雙三次孔斯曲面

1.雙三次孔斯曲面的定義 三次參數(shù)插值曲線不僅要求端點(diǎn)的位置信息，而且還要求端點(diǎn)的切向量信息。注意，這里的位置信息是整條邊界曲線邊上的各個(gè)點(diǎn)的，而不是某個(gè)單獨(dú)的點(diǎn)的位置信息，相應(yīng)要求的切向量信息也是沿整條曲線邊上的各個(gè)點(diǎn)，而不是某個(gè)單獨(dú)的點(diǎn)的切向量信息。因此，我們應(yīng)該有的已知數(shù)據(jù)至少包括(如圖9.2所示)： 四個(gè)角點(diǎn):P00，P10，P01，P11； 四條邊界曲線:Q0(u)，

Q1(u)，R0(v)，R1(v)； 四條邊界邊上的跨界切向量:Qv0(u)，Qv1(u)，Ru0(v)，

Ru1(v)。第10頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖9.2定義插值曲面需要的四個(gè)角點(diǎn)數(shù)據(jù)信息第11頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

于是，對(duì)于固定的v∈［0,1］,根據(jù)兩點(diǎn)P(0,v)，P(1,v)及兩點(diǎn)處的切向量

Qv0(u)，Qv1(u)產(chǎn)生的三次參數(shù)曲線為

Q(u,v)=F0(u)P(0,v)+F1(u)P(1,v)+F2(u)Qv0(u)+F3(u)Qv1(u)u∈［0,1］(9.1.14)

其中:四個(gè)函數(shù)Fi(u),i=0,1,2,3為三次參數(shù)曲線定義中的三次埃爾米特函數(shù)。 把Q(u,v)看作是矩形參數(shù)區(qū)域(u,v)∈［0,1；0,1］上的函數(shù)，就是一個(gè)曲面片。

第12頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

類似地，對(duì)固定的u∈［0,1］根據(jù)兩點(diǎn)R0(v)，R1(v)及兩點(diǎn)處的切向量Ru0(v)

，

Ru1(v)產(chǎn)生的三次參數(shù)曲線為R(u,v)=F0(v)R0(v)+F1(v)R1(v)+F2(v)Ru0(v)+F3(v)Ru1(v)

v∈［0,1］(9.1.15)

R(u,v)也是矩形參數(shù)區(qū)域(u,v)∈［0,1；0,1］上的一個(gè)曲面片。第13頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

如同前一節(jié)一樣，我們將要定義僅僅利用角點(diǎn)數(shù)據(jù)信息的插值曲面。這也就是說(shuō)，假定四條邊界線現(xiàn)在是未知的。 首先，應(yīng)給出由兩角點(diǎn)P00和P10及兩角點(diǎn)處的切向量Qv0(0)和Qv0(1)產(chǎn)生的v=0對(duì)應(yīng)的曲線邊界線:F0(u)P00+F1(u)P10+F2(u)Qv0(0)+F3(u)Qv0(1)

u∈［0,1］(9.1.16)

由兩角點(diǎn)P01和P11及兩角點(diǎn)處的切向量Qv1(0)和

Qv1(1)產(chǎn)生的v=1對(duì)應(yīng)的曲線邊界線為 F0(u)P01+F1(u)P11+F2(u)Qv1(0)+F3(u)Qv1(1) u∈［0,1］(9.1.17)第14頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

于是我們可以給出v=0對(duì)應(yīng)的曲線邊界線各點(diǎn)關(guān)于參數(shù)v的切向量:F0(u)Qv0(0)+F1(u)Qv0(1)+F2(u)Puv(0，0)+F3(u)Puv(1，0)

u∈［0,1］(9.1.18) 和v=1對(duì)應(yīng)的曲線邊界線各點(diǎn)關(guān)于參數(shù)v的切向量:

F0(u)Qv1(0)+F1(u)Qv1(1)+F2(u)Puv(0，0)+F3(u)Puv(0，1)

u∈［0,1］(9.1.19)

現(xiàn)在我們就可以定義僅僅利用四個(gè)角點(diǎn)數(shù)據(jù)信息的插值曲面:第15頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

S(u,v)=［F0(u)F1(u)F2(u)F3(u)］ 于是可得雙三次混合孔斯曲面片: P(u,v)=Q(u,v)+R(u,v)-S(u,v)(9.1.21)(9.1.20)第16頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

此式定義的

P(u,v)滿足

P(0,0)=P00,P(1,0)=P10

P(0,1)=P01,P(1,1)=P11

P(u,0)=Q0(u),P(u,1)=Q0(1)

P(0,v)=R0(v),P(1,v)=R1(v)

Pv(u,0)=Qv0(u),Pv(u,1)=Qv1(u)

Pu(0,v)=Ru0(v),Pu(1,v)=Ru1(v)(9.1.22)

利用這些關(guān)系式可整理式(9.1.20)和式(9.1.21)為第17頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

S(u,v)=［F0(u)F1(u)F2(u)F3(u)］

P(u,v)=［-1F0(u)F1(u)F2(u)F3(u)］(9.1.23)(9.1.24)第18頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

