內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市逸仙學(xué)校高一數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市逸仙學(xué)校高一數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則的值等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B2.已知函數(shù)f（x）=，則f（1）﹣f（3）=（）A．﹣2 B．7 C．27 D．﹣7參考答案： B【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式求f（1）=f（1+3）=f（4）=17，及f（3）=10，代入式子求值．【解答】解：∵，∴f（1）=f（1+3）=f（4）=17，f（3）=10，則f（1）﹣f（3）=7，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)求值問題，關(guān)鍵是看準(zhǔn)自變量的范圍，再代入對(duì)應(yīng)的關(guān)系式求值．3.2017年9月29日，第七屆寧德世界地質(zhì)公園文化旅游節(jié)暨第十屆太姥山文化旅游節(jié)在福鼎開幕.如圖所示是本屆旅游節(jié)的會(huì)標(biāo)，其外圍直徑為6，為了測(cè)量其中山水圖案的面積，向會(huì)標(biāo)內(nèi)隨機(jī)投擲100粒芝麻，恰有30粒落在該圖案上，據(jù)此估計(jì)山水圖案的面積大約是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.（4分）函數(shù)在區(qū)間[5，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（） A． [6，+∞） B． （6，+∞） C． （﹣∞，6] D． （﹣∞，6）參考答案：C考點(diǎn)： 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 令t=x2﹣2（a﹣1）x+1，則二次函數(shù)t的對(duì)稱軸為x=a﹣1，且f（x）=g（t）=2t，故函數(shù)t在區(qū)間[5，+∞）上是增函數(shù)，故有a﹣1≤5，由此求得a的范圍．解答： 令t=x2﹣2（a﹣1）x+1，則二次函數(shù)t的對(duì)稱軸為x=a﹣1，且f（x）=g（t）=2t，根據(jù)f（x）在區(qū)間[5，+∞）上是增函數(shù)，故二次函數(shù)t在區(qū)間[5，+∞）上是增函數(shù)，故有a﹣1≤5，解得a≤6，故選：C．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．5.函數(shù)y=sin（2x+）的圖象經(jīng)過平移后所得圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）中心對(duì)稱，這個(gè)平移變換可以是（）A．向左平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．【解答】解：由于函數(shù)y=sin（2x+）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（﹣，0），經(jīng)過平移后所得圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）中心對(duì)稱，故這個(gè)平移變換可以是向右平移個(gè)單位，故選：C．6.下面對(duì)象，不能夠構(gòu)成集合的是（

）A．班里的高個(gè)子

B．雅典奧運(yùn)會(huì)的比賽項(xiàng)目

C．方程的根

D．大于2，且小于10的實(shí)數(shù)參考答案：A7.設(shè)，若線段是△外接圓的直徑，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）．A．(-8,6)

B．(8，-6)

C．(4，-6)

D．(4，-3)參考答案：D略8.若非零實(shí)數(shù)a,b滿足a>b，則A．a(chǎn)3>b3

B.

C.a2>b2

D.

參考答案：A9.下列函數(shù)在R上單調(diào)遞增的是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D略10.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是C1D1，CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與BF所成角的余弦值為（）A. B. C. D.參考答案：D【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求出異面直線AE與BF所成角的余弦值．【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是C1D1，CC1的中點(diǎn)，A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F(xiàn)（0，2，1），＝（﹣2，1，2），＝（﹣2，0，1），設(shè)異面直線AE與BF所成角的平面角為θ，則cosθ＝＝＝,∴異面直線AE與BF所成角的余弦值為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在閉區(qū)間[a，b]D,使得函數(shù)f(x)同時(shí)滿足:（1）f(x)在[a，b]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；（2）f(x)在[a，b]上的值域?yàn)?則稱區(qū)間[a，b]為f(x)的“k倍值區(qū)間”.下列函數(shù)中存在“3倍值區(qū)間”的有

▲

.①f(x)=x2(x≥0)；②；③；④.參考答案：①③對(duì)于①，若函數(shù)存在“3倍值區(qū)間”，則有，解得．所以函數(shù)函數(shù)存在“3倍值區(qū)間”．對(duì)于②，若函數(shù)存在“3倍值區(qū)間”，則有，結(jié)合圖象可得方程無解．所以函數(shù)函數(shù)不存在“3倍值區(qū)間”．對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，從而可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．若函數(shù)存在“3倍值區(qū)間”，且，則有，解得．所以函數(shù)存在“3倍值區(qū)間”．對(duì)于④，函數(shù)為增函數(shù)，若函數(shù)存在“3倍值區(qū)間”，則，由圖象可得方程無解，故函數(shù)不存在“3倍值區(qū)間”．綜上可得①③正確．

12.某公司一年購(gòu)買某種貨物200噸，分成若干次均勻購(gòu)買，每次購(gòu)買的運(yùn)費(fèi)為2萬元，一年存儲(chǔ)費(fèi)用恰好與每次的購(gòu)買噸數(shù)的數(shù)值相等(單位：萬元)，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則應(yīng)購(gòu)買________次．參考答案：1013.若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，且x2–2008[x]+2007=0，則[x]的值是

