湖北省宜昌市第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

湖北省宜昌市第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a1a2a3=10，且，則a2=（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：A【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由數(shù)列{an}是等差數(shù)列，，可得a1a3=5，利用a1a2a3=10，即可求出a2的值．【解答】解：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴S1=a1，S5=5a3，又∵，∴a1a3=5又∵a1a2a3=10∴a2=2故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，及等差數(shù)列的性質(zhì)，在等差數(shù)列中：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq；在等比數(shù)列中：若m+n=p+q，則am?an=ap?aq；這是等差數(shù)列和等比數(shù)列最重要的性質(zhì)之一，大家一定要熟練掌握．2.若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A．y=±2x B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】通過雙曲線的離心率，推出a、b關(guān)系，然后直接求出雙曲線的漸近線方程．【解答】解：由雙曲線的離心率，可知c=a，又a2+b2=c2，所以b=a，所以雙曲線的漸近線方程為：y==±x．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，漸近線方程的求法，考查計(jì)算能力．3.如圖正四面體（所有棱長都相等）D﹣ABC中，動(dòng)點(diǎn)P在平面BCD上，且滿足∠PAD=30°，若點(diǎn)P在平面ABC上的射影為P′，則sin∠P′AB的最大值為（）A． B．C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】直線與平面所成的角．【分析】由題意可知：當(dāng)點(diǎn)P取線段CD的中點(diǎn)時(shí)，可得到∠P′AB的最大，并且得到sin∠P′AB的最大值．過D作DO⊥平面ABC，可得點(diǎn)O是等邊三角形的中心，連接CO延長與AB相交于點(diǎn)M，CM⊥AB．經(jīng)過點(diǎn)P作PP′⊥CO，垂足為點(diǎn)P′，則PP′⊥平面ABC，點(diǎn)P′為點(diǎn)P在平面ABC的射影，則點(diǎn)P′為CO的中點(diǎn)．進(jìn)而得出答案．【解答】解：由題意可知：當(dāng)點(diǎn)P取線段CD的中點(diǎn)時(shí)，可得到∠P′AB的最大，并且得到sin∠P′AB的最大值．過D作DO⊥平面ABC，則點(diǎn)O是等邊三角形的中心，連接CO延長與AB相交于點(diǎn)M，CM⊥AB．經(jīng)過點(diǎn)P作PP′⊥CO，垂足為點(diǎn)P′，則PP′⊥平面ABC，點(diǎn)P′為點(diǎn)P在平面ABC的射影，則點(diǎn)P′為CO的中點(diǎn)．不妨取AB=2，則MP′=，∴AP′==．sin∠P′AM==．故選：A．4.定義兩個(gè)實(shí)數(shù)間的一種新運(yùn)算“”：.對(duì)任意實(shí)數(shù)，給出如下結(jié)論：①；②；

③；其中正確的個(gè)數(shù)是

A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：D5.已知函數(shù)f(x)＝|lgx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，則2a＋b的取值范圍是()A．(2，＋∞)

B．2，＋∞)C．(3，＋∞)

D．3，＋∞)參考答案：B6.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+2),x∈[3,5]時(shí),f(x)=2-|x-4|,則

