22、單線段最值問題整合

單線段最值問題（一）一一基本分類鄧晉榮一、單動點(diǎn)若要求最值的線段一端為定點(diǎn)，另一端為動點(diǎn)，則需要研究動點(diǎn)所在軌跡，一般為圓或直線..點(diǎn)在直線上運(yùn)動點(diǎn)P是直線/上一動點(diǎn)，A是直線外一點(diǎn)，求八夕的最小值.過點(diǎn)4作4戶_1/,垂足為〃，貝IJA產(chǎn)WAP..點(diǎn)在圓上運(yùn)動點(diǎn)P為￡0上一動點(diǎn)，4是圓外一點(diǎn)，求AP的最值.連接A。并延長，交。。于耳、鳥兩點(diǎn)，則例1.如圖，已知正方形ABC。，AB=2,E、F分別在3C、CO上運(yùn)動，且“=CF,AE.BF交于點(diǎn)G,則CG的最小值為.例2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2,4）,點(diǎn)尸（1,0）,8是軸y上一動點(diǎn)，過點(diǎn)A作A8_LAC交x軸于點(diǎn)C,M是8。中點(diǎn)，則PM的最小值為.例3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形。43。的頂點(diǎn)A在y軸上，OA=3,OC=4,D是線段AB上一動點(diǎn)，以CO為邊在與點(diǎn)B同側(cè)作正方形CDEF,則0E的最小值為例4.如圖，在邊長為a的等邊△A8C中，ADA.BC,點(diǎn)E是直線4。上的一個動點(diǎn)，連接CE,把線段CE繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到CF,連接。尸，則。尸的最小值為.例5.如圖，在RtZkABC中，ZACB=900,AC=BC=4,。是BC邊上一動點(diǎn)，連接AO交以CO為直徑的圓于點(diǎn)E,則BE的最小值為.例6.如圖，在△AAC中，ZACB=90°,N44C=30。，BC=2,。是44邊上一點(diǎn)，以AO為邊在aABC外側(cè)作等邊△AOE,過點(diǎn)。作。E的垂線，尸是垂線上一點(diǎn)，G是EF中點(diǎn)，則CG的最小值為.多動點(diǎn)轉(zhuǎn)化為單動點(diǎn)（1）雙動點(diǎn)轉(zhuǎn)單動點(diǎn)例7.如圖，在RIA4BC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,。是AC上一動點(diǎn)，DEIAC,DF1BC,則M的最小值為.例8.如圖，0A與x軸交于8（2,0）、C（4,0）兩點(diǎn)，點(diǎn)?是），軸上一動點(diǎn)，OP切0A于點(diǎn)。,則。2的最小值為則。2的最小值為例9.如圖，在坐標(biāo)系中，點(diǎn)4、8分別在x、），軸上運(yùn)動，且人8=2,在第一象限作等邊△ABC,則OC的最大值為.例10. 如圖，在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、8分別在x軸、直線y=x上運(yùn)動，且A8=2,以A8為邊在點(diǎn)。異側(cè)作等邊△4水：,則OC的最大值為圓中的弦，由半徑與圓心角（圓周角）決定，若圓心角固定，則弦的最值轉(zhuǎn)化為半徑的最值.半徑的最值問題可以轉(zhuǎn)化為單動點(diǎn)問題，也可以由半徑與弦的關(guān)系求得（0</42/）.例11.如圖，在△ABC中，AB=AC=SfZBAC=120°,力在線段 上且CO=3B。,點(diǎn)、E、尸分別在射線B4、CA上，若NEDF=60。,則行的最小值為例12.如圖，已知），=-%-%+6與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,。是線段8 48。上一動點(diǎn)，P是中點(diǎn).過點(diǎn)。分別作AB、AC的垂線，垂足為E、尸兩點(diǎn)，則所的最小值為.例13.如圖，在RS48C中，AC=6,BC=8,P、。是AC、8C上的動點(diǎn)，aCrQ的外接圓，恰好與直線48相切，貝IJPQ的最小值為.動態(tài)折疊的情況更加復(fù)雜,可以轉(zhuǎn)化為單動點(diǎn)問題，也可能無法轉(zhuǎn)化.動態(tài)折疊的情況更加復(fù)雜,可以轉(zhuǎn)化為單動點(diǎn)問題，也可能無法轉(zhuǎn)化.例14.如圖，在RtAABC中，NACB=90。，4c=6,?C=4,。是AC中點(diǎn)，E在BC上運(yùn)動，沿。E折疊，使點(diǎn)C落在C處，則8。的最小值為.例15.如圖，在RSA4C中，NACB=90。,AC=6,4C=8,。、E分別是AC、BC上的動點(diǎn)，沿。E折疊，使點(diǎn)C落在。'處，則AC的最小值為.例16.如圖，已知等邊△A8C,邊長為4,。、E是AC、AB上兩動點(diǎn)，沿。