類似地，式(9.1.24)也可寫為如下形式:P(u,v)=［-1F0(u)F1(u)F2(u)F3(u)］(9.1.25)第19頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.雙三次孔斯曲面的扭矢 求方程(9.1.11)的混合偏導(dǎo)向量，可得Puv(u,v)=Pvu(u,v)=Pv(1,v)-Pv(0,v)+Pu(u,1)-Pu(u,0)-C (9.1.26)

其中: C=P(0,0)-P(0,1)-P(1,0)+P(1,1)(9.1.27)

是由四個(gè)角點(diǎn)決定的張量積雙線性曲面，即式(9.1.11)所用曲面S(u,v)的扭矢。 分別用u,v=0,1代入上式可得四個(gè)角點(diǎn)處的扭矢為第20頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

Puv(0,0)=Pv(1,0)-Pv(0,0)+Pu(0,1)-Pu(0,0)-C

Puv(0,1)=Pv(1,1)-Pv(0,1)+Pu(0,1)-Pu(0,0)-C

Puv(1,0)=Pv(1,0)-Pv(0,0)+Pu(1,1)-Pu(1,0)-C

Puv(1,1)=Pv(1,1)-Pv(0,1)+Pu(1,1)-Pu(1,0)-C 3.孔斯曲面扭矢相容性

從方程(9.1.20)中的邊界信息矩陣看，以角點(diǎn)P(0,0)處扭矢為例，它既應(yīng)是Pv(u,0)=Qv0(u)對(duì)u求偏導(dǎo)后置u=0得到(9.1.28)(9.1.29)第21頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

也應(yīng)是Pu(0,v)=Ru0(v)對(duì)v求偏導(dǎo)后置v=0得到 有兩種解決這一問(wèn)題的方式:一是實(shí)際情況許可時(shí)調(diào)整所給的原始數(shù)據(jù)，以使不相容性消失。二是在原始數(shù)據(jù)不能改變的情況下，可以采用稱之為格里戈里正方形的方法。該方法使用可變扭矢替代式(9.1.24)中的固定扭矢?？勺兣な付x如下:(9.1.30)第22頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(9.1.31)第23頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 4.孔斯曲面跨界切向量的確定 我們就可以定義:Qv0(u)=F0(u)Pv(0,0)+F1(u)Pv(1,0)+F2(u)Puv(0,0)+F3(u)Puv(1,0)

Qv1(u)=F0(u)Pv(0,1)+F1(u)Pv(1,1)+F2(u)Puv(0,1)+F3(u)Puv(1,1)

Ru0(u)=F0(u)Pu(0,0)+F1(u)Pu(0,1)+F2(u)Puv(0,0)+F3(u)Puv(0,1)

Rv1(u)=F0(u)Pu(1,0)+F1(u)Pu(1,1)+F2(u)Puv(1,0)+F3(u)Puv(1,1)(9.1.32)第24頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月9.2雙線性與雙三次參數(shù)曲面 9.2.1雙線性參數(shù)曲面定義及其表示 式(9.1.7)中的S(u,v)對(duì)兩個(gè)參數(shù)分別為線性，其幾何意義也非常明確，只需要知道四個(gè)角點(diǎn)的位置就可以了，所以式(9.1.7)可稱為雙線性參數(shù)曲面的幾何表示形式。寫成一般代數(shù)形式時(shí)有如下表達(dá)式:(u,v)∈［0,1;0,1］(9.2.1)第25頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 9.2.2雙三次參數(shù)曲面定義及其表示 式(9.1.23)中的S(u,v)對(duì)兩個(gè)參數(shù)分別為三次多項(xiàng)式，可稱為雙三次參數(shù)曲面的幾何表示形式。寫成一般形式時(shí)有如下表達(dá)式:

可用矩陣表示為(9.2.2)(u,v)∈［0,1;0,1］(9.2.3)第26頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

下面我們推導(dǎo)兩種表達(dá)式之間的關(guān)系。注意到有

F(t)=［2t3-3t2+12t3+3t2

t3-2t2+t

t3-t2］

=［1t

t2t3］ 其中的4×4矩陣用M表示，則式(9.1.23)可重新表示為

(9.2.4)第27頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

S(u,v)=［1u

u2

u3］M (u,v)∈［0,1;0,1］(9.2.5)

反過(guò)來(lái)，式(9.2.3)也可用式(9.2.5)的形式表示出來(lái):

S(u,v)=［F0(u)F1(u)F2(u)F3(u)］M-1

(9.2.6)第28頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 9.2.3雙三次參數(shù)曲面的其它形式 基于上述原因，我們一般讓16個(gè)點(diǎn)形成網(wǎng)狀分布，如圖9.3所示。參數(shù)取值為u=u0,u1,u2,u3

和v=v0,v1,v2,v3，即有Pij=S(ui,vj),i=0,1,2,3，j=0,1,2,3。第29頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖9.3成網(wǎng)狀分布的16個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)第30頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

于是由式(9.2.2)可得16組方程：

A00+v1j

A01+v2j

A02+v3j

A03+u1iA10+u1iv1jA11+u1iv2jA12+uiiv3jA13+

u2i

A20+u2iv1j

A21+u2iv2j

A22+uiiv3j

A23+

u3iA30+u3iv1j

A31+u3iv2j

A32+u3iv3j

A33=Pij

i,j=0,1,2,3

定義16維向量:A=［A00

A01

A02

A03

A10

A11A12

A13A20A21

A22

A23

A30

A31

A32

A33］

(9.2.8)(9.2.7)第31頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

和P=［P00

P01

P02

P03

P10

P11P12

P13P20

P21

P22P23

P30

P31

P32

P33］

(9.2.9)