（

）

A．f(sin)<f(cos）

B．f(sin1)>f(cos1）C．f(cos)<f(sin）

D．f(cos2)>f(sin2）參考答案：D7.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.給出以下命題：（1）“0＜t＜1”是“曲線表示橢圓”的充要條件（2）命題“若x2=1，則x=1”的否命題為：“若x2=1，則x≠1”（3）Rt△ABC中，|AC|=2，∠B=90°，∠C=30°．D是斜邊AC上的點(diǎn)，|CD|=|CB|．以B為起點(diǎn)任作一條射線BE交AC于E點(diǎn)，則E點(diǎn)落在線段CD上的概率是（4）設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），若P（ξ＞1）=0.2，則P（﹣1＜ξ＜0）=0.6則正確命題有（）個(gè)．A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：A【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】（1），當(dāng)“t=時(shí)，曲線表示圓；（2），命題“若x2=1，則x=1”的否命題為：“若x2≠1，則x≠1”（3），如圖Rt△ABC中，|AC|=2，∠B=90°，∠C=30°．D是斜邊AC上的點(diǎn)，|CD|=|CB|．則∠CBD=75°，所以E點(diǎn)落在線段CD上的概率是，（4），設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），若P（ξ＞1）=0.2，則P（﹣1＜ξ＜0）=0.3；【解答】解：對(duì)于（1），當(dāng)“t=時(shí)，曲線表示圓故錯(cuò)；對(duì)于（2），命題“若x2=1，則x=1”的否命題為：“若x2≠1，則x≠1，故錯(cuò)”對(duì)于（3），如圖Rt△ABC中，|AC|=2，∠B=90°，∠C=30°．D是斜邊AC上的點(diǎn)，|CD|=|CB|．則∠CBD=75°，所以E點(diǎn)落在線段CD上的概率是，故不正確；對(duì)于（4），設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），若P（ξ＞1）=0.2，則P（﹣1＜ξ＜0）=0.3，故錯(cuò)；故選：A．9.將函數(shù)y=sin(2x+)的圖象經(jīng)過怎樣的平移后所得圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）中心對(duì)稱(

)

A．向右平移

B．向右平移

C．向左平移

D．向左平移

參考答案：A略10.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足：，，則(

)A．16 B．－16 C．15 D．－15參考答案：C由等比數(shù)列的性質(zhì)得．所以，又因?yàn)?，所以，所以，，．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（1+2x2）（x﹣）8的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．參考答案：﹣42【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【分析】將問題轉(zhuǎn)化成的常數(shù)項(xiàng)及含x﹣2的項(xiàng)，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為0，﹣2求出常數(shù)項(xiàng)及含x﹣2的項(xiàng)，進(jìn)而相加可得答案．【解答】解：先求的展開式中常數(shù)項(xiàng)以及含x﹣2的項(xiàng)；由8﹣2r=0得r=4，由8﹣2r=﹣2得r=5；即的展開式中常數(shù)項(xiàng)為C84，含x﹣2的項(xiàng)為C85（﹣1）5x﹣2∴的展開式中常數(shù)項(xiàng)為C84﹣2C85=﹣42故答案為﹣4212.設(shè)函數(shù),則

,方程的解集

．參考答案：試題分析:因,故.由可得或,即或.故,應(yīng)填答案.考點(diǎn)：分段函數(shù)的求值和指數(shù)對(duì)數(shù)方程的求解．13.已知，且，，，則a、b、c的大小關(guān)系是______.參考答案：【分析】依次做出，，三個(gè)函數(shù)的圖象，由圖象可知，，的大小關(guān)系.【詳解】，，依次做出，，三個(gè)函數(shù)的圖象，由圖象可知，，，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)零點(diǎn)并比較大小，主要考查了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸，本題的關(guān)鍵是首先將函數(shù)變形為，，然后再通過圖象求零點(diǎn)大小.14.已知三被錐S﹣ABC的體積為，底面△ABC是邊長為2的正三角形，且所有頂點(diǎn)都在直徑為SC的球面上．則此球的半徑為．參考答案：2【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【分析】設(shè)球心為O，球的半徑為R，過ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，作SD⊥平面ABC交CO1的延長線與D，用半徑表示出OO1、高SD，利用V三棱錐S﹣ABC=求出R的值．【解答】解：設(shè)球心為O，球的半徑為R，過ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，作SD⊥平面ABC交CO1的延長線與D，如圖所示；∵△ABC是正三角形，∴CD=×2=，O1C=CD=，∴OO1=，∴高SD=2OO1=2；又△ABC是邊長為2的正三角形，∴S△ABC=?22=，∴V三棱錐S﹣ABC=??2=，解得R=2．故答案為：2．15.已知x，y滿足且z=2x+y的最大值是其最小值的2倍，則a=．參考答案：【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；不等式．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，求出最優(yōu)解，建立方程關(guān)系，即可得到結(jié)論．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最小，當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)z最大，由得，即C（a，2a），此時(shí)zmin=2a+2a=4a，由得，即B（1，2），此時(shí)zmax=2+2=4，∵z=2x+y的最大值是其最小值的2倍，∴2×4a=4，即a=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．16.已知，則的值域?yàn)開______________．參考答案：[，7]略17.已知函數(shù)的自變量取值區(qū)間為A，若其值域也為A，則稱區(qū)間A為的保值區(qū)間．若的保值區(qū)間是，則的值為_______________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，長為的線段的兩端點(diǎn)C、D分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，，記點(diǎn)P的軌跡為曲線E。

