n階行列式課件

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四點補充說明，期中測試，一般在第11周周四下午舉行，屆時會提前兩周通知大家。

往年期中比例5-10%?？记?作業(yè)=30%-35%尤為關注數學成績。本科四年所學的數學課程有哪些？成績如何？是否得到數學方面的獎勵？比如美國大學生數學建模競賽，全國大學生數學建模競賽、全國大學生數學競賽等獎項。答疑時間：，建議提前聯系。2

六點補充說明每章結束會有課題組統一發(fā)放的自測題，對自己學的知識進行查漏補缺。（一般要求）此外，還有補充試題。（綜合提高）5.大三、大四同學要警惕：6.訓練思維：解決、推理、歸納問題的能力等

3第一章行列式§1.1n階行列式§1.2行列式的性質§1.3行列式的展開§1.4克萊姆法則4§1.1n階行列式主要內容：1二、三階行列式排列及其逆序數

對換與奇偶性4

n階行列式1、二元線性方程組與二階行列式二元線性方程組由消元法，得當時，該方程組有唯一解求解公式為二元線性方程組

請觀察，此公式有何特點？分母相同，由方程組的四個系數確定.分子、分母都是四個數分成兩對相乘再相減而得.其求解公式為二元線性方程組我們引進新的符號來表示“四個數分成兩對相乘再相減”.記號數表稱為二階行列式。其數學意義為：其中，稱為元素.i為行標，表明元素位于第i行；j為列標，表明元素位于第j

列.原則：橫行豎列8主對角線副對角線對角線法則1二階行列式的計算二元線性方程組若令(方程組的系數行列式)則上述二元線性方程組的解可表示為例1求解二元線性方程組解因為所以11三階行列式的計算-對角線法則【規(guī)律】1.

紅線上三元素的乘積為正號，藍線上乘積為負號．2.三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負.12

如果三元線性方程組的系數行列式

利用三階行列式求解三元線性方程組13則三元線性方程組的解為記注:證明將在第二章中給出.例2

計算行列式解按對角線法則，有15定義1由自然數1,2…n組成一個有序數組

稱為一個n級排列例題1由自然數1,2,3可組成一個三級排列

123；132；213；231；312；321規(guī)律：一般n級排列的總數為n！個2排列及逆序數16定義2在排列中，如果一對數的位置與大小順序相反，即前面的數大于后面的數，那么就稱它為一個逆序；一個排列中逆序的總數稱為它的逆序數。記為例2在一個五級排列45213中，構成逆序的數對42,41,43,52,51,53,21=717定義3逆序數為奇數的排列稱為奇排列;逆序數為偶數的排列稱為偶排列.排列的奇偶性【注】

逆序數為0的排列稱作偶排列,如

.3對換定義在排列中，將任意兩個元素對調，其余的元素不動，這樣的變換叫做對換．將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換．例如注相鄰對換是對換的特殊情形.一般的對換可以通過一系列的相鄰對換來實現.如果連續(xù)施行兩次相同的對換，那么排列就還原了.m次相鄰對換

m+1次相鄰對換

m次相鄰對換

m+1次相鄰對換

如：20定理1

任意一個排列經過一次對換后，改變奇偶性．證明1°相鄰兩個數對換除外，其它元素的逆序數不改變.對換與排列奇偶性的關系（，）因此對換相鄰兩個元素，排列改變奇偶性.當a<b時（a,b）變（b,a）逆序數對增加1當a>b時（a,b）變（b,a）逆序數對減少1注：對換偶（奇）數次，排列的奇偶性不（改）變21次相鄰對換次相鄰對換次相鄰對換結合（1）可知一個排列中的任意兩個數對換，排列改變奇偶性.2°不相鄰兩個數對換b左移m次a右移m+1次22考慮在數1,2,3的全部3級排列中有3個偶排列：123,231,312有3個奇排列：132,213,321對3個偶排列中前兩個元素施以相鄰對換，得到3個奇排列：213,321,132對3個奇排列中前兩個元素施以相鄰對換，得到3個偶排列：312,123,23123（轉化）證明

設這n!個n級排列中共有s個奇排列,t個偶排列，現證s=t.故必有奇排列偶排列所以前兩個數對換ｓ個ｓ個偶排列奇排列所以前兩個數對換ｔ個ｔ個推論1n個元素(n＞１)共有n!個n級排列,其中奇、偶排列各占一半,即各有個.24補充：

有時需要將一個n級排列經過若干次對換變成自然序排列12…n,是否有規(guī)律可循？34521（3,1）14523（4,2）12543（5,3）12345將5級排列34521變成12345共作了3次對換，逆序數與對換次數的奇偶性相同。上述結論對n級排列也適用。25任一n級排列設n級排列可經上述方法對換變成1,2,…n經過t次對換變成1,2，…n顯然1,2…n為偶排列，因此如果是奇（偶）排列，則t必為奇（偶）數則1,2，…n經過t次對換變成26定理2：任一n級排列經過一系列對換互變，即與排列1,2,…n可以且所做的對換次數t與的奇偶性相同1,2…nt次對換t次對換27分析三階行列式結果歸納每項內容及符號的規(guī)律三階行列式共有6項，即項．（1）每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積．（2）符號：

當行標按1，2，3排列時，每項都可寫成每項符號決定于列標排列的逆序數，即其中為列標全排列.奇排列為正，偶排列為負4、n階行列式28綜上，三階行列式

為對列標所有全排列求和.求和個數為全排列的個數29n階行列式的定義定義

n階行列式是所有取自不同行、不同列的n個數的乘積的代數和，即30說明2、階行列式是項的代數和;3、階行列式的每項都是位于不同行、不同列個元素的乘積;5、一階行列式不要與絕對值記號相混淆;4、的符號為1、行列式是一種特定的算式，它是根據求解方程個數和未知量個數相同的一次方程組的需要而定義的，可簡記為;31例所表示的代數和共有120項.乘積是其中的某一項

不是其中的一項.32例6計算對角行列式展開式中項的一般形式是從而這個項為零，所以只能等于,同理可得解即行列式中不為零的項為33展開式中項的一般形式是所以不為零的項只有解例7

計算上三角行列式34例835同理可得下三角行列式36例9

證明對角行列式37證明第一式是顯然的,下面證第二式.若記則依行列式定義回憶：等差數列前n項和公式，這里是n-1n-2n-3…1之和

38

在n階行列式的定義中，我們把每一項n個元素乘積按照行標成自然序排列。乘法有交換律，如果按照列標，這時的符號有什么特征呢？如：三階行列式按行自然排序的項按照列自然排序的項：猜想：n階行列式一般項可以寫成39設

t次對換兩元素的位置行標和列標都同步完成了t次對換行標排列12…nt次對換由定理2可知：列標t次對換12…n由定理2可知：因此，40

定理3n階行列式的一般式可以寫為：

推論241確定行列式中各項的符號定理（由看雙坐標向單坐標轉化）定理4n階行列式

的一般項可以寫成其中為行標的n級排列；

為列標的n級排列.

證明:為了根據定義確定的符號,就是要把這n個元素重新排列一下使得它們的行標成自然序排列,也就是排成

（1）于是它的符號是

42由變到可以經過一系列元素的對換來實現.每做一次對換,元素的行標與列標所成的排列與

同時做一次對換，也就是與同時改變奇偶性,因而它們的和的奇偶性不改變.因此在一系列對換之后有證畢43例10

用行列式的定義計算解44作業(yè)：P29

1(7),2(2),3(4),4(3),5,6,7(1)(4)45思考題1所以的系數為解含的項有兩項,即對應于已知求的系數.46寫在最后成功的