再定義16×16矩陣，其ij+1行由式(9.2.7)的Pij對(duì)應(yīng)的方程中各個(gè)未知量Amn前面的系數(shù)依次組成：第32頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第33頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(9.2.10)第34頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

如果定義矩陣 則矩陣B有如下的分塊表示:(9.2.11)第35頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

有了上述記號(hào)，式(9.2.7)可用矩陣表示為 BA=P(9.2.12)

現(xiàn)在求解雙三次參數(shù)曲面就是求解一個(gè)線性方程組，解為 A=B-1

P(9.2.13)

實(shí)際的情況常常比較簡(jiǎn)單一些:其中有12個(gè)已知點(diǎn)是在曲面片的四條邊界線上的，這時(shí)參數(shù)的取值為u0=v0=0,u3=v3=1，矩陣V可簡(jiǎn)化為第36頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

這時(shí)矩陣B有如下的分塊表示:

如果進(jìn)一步選取u1=v1=1/3,u2=v2=2/3為固定值，則矩陣V和B就是常數(shù)矩陣了，求解過(guò)程也可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。(9.2.14)第37頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 9.2.4常用曲面的參數(shù)形式 1.平面塊的參數(shù)形式 平面的參數(shù)表示形式為P(u,v)=P00+uTu+vTv

(u,v)∈［0,1;0,1］(9.2.15)

它表示以

P00為頂點(diǎn)，Tu、

Tv為邊的平行四邊形平面塊，如圖9.4所示。第38頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖9.4平面的雙三次參數(shù)表示第39頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

若假設(shè) P00=(x0,y0,z0),Tu=(Δxu,Δyu,Δzu),Tv=(Δxv,Δyv,Δzv)(9.2.16)

則這個(gè)平面塊的四個(gè)角點(diǎn)可表示為P00=(x0,y0,z0),P10=P00+T0=(x0+Δxu,y0+Δyu,z0+Δzu) P01=P00+T1=(x0+Δxv,y0+Δyv,z0+Δzv)

P11=P00+T0+T1=(x0+Δxu+Δxv,y0+Δyu+Δyv,z0+Δzu+Δzv) (9.2.17)第40頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

它在Oxy平面上的投影為一個(gè)平行四邊形。這個(gè)平面塊的四個(gè)角點(diǎn)上的八個(gè)切向量分別為：Pu(0,0)=Pu(1,0)=Pu(0,1)=Pu(1,1)=Tu和Pv(0,0)=Pv(1,0)=Pv(0,1)=Pv(1,1)=Tv。在上述參數(shù)形式下的平面方程中，平面上任何一點(diǎn)的扭矢為零。因此平面片的幾何系數(shù)矩陣可表示為P(0,0)P(0,1)Pv(0,0)Pv(0,1) P(1,0)P(1,1)Pv(1,0)Pv(1,1)Pu(0,0)Pu(0,1)Puv(0,0)Puv(0,1)Pu(1,0)Pu(1,1)Puv(1,0)Puv(1,1)G=第41頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

P(0,0)P(0,0)+TvTvTv P(0,0)+TuP(0,0)+Tv+TuTvTv TuTu00 TuTu00

或在已知三個(gè)角點(diǎn)P(0,0),P(1,0),P(0,1)時(shí)直接用位置向量表示為P(0,0)P(0,1)P(0,1)-P(0,0)P(0,1)-P(0,0) P(1,0)P(1,0)+P(0,1)-P(0,0)P(0,1)-P(0,0)P(0,1)-P(0,0) P(1,0)-P(0,0)P(1,0)-P(0,0)00 P(1,0)-P(0,0)P(1,0)-P(0,0)00A=(9.2.18)(9.2.19)第42頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 2.柱面的參數(shù)形式 柱面方程的一般參數(shù)形式為 P(u,v)=P(u)+vTv(u,v)∈［0,1;0,1］(9.2.20)其中:P(u)為任意的空間曲線，

Tv為直線段的方向向量，參數(shù)v沿直線段方向變化。設(shè)P(u)為幾何系數(shù)矩陣為G0=［P0

P1

T0

T1］的參數(shù)三次曲線。另有一直線段，其一端為P0，另一端為P2。因此其幾何系數(shù)矩陣為G1=［P0

P2

P2-P0

P2-P0］。 當(dāng)直線段的端點(diǎn)P0沿G0給出的參數(shù)三次曲線平移時(shí)，它所掃成的曲面就是一個(gè)柱面，如圖9.5所示?，F(xiàn)在求這個(gè)柱面的雙三次曲面表示形式的幾何系數(shù)矩陣G。第43頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖9.5柱面的雙三次參數(shù)表示第44頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

由柱面的幾何特性可知，柱面上的任何一點(diǎn)的扭矢為零。因此由

G0和G1

不難得到P0P2

P2-P0

P2-P0

P1P1+P2-P0

P2-P0

P2-P0

T0T000

T1

T100

由于假設(shè)P(u)為參數(shù)三次曲線，故不能為圓弧曲線。這說(shuō)明圓柱面難以用雙三次曲面表示。其它的含有圓弧曲線的曲面，如常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)曲面也難以用雙三次曲面表示。(9.2.21)第45頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 3.直紋曲面 設(shè)Pj(v),j=0,1為兩條空間參數(shù)三次曲線，其幾何系數(shù)矩陣分別為