（1）求曲線E的方程；

（2）經(jīng)過點(diǎn)（0，1）作直線與曲線E相交于A、B兩點(diǎn)，，當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時(shí)，求四邊形OAMB的面積。參考答案：解：（1）設(shè)C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)。由＝，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，∴得

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2分由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，∴(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，整理，得曲線E的方程為x2＋＝1。

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5分（2）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋，知點(diǎn)M坐標(biāo)為(x1＋x2，y1＋y2)。設(shè)直線的方程為y＝kx＋1，代入曲線E方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，則x1＋x2＝－，x1x2＝－，

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7分y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，由點(diǎn)M在曲線E上，知(x1＋x2)2＋＝1，即＋＝1，解得k2＝2。

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9分這時(shí)|AB|＝|x1－x2|＝＝，原點(diǎn)到直線l的距離d＝＝，所以平行四邊形OAMB的面積S＝|AB|·d＝。

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12分19.(本小題滿分12分)如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，O為AC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，M為PD的中點(diǎn)，∠ADC=45o，AD=AC=1，PO=a(1)證明：DA⊥平面PAC；(2)如果二面角M?AC?D的正切值為2，求a的值.

參考答案：20.已知函數(shù)f（x）=xetx﹣ex+1，其中t∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）若方程f（x）=1無實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）先確定原方程無負(fù)實(shí)數(shù)根，令g（x）=，求出函數(shù)的值域，方程f（x）=1無實(shí)數(shù)根，等價(jià)于1﹣t?（﹣∞，]，從而求出t的范圍；（Ⅱ）利用函數(shù)f（x）是（0，+∞）內(nèi)的減函數(shù)，確定t＜1，再分類討論，即可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=1，可得x=ex（1﹣t）＞0，∴原方程無負(fù)實(shí)數(shù)根，故有=1﹣t．令g（x）=，則g′（x）=，∴0＜x＜e，g′（x）＞0；x＞e，f′（x）＜0，∴函數(shù)g（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，∴函數(shù)g（x）的最大值為g（e）=，∴函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋ī仭?，]；方程f（x）=1無實(shí)數(shù)根，等價(jià)于1﹣t?（﹣∞，]，∴1﹣t＞，∴t＜1﹣，∴當(dāng)t＜1﹣時(shí)，方程f（x）=1無實(shí)數(shù)根；（Ⅱ）f′（x）=etx由題設(shè)，x＞0，f′（x）≤0，不妨取x=1，則f′（1）=et（1+t﹣e1﹣t）≤0，t≥1時(shí)，e1﹣t≤1，1+t≤2，不成立，∴t＜1．①t≤，x＞0時(shí)，f′（x）=etx≤（1+﹣），由（Ⅰ）知，x﹣ex+1＜0，∴1+﹣＜0，∴f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）是（0，+∞）內(nèi)的減函數(shù)；②＜t＜1，＞1，∴l(xiāng)n＞0，令h（x）=1+tx﹣e（1﹣t）x，則h（0）=0，h′（x）=（1﹣t）[﹣e（1﹣t）x]0＜x＜ln，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，ln）上單調(diào)遞增，∴h（x）＞h（0）=0，此時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，ln）上單調(diào)遞增，有f（x）＞f（0）=0與題設(shè)矛盾，綜上，當(dāng)t≤時(shí)，函數(shù)f（x）是（0，+∞）內(nèi)的減函數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．21.已知是等差數(shù)列，其中（1）數(shù)列從哪一項(xiàng)開始小于0

（2）求值。參考答案：解：（1）

……3分

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