。參考答案：1，2005，2006，200714.把正整數(shù)排列成如圖甲的三角形數(shù)陣，然后擦去第偶數(shù)行的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙的三角數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到數(shù)列，若，則____.參考答案：1029略15.設(shè)等差數(shù)列{an}滿足，公差，若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值，則首項(xiàng)的取值范圍是________.參考答案：【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系，平方差公式、逆用兩角和差的正弦公式、等差數(shù)列的性質(zhì)，可以把已知等式，化簡(jiǎn)為，根據(jù)，可以求出的值，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和二次函數(shù)的性質(zhì)，得到對(duì)稱軸所在范圍，然后求出首項(xiàng)的取值范圍.【詳解】,數(shù)列是等差數(shù)列，所以，，所以有，而，所以，因此，，對(duì)稱軸為：，由題意可知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，所以，解得，因此首項(xiàng)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，兩角和差的正弦公式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、前項(xiàng)和公式，以及前項(xiàng)和取得最大值問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.16.如果一個(gè)幾何體的俯視圖中有圓，則這個(gè)幾何體中可能有

．參考答案：圓柱、圓臺(tái)、圓錐、球【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】運(yùn)用空間想象力并聯(lián)系所學(xué)過的幾何體列舉得答案．【解答】解：一個(gè)幾何體的俯視圖中有圓，則這個(gè)幾何體中可能有：圓柱、圓臺(tái)、圓錐、球．故答案為：圓柱、圓臺(tái)、圓錐、球．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由三視圖確定幾何體的形狀，考查學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是基礎(chǔ)題．17.在中，若角,,則的面積是____________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）已知為上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）作出的圖象并根據(jù)圖象討論關(guān)于的方程：有3個(gè)以上根的情況。參考答案：（1）當(dāng)＜0時(shí)，-＞0，∵為上的奇函數(shù)，∴∴=-=即：=

………3分當(dāng)=0時(shí)，由得：

……4分所以=

………………5分（2）作圖（如圖所示）

…………8分

由，作直線，……9分則方程有3個(gè)以上根的情況：或，方程有3個(gè)根；…10分0＜＜1或＜＜0，方程有4個(gè)根；

……11分=0，方程有5個(gè)根。

…………12分19.（本小題滿分14分）已知集合，．(Ⅰ)分別求：，；(Ⅱ)已知集合，若，求實(shí)數(shù)的取值的集合．w.參考答案：解：（Ⅰ）

……4分

………8分（Ⅱ）

……12分

……………14分（少“=”號(hào)扣1分）

略20.本小題滿分12分如圖，四棱錐中，底面為矩形，，的中點(diǎn).

(1)證明：（2）設(shè)，三棱錐的體積，求二面角的正切值..

參考答案：

21.如圖，海上有A，B兩個(gè)小島相距10km，船O將保持觀望A島和B島所成的視角為60°，現(xiàn)從船O上派下一只小艇沿BO方向駛至C處進(jìn)行作業(yè)，且OC=BO．設(shè)AC=xkm．（1）用x分別表示OA2+OB2和OA?OB，并求出x的取值范圍；（2）晚上小艇在C處發(fā)出一道強(qiáng)烈的光線照射A島，B島至光線CA的距離為BD，求BD的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】HR：余弦定理；3E：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；7G：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)OC=BO，分別在△OAC與△OAB中利用余弦定理，可得x2=OA2+OB2+OA?OB且100=OA2+OB2﹣OA?OB．兩式聯(lián)解即可得出用x表示OA2+OB2、OA?OB的式子，再根據(jù)基本不等式與實(shí)際問題有意義建立關(guān)于x的不等式組，解之即可得到x的取值范圍；（2）根據(jù)AO是△AOB的中線，利用三角形的面積公式算出S△ABC=2S△AOB=?AC?BD，解出BD=．設(shè)BD=f（x），利用導(dǎo)數(shù)研究f（x）的單調(diào)性可得f'（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間（10，10]上是增函數(shù)，可得當(dāng)x=10時(shí)f（x）有最大值，由此可得當(dāng)AC=10時(shí)BD的最大值為10．【解答】解：（1）在△OAC中，∠AOC=120°，AC=x，根據(jù)余弦定理，可得OA2+OC2﹣2OA?OCcos120°=AC2=x2，又∵OC=BO，∴x2=OA2+OB2﹣2OA?OBcos120°，即x2=OA2+OB2+OA?OB…①在△OAB中，AB=10，∠AOB=60°，∴由余弦定理，得OA2+OB2﹣2OA?OBcos60°=100，即100=OA2+OB2﹣OA?OB…②，①+②，可得OA2+OB2=（x2+100），①﹣②，可得2OA?OB=x2﹣100，即OA?OB=（x2﹣100），又∵OA2+OB2≥2OA?OB，∴（x2+100）≥2×（x2﹣100），解得x2≤300，∵OA?OB=（x2﹣100）＞0，即x2＞100，∴100＜x2≤300，解之得10＜x≤10；（2）∵O是BC的中點(diǎn)，可得S△AOC=S△AOB，∴S△ABC=2S△AOB=2×OA?OBsin60°=×（x2﹣100）=（x2﹣100）．又∵S△ABC=，∴=（x2﹣100），得BD=．設(shè)BD=f（x），可得f（x）=，其中x∈（10，10]∵f'（x）=＞0，∴f（x）在區(qū)間（10，10]上是增函數(shù)，可得當(dāng)x=10時(shí)，f（x）的最大值為=10，即BD的最大值為10．22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)，且．（1）求的解析式