Gj=［P0jP1j

T0jT1j］,j=0,1。如果在這兩條曲線的起點(diǎn)P00、

P01之間連接一條線段，則這條直線段的兩端分別沿其所在的參數(shù)三次曲線向曲線的另一端P10、P11同步移動(dòng)，則直線段運(yùn)動(dòng)所構(gòu)成的曲面就是直紋曲面，如圖9.6所示。直紋曲面用一般參數(shù)形式表示為r(u,v)=(1-u)P0(v)+uP1(v)(u,v)∈［0,1;0,1］(9.2.22)第46頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖9.6直紋曲面的雙三次參數(shù)表示第47頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

顯然，直紋曲面上任何一點(diǎn)的扭矢都為零。因此產(chǎn)生的直紋曲面的三次參數(shù)表示的幾何系數(shù)矩陣

G為(9.2.23)第48頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月9.3Bézier曲面 9.3.1Bézier曲面片的定義 由式(9.1.23)定義雙三次參數(shù)曲面的方式可以用來(lái)定義Bézier曲面。設(shè)有(m+1)×(n+1)個(gè)點(diǎn)Pij,i=0,1,…,m,j=0,1,…,n。先固定i，我們即有(n+1)個(gè)點(diǎn)Pij,j=0,1,…,n，可以生成一條n階Bézier曲線: u∈［0,1］(9.3.1)

按照此種方式，我們共定義出了m+1條Bézier曲線。第49頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

對(duì)任意固定的u∈［0,1］，我們可以得到取自這m+1條Bézier曲線的m+1個(gè)點(diǎn)Qi(u),i=0,1,…,m，以這些點(diǎn)作控制點(diǎn)，我們又可以得到一條m階Bézier曲線:

把此式看作兩個(gè)參數(shù)(u,v)∈［0,1;0,1］處的函數(shù)，就得到

v∈［0,1］(9.3.2)(u,v)∈［0,1;0,1］(9.3.3)第50頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

于是就定義了一個(gè)m×n次Bézier曲面片。我們當(dāng)然也可以按先固定j的方式生成一個(gè)Bézier曲面片方程，其幾何結(jié)果是完全相同的一個(gè)Bézier曲面片。直觀上，Bézier曲面是一條Bézier曲線在空間按另一條Bézier曲線運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡。 在此，我們先定義曲線，再通過(guò)“線動(dòng)成面”的方法來(lái)定義Bézier曲面。用這種方式定義的曲面稱為張量積曲面或笛卡爾積曲面。上式定義的是張量積Bézier曲面，它的兩組基函數(shù)都是伯恩斯坦基函數(shù)。第51頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

如同Bézier曲線有一個(gè)控制多邊形一樣，類似地，Bézier曲面也有一個(gè)控制多面體，上面給出的Pij是控制多面體的頂點(diǎn)，稱為控制頂點(diǎn)?？刂祈旤c(diǎn)沿i方向和j方向分別構(gòu)成m+1個(gè)和n+1個(gè)控制多邊形，它們一起組成曲面的控制多面體，也稱控制網(wǎng)格。式(9.3.3)中的Bi,m(u)和Bj，n(v)分別是m次和n次伯恩斯坦基函數(shù)，即(9.3.4)第52頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 9.3.2Bézier曲面片的性質(zhì)

(1)Bézier曲面片的四個(gè)角點(diǎn)正好是相應(yīng)的Bézier控制網(wǎng)格的四個(gè)角點(diǎn)，即有

P(0,0)=P00,P(1,0)=Pm0,P(0,1)=P0n,P(1,1)=Pmn(9.3.5) (2)Bézier曲面片具有幾何不變性。 （3）Bézier曲面片具有凸包性質(zhì)。 （4）Bézier曲面片在角點(diǎn)處的切平面為由該角點(diǎn)及其相鄰的兩個(gè)點(diǎn)共三個(gè)點(diǎn)決定的平面。例如在角點(diǎn)P00處的切平面為由P00，P01和P10三個(gè)點(diǎn)決定的平面。第53頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

（5）m×n次Bézier曲面片的四條邊界曲線分別是m次和n次Bézier曲線。對(duì)于低階的Bézier曲面片我們還有如下一些結(jié)論:

（1）1×1的Bézier曲面片就是由式(9.1.7)。 （2）2×2的Bézier曲面片由九個(gè)定義的曲面片S(u,v)，其邊界為四條直線段控制點(diǎn)確定，周圍的八個(gè)控制點(diǎn)確定了Bézier曲面片在四個(gè)角點(diǎn)處的切平面，也確定了Bézier曲面片的四條邊界線；中間的一個(gè)控制頂點(diǎn)

P11則指明了Bézier曲面片中間部分凸起或凹陷的方向,即凸凹的程度。第54頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 9.3.3雙三次Bézier曲面 在實(shí)際應(yīng)用中，用得最多的是3×3的Bézier曲面片，這時(shí)我們就稱相應(yīng)的Bézier曲面片為雙三次Bézier曲面片。雙三次Bézier曲面片的表達(dá)式為 寫成矩陣表達(dá)式為(u,v)∈［0,1;0,1］(9.3.6)(u,v)∈［0,1;0,1］(9.3.7)第55頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

其中：(9.3.8)第56頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

矩陣P所包含的是控制點(diǎn)的位置向量，它們確定了一個(gè)多面體，同時(shí)也確定了一個(gè)Bézier曲面片。顯然，只有四個(gè)角點(diǎn)真正在曲面上。邊界線上的控制點(diǎn)確定了四個(gè)角點(diǎn)的切平面，同時(shí)也確定了邊界曲線的切線。中間的四個(gè)控制點(diǎn)P11、P12、P21和P22將影響著曲面片四個(gè)角點(diǎn)處的混合偏導(dǎo)向量，即扭矢。 雙三次Bézier曲面片顯然也是一種雙三次參數(shù)曲面片。兩者相比較，雙三次Bézier曲面片有很多優(yōu)點(diǎn)，主要有如下幾點(diǎn):雙三次Bézier曲面片直接用１６個(gè)點(diǎn)給出表達(dá)式，避免了確定切線向量和扭矢這些難以確定的量,１６個(gè)點(diǎn)給出的控制多面體大致反映了Bézier曲面片的形狀,通過(guò)對(duì)控制頂點(diǎn)的直觀修改、調(diào)整，就能實(shí)現(xiàn)對(duì)Bézier曲面片的修改、調(diào)整。第57頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

根據(jù)Bézier曲線連接的條件可以看到，兩個(gè)Bézier曲面片要求達(dá)到光滑連接，就需要在公共邊界處有連續(xù)變化的法向量，即有連續(xù)變化的切平面，具體應(yīng)滿足：

(1)如圖9.7所示，公用一條邊界曲線，即共同使用定義公共邊界曲線的四個(gè)控制點(diǎn): P03,P13,P23,P33(9.3.9)

這一條件保證了兩個(gè)曲面片是位置連續(xù)的，即有共同的邊界線。第58頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖9.7兩片Bézier曲面片的連接第59頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 (2)公共邊界兩側(cè)八個(gè)控制頂點(diǎn)和定義公共邊界的四個(gè)控制頂點(diǎn)分為四組，每組三點(diǎn)，則每組中的三點(diǎn)共線。而且，定義公共邊界的四個(gè)控制頂點(diǎn)分別把共線線段分成等比例，即有(9.3.10)第60頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月9.4B-樣條曲面 9.4.1B-樣條曲面片的定義 類似于借助Bézier曲線生成Bézier曲面，我們也可以借助于B-樣條曲線生成B-樣條曲面。設(shè)給定(m+1)×(n+1)個(gè)控制頂點(diǎn)

Pij,i=0,1,…,m;j=0,1,…,n(9.4.1)

以及兩列節(jié)點(diǎn)取值

u0≤u1≤…≤um+k+1(9.4.2)

和

v0≤v1≤…≤vm+l+1(9.4.3)第61頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

則可定義一個(gè)k×l階B-樣條曲面 其中:Nik(u)和Njl(v)分別是由兩列節(jié)點(diǎn)定義的k階和l階B-樣條曲線的B-樣條基函數(shù)。而由(m+1)×(n+1)個(gè)控制頂點(diǎn)構(gòu)成的多面體稱為這個(gè)B-樣條曲面的控制網(wǎng)格或稱控制多面體?？刂贫嗝骟w的形狀大體上反映了B-樣條曲面的形狀。(u,v)∈［uk,um+1；

vl,vn+1］(9.4.4)第62頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

類似于B-樣條曲線的分類，B-樣條曲面沿任一參數(shù)方向按節(jié)點(diǎn)序列取值的不同可以劃分成四種不同類型:均勻、準(zhǔn)均勻、分片Bézier與非均勻B-樣條曲面。沿兩個(gè)參數(shù)方向也可選取不同類型。特殊地，若兩個(gè)節(jié)點(diǎn)序列取值分別為u0=u1=…=uk+1=0,uk+2=uk+3=…=u2k+2=1(9.4.5)

和u0=u1=…=ul+1=0,ul+2=ul+3=…=u2l+2=1(9.4.6)第63頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 9.4.2雙三次均勻B-樣條曲面片公式

3×3階均勻B-樣條曲面片也稱雙三次均勻B-樣條曲面片，當(dāng)我們把其參數(shù)由一般長(zhǎng)方形參數(shù)區(qū)間變換到標(biāo)準(zhǔn)單位正方形參數(shù)區(qū)間上時(shí)，其方程可表示為 P(u,v)=［1uu2

u3］APA′

(u,v)∈［0,1;0,1］(9.4.7)第64頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

其中:(9.4.8)第65頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 9.4.3B-樣條曲面片的優(yōu)點(diǎn) 與Bézier曲面相比，B-樣條曲面有以下主要優(yōu)點(diǎn)：

(1)多個(gè)B-樣條曲面片的連接不需要考慮連接條件。當(dāng)?shù)谝粋€(gè)曲面片被計(jì)算以后，不需要考慮連接條件，即可計(jì)算第二個(gè)曲面片，只是控制頂點(diǎn)矩陣P中的元素有部分改變。在雙三次B-樣條曲面上處處具有一階和二階連續(xù)性。因此各個(gè)相鄰的雙三次B-樣條曲面片之間自動(dòng)實(shí)現(xiàn)二階連續(xù)性，也就不需要考慮雙三次B-樣條曲面片之間的光滑拼接問(wèn)題。利用雙三次參數(shù)曲面片和雙三次Bézier曲面片解決這一問(wèn)題都是很困難的。第66頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 (2)B-樣條曲面的控制網(wǎng)格的頂點(diǎn)數(shù)量不受限制，因此，B-樣條曲面可表示比Bézier曲面復(fù)雜得多的曲面。同時(shí)，B-樣條曲面的階數(shù)不因控制頂點(diǎn)數(shù)目的增加而增加，保證了當(dāng)控制頂點(diǎn)數(shù)目增加時(shí)，不增加計(jì)算的復(fù)雜程度。

(3)B-樣條曲面具有局部控制性質(zhì)。當(dāng)改變某個(gè)控制頂點(diǎn)時(shí)，只有那些與該頂點(diǎn)相關(guān)的幾個(gè)B-樣條曲面片的形狀會(huì)發(fā)生變化，其余的B-樣條曲面片的形狀不會(huì)發(fā)生任何變化。

(4)像B-樣條曲線一樣，B-樣條曲面也具有比Bzier曲面更強(qiáng)的凸包性質(zhì)。第67頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月9.5非均勻有理B-樣條曲面 9.5.1NURBS曲面的定義 我們可以完全類似地定義非均勻有理B-樣條曲面。設(shè)給定(m+1)×(n+1)個(gè)控制頂點(diǎn)和每點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)因子 Pij,ωij＞0,i=0,1,…,m,j=0,1,…,n(9.5.1)

以及兩列節(jié)點(diǎn)取值

u0≤u1≤…≤um+k+1(9.5.2)

和 v0≤v1≤…≤vm+l+1(9.5.3)第68頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

則可定義一個(gè)k×l階非均勻有理B-樣條曲面:

其中:Nik(u)和Njl(v)是由兩列節(jié)點(diǎn)定義非均勻有理B-樣條曲線時(shí)的非均勻有理B-樣條基函數(shù)。而由(m+1)×(n+1)個(gè)控制頂點(diǎn)構(gòu)成的多面體稱為這個(gè)非均勻有理B-樣條曲面的控制網(wǎng)格或稱控制多面體。控制多面體的形狀大體反映了非均勻有理B-樣條曲面的形狀。(u,v)∈［uk,um+1；

vl,vn+1］(9.5.4)第69頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

特殊地，若兩個(gè)節(jié)點(diǎn)序列取值分別為 u0=u1=…=uk+1=0,uk+2=uk+3=…=u2k+2=1(9.5.5) 和

u0=u1=…=ul+1=0,ul+2=ul+3=…=u2l+2=1(9.5.6)

則所定義的非均勻有理B-樣條曲面就是k×l階有理Bézier曲面。第70頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 3×3階非均勻有理B-樣條曲面片也稱雙三次非均勻有理B-樣條曲面片。當(dāng)我們把其參數(shù)由一般長(zhǎng)方形區(qū)間變換到標(biāo)準(zhǔn)單位正方形區(qū)間上時(shí)，其方程可表示為(u,v)∈［0,1;0,1］(9.5.7)第71頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

其中:第72頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

與雙三次非均勻有理B-樣條曲面片相對(duì)應(yīng)的，我們也可定義出有理雙三次Bézier曲面，其表達(dá)式完全類似于雙三次有理均勻B-樣條曲面，僅需把式(9.5.8)中的矩陣A用下面的矩陣代替即可:(9.5.9第73頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 9.5.2NURBS曲面表示的旋轉(zhuǎn)面 與多項(xiàng)式的這一類曲面相比，我們可以用有理B-樣條或Bézier曲面精確地表示出球面或其它類型的包含圓弧線的曲面，如圓柱面、圓錐面及旋轉(zhuǎn)體面等等。這些都是利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行輔助設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)常用到的圖形。下面我們以旋轉(zhuǎn)曲面為例加以說(shuō)明。 一般旋轉(zhuǎn)面由稱為母線的曲線繞稱為軸的直線旋轉(zhuǎn)生成。如圖9.8所示，定義一張旋轉(zhuǎn)面最方便的方法是先在某個(gè)坐標(biāo)平面譬如Oxz平面內(nèi)定義一條母線L，然后將它繞其中的一個(gè)坐標(biāo)軸如z軸旋轉(zhuǎn)一周，則得一張完整的旋轉(zhuǎn)面。若旋轉(zhuǎn)不到一周，則得部分旋轉(zhuǎn)面。第74頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖9.8旋轉(zhuǎn)曲面的NURBS表示第75頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

假設(shè)母線

L(u)為一條k次NURBS曲線，它的控制頂點(diǎn)和權(quán)因子為Pi,0,i=0,1,…,n和ωi,0,i=0,1,…,n，節(jié)點(diǎn)為ui,0,i=0,1,…,n+k。 如圖9.8所示，把表示母線的NURBS曲線與定義整圓的二次NURBS表示結(jié)合起來(lái)，就得到如下完整旋轉(zhuǎn)面的方程的控制頂點(diǎn)、權(quán)因子和節(jié)點(diǎn)取值：當(dāng)u固定不變時(shí)，曲面的截面線為圓，即參數(shù)v方向產(chǎn)生圓心在旋轉(zhuǎn)軸上的圓弧線。因此我們對(duì)每個(gè)固定的i，把控制頂點(diǎn)Pi,0繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)整圓作為產(chǎn)生整圓的NURBS表示的第一個(gè)控制點(diǎn)，并由此推得整圓的NURBS表示的其它點(diǎn)。以圖8.20中產(chǎn)生整圓NURBS表示的正方形的控制多邊形為例，我們得到控制點(diǎn)Pi,j,j=0,1,…,8，相應(yīng)的權(quán)因子ωi,j為ωi,0與整圓的NURBS表示各點(diǎn)相應(yīng)權(quán)因子的乘積，也就是第76頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

v參數(shù)方向節(jié)點(diǎn)值的取值仍然依次為

0，0，0，1/4，1/4，1/2，1/2，3/4，3/4，1，1，1

作為旋轉(zhuǎn)曲面，整球面可由半圓繞過(guò)兩端點(diǎn)的直徑軸旋轉(zhuǎn)一周得到，如圖9.9所示，其控制網(wǎng)格形成一個(gè)外切正方體。如圖9.10所示，圓環(huán)面可由一整圓繞不與該整圓相交的軸線旋轉(zhuǎn)得到。(9.5.10)第77頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖9.9NURBS整球面第78頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖9.10NURBS圓環(huán)面第79頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月9.6三角域上的Bézier曲面 9.6.1三角域內(nèi)的重心坐標(biāo) 在直線上，若已知兩點(diǎn)A，B，則兩點(diǎn)連線上任一點(diǎn)D可表示為 D=(1-t)A+tB0≤t≤1(9.6.1)

現(xiàn)在假設(shè)在平面上已知三點(diǎn)A，B，C，則三點(diǎn)所連三角形內(nèi)任一點(diǎn)P該如何表示呢？設(shè)O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，回憶直線的情況，上式可用向量形式表示為(9.6.2)第80頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)一點(diǎn)P在三角形△ABC內(nèi)時(shí)，類似可得

于是，存在0≤s≤1和0≤t≤1,使得 代入式(9.6.3)得(9.6.3)(9.6.4)(9.6.5)第81頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

如果把△ABC理解為一個(gè)數(shù)值，即看作是這個(gè)三角形的面積，則

通常，我們用點(diǎn)坐標(biāo)的形式表示出上述關(guān)系：

P=uA+vB+wC(9.6.7)

其中: 0≤u≤1,0≤v≤1,0≤w≤1,u+v+w=1(9.6.8)(9.6.6)第82頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

并稱(u,v,w)為點(diǎn)P關(guān)于三點(diǎn)A，

B，C的重心坐標(biāo)。這個(gè)坐標(biāo)從力學(xué)原理上可理解為三點(diǎn)A，B，C各有質(zhì)量u，v，w時(shí)，其重心在P。依據(jù)式(9.6.6)可知，只要三點(diǎn)A，B，C不共線，點(diǎn)P的重心坐標(biāo)(u,v,w)就存在，并且點(diǎn)P與坐標(biāo)是相互惟一確定的。 另外，當(dāng)△ABC=1時(shí)，點(diǎn)P重心坐標(biāo)的三個(gè)分量u，

v，w就是如圖9.11所示的點(diǎn)P與△ABC三個(gè)頂點(diǎn)連線形成的三個(gè)小三角形的面積。第83頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖9.11三角域內(nèi)的重心坐標(biāo)定義第84頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

限制條件0≤u≤1,0≤v≤1,0≤w≤1是為了保證點(diǎn)P位于三角形內(nèi)。不滿足此條件的重心坐標(biāo)(u,v,w)仍可定義出平面上一點(diǎn)，但位于指定的三角形之外。根據(jù)重心坐標(biāo)的幾何意義不難給出其由三點(diǎn)表示的表達(dá)式。由于涉及到線段長(zhǎng)度，其表達(dá)式很容易遇到開(kāi)方運(yùn)算。如果點(diǎn)是平面坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)，則有二維坐標(biāo)表示：A=(ax,ay),B=(bx,by),C=(cx,cy)(9.6.9)

則三角形的有向面積為(9.6.10)第85頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

對(duì)于這個(gè)有向面積計(jì)算公式，無(wú)論點(diǎn)P位于三角形內(nèi)或外，如下表達(dá)式始終成立: 9.6.2三角域上的Beinstein函數(shù) 單變量的n次Beinstein函數(shù)由n次二項(xiàng)式［t+(1-t)］n的展開(kāi)式的各項(xiàng)構(gòu)成。 類似地，雙變量的n次Beinstein函數(shù)可以由n次三項(xiàng)式［u+v+(1-u-v)］n的展開(kāi)式的各項(xiàng)構(gòu)成。為方便起見(jiàn)，令w=1-u-v，得展開(kāi)式(9.6.11)第86頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

由此定義三角域上的n次Beinstein函數(shù):

其中: 0≤u,v,w≤1,u+v+w=1 0≤i,j,k≤n,i+j+k=n

依據(jù)i,j,k滿足的條件可以推得三角域上的n次Beinstein函數(shù)共有(n+1)(n+2)/2個(gè)。這些函數(shù)可以直觀地認(rèn)為分布在如圖9.12所示的三角陣列中。(9.6.13)(9.6.14)第87頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖9.12三角域上的n次Beinstein函數(shù)的分布第88頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

不難看出，三角形的三條邊上分別對(duì)應(yīng)著u=0，v=0和w=0。在分別與u=0，v=0和w=0相應(yīng)的邊平行的直線上，相應(yīng)的u，v或w保持不變，因此稱為等參數(shù)線。相應(yīng)于某條邊上的所有n次Beinstein函數(shù)正好是單變量的所有n次Beinstein函數(shù)。三角域上的n次Beinstein函數(shù)具有類似于單變量的n次Beinstein函數(shù)的如下性質(zhì)： （1）規(guī)范性：(9.6.15)第89頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 (2)非負(fù)性: Bi,j,k(u,v,w)=uivjwk≥0(9.6.16) (3)遞推性:

9.6.3三角域上的Bézier曲面 類似于Bézier曲線的定義，在三角域內(nèi)每個(gè)節(jié)點(diǎn)i,j,k對(duì)應(yīng)一個(gè)控制點(diǎn)Pi，j，k，則可立即寫出一個(gè)曲面片表達(dá)式：(9.6.17)(9.6.18)第90頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

其中: 0≤u,v，w≤1,u+v+w=1 0≤i,j,k≤n,i+j+k=n(9.6.19)

這就是三角域上的Bézier曲面。當(dāng)所有分配在節(jié)點(diǎn)處的控制點(diǎn)Pi,j,k按照?qǐng)D9.12所示的節(jié)點(diǎn)連接方式連接在一起時(shí)，就形成了一張由三角平面塊構(gòu)成的一個(gè)多面體，這就是三角域上的Bézier曲面的控制多面體，或稱控制網(wǎng)格。圖9.13顯示了二次和三次的三角域上的Bézier曲面及控制多面體。第91頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖9.13三角域上的Bézier曲面及控制多面體第92頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

特別地，假設(shè)平面上三個(gè)點(diǎn)A=(ax,ay),B=(bx,by),C=(cx,cy)，控制點(diǎn)Pi，j，k=(xi，j，k,yi，j，k,zi，j，k)滿足 則曲面上任一點(diǎn)P(u,v,w)=(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))滿足(x(u,v,w),y(u,v,w))=uA+vB+wC=(uax+vbx+wcx,uay+vby+wcy)(9.6.21)(9.6.20)第93頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 9.6.4三角域上的Bézier曲面的方向?qū)蛄? 由于三角域上的Bézier曲面的三個(gè)參數(shù)相互依賴，對(duì)某個(gè)參數(shù)求導(dǎo)在這里沒(méi)有明確的意義。為了明確求導(dǎo)的實(shí)際含義，這里指定求某個(gè)指定方向的導(dǎo)向量。設(shè)有參數(shù)三角形一點(diǎn)P0=(u0,v0，w0)及方向向量R=(ru,rv,rw)，由此確定過(guò)點(diǎn)P0

，具有指定方向R的直線上一點(diǎn)(u,v,w)可表示為(u,v,w)=L(λ)=P0+λR=(u0+λru,v0+λrv,w0+λrw)(9.6.22)第94頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

于是

P(u,v,w)=P(u0+λru,v0+λrv,w0+λrw)=Bi,j,k(u0+λru,v0+λrv,w0+λrw)Pi,j,k

對(duì)λ求導(dǎo)可得方向?qū)蛄? 其中:

P1i,j,k=ru

Pi+1,j,k+rv

Pi,j+1,k+rw

Pi,j,k+1

i+j+k=n-10≤i,j,k≥0(9.6.25)(9.6.23)(9.6.24)第95頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

需要提醒的是,由于重心坐標(biāo)的三個(gè)分量之和始終為1，因此作為方向向量的

R=(ru,rv,rw)的三個(gè)坐標(biāo)分量之和必然為零，即有ru+rv+rw=0。 反復(fù)求導(dǎo)，對(duì)m=1,2,…,n可得一般的m階方向?qū)蛄浚?/p>

P0i,j,k=Pi,j,k

Pmi,j,k=ru

Pm-1

i+1,j,k+rvPm-1

i,j+1,

k+rw

Pm-1i,j,k+1i+j+k=n-mi,j,k≥0Pmi,j,k(9.6.26)其中:(9.6.27)第96頁(yè)，課件共112頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

利用此公式可求得對(duì)u，v，w任意參數(shù)方向的導(dǎo)向量。如為了求u參數(shù)方向的導(dǎo)向量，可取R=(ru,rv,rw)中的ru=1，另外兩個(gè)參數(shù)有一個(gè)保持不變，即有一個(gè)分量為零。由于三個(gè)坐標(biāo)分量之和必然為零，第三個(gè)分量一定為-1。因此可取R=(ru,rv,rw)=(1,0，-1)得到Pmi,j,k=Pm-1i+1,j,k-Pm-1i,j,k+1

式(9.6.28)為求沿v=0對(duì)應(yīng)的三角形的邊方向的導(dǎo)向量所需要的點(diǎn)的遞推計(jì)算公式。 取R=(ru,rv,rw)=(1,-1,0)得到 Pmi,j,k=Pm-1i+1,j,k-P