E折直，使點(diǎn)A恰好落到上，則CO的最大值為.例14例例14例15B單線段最值問題（二）一一連鎖軌跡鄧晉榮例1.如圖，在"BC中，AB=2,AC=3,以8C作等邊△BCD,B、D、C三點(diǎn)為逆時針順序，則A。的最大值為.例2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形。48C的頂點(diǎn)A在y軸上，QA=3，OC=4,。是線段A8上一動點(diǎn)，以CO為邊在與點(diǎn)8同側(cè)作正方形CDEF,則OE的最小值為例3.如圖，在邊長為a的等邊△ABC中，ADA.BC，點(diǎn)、E是直線A。上的一個動點(diǎn)，連接CE,把線段CE繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到CF,連接。則。尸的最小值為.實(shí)際上，例1可以修改如下：例4.如圖，AC=3,點(diǎn)B在以4為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動，以BC為邊作等邊△BCD,B、C、。三點(diǎn)為逆時針順序，則A。的最大值為一思考，我們能否證明點(diǎn)。也在某個圓上運(yùn)動？如果把例4中的等邊三角形改為等腰直角三角形呢？例5.如圖，AC=3,點(diǎn)4在以A為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動，以8c為斜邊作等腰直角△BCD,B、C、。三點(diǎn)為逆時針順序，則人。的最大值為..位似變換如圖，A是定點(diǎn)，點(diǎn)戶在直線BC（感O）上運(yùn)動，M是AP中點(diǎn).旋轉(zhuǎn)變換（旋轉(zhuǎn)型全等）如圖，4是定點(diǎn)，點(diǎn)P在直線8CC或O）上運(yùn)動，作等腰直角△APQ,^PAQ=90°（此處可以看作點(diǎn)P繞點(diǎn)、A逆時針旋轉(zhuǎn)90。）.旋轉(zhuǎn)位似變換（旋轉(zhuǎn)型相似）如圖，A是定點(diǎn)，點(diǎn)P在直線8C減O）上運(yùn)動，作等腰直角“PQ,ZAPQ=90°（此處可以看作點(diǎn)P繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45。后，再以點(diǎn)A為位似中心擴(kuò)大應(yīng)倍）結(jié)論1：若某動點(diǎn)（稱為主動點(diǎn)）在某軌跡上運(yùn)動，則與其連鎖運(yùn)動的點(diǎn)（稱為從動點(diǎn)）也在同樣的軌跡上運(yùn)動。主動點(diǎn)在某直線上運(yùn)動，從動點(diǎn)也在另一直線上運(yùn)動；主動點(diǎn)在某圓上運(yùn)動，從動點(diǎn)也在另一圓上運(yùn)動。（此處的“連鎖運(yùn)動”即指主動點(diǎn)經(jīng)過固定幾何變換得到從動點(diǎn)）結(jié)論2：若主動點(diǎn)圓上運(yùn)動，則應(yīng)該把圓心進(jìn)行同樣的幾何變換，得到從動點(diǎn)的圓心；若主動點(diǎn)在直線上運(yùn)動，則選擇該直線上任意一點(diǎn)，進(jìn)行同樣的幾何變換，變換后的點(diǎn)與從動點(diǎn)構(gòu)成從動點(diǎn)所在直線。之后，再通過“手拉手”模型進(jìn)行推導(dǎo)證明。結(jié)論3：主動點(diǎn)所在軌跡與從動點(diǎn)所在軌跡的長度之比等于位似比。例6.如圖，在四邊形A8CD中，ZS4BC=ZADC=9O°,AD=CD=42,E是3D中點(diǎn),則CE的最小值為.例7.如圖，在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(3,0)，點(diǎn)B在直線上運(yùn)動，以AB為邊作等邊△48C,8、A、C三點(diǎn)為逆時針順序，則0C的最小值為.例8.如圖，4B是。0的直徑，C是08上一點(diǎn)，P是00上一動點(diǎn)，以CP為底邊作等腰直角ACPD,尸、C、力三點(diǎn)為逆時針順序，若48=6,0C=2,則A。的最小值為.例9.如圖，點(diǎn)O在線段人8上，OB=2,以點(diǎn)。為圓心，04長為半徑作90,點(diǎn)。在8上運(yùn)動，以8P為邊作△4CP,使NH3C=9O。，tanZ?PC=2,P、B、C三點(diǎn)為逆時針順序，則AC的取值范圍是.例10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(2,4),點(diǎn)P(l,0),B是軸)，上一動點(diǎn),過點(diǎn)人作4c交x軸于點(diǎn)C,M是BC中點(diǎn)，則PM的最小值為.單線段最值問題練習(xí)練1.如圖，在00中，半徑為6,C是8上一動點(diǎn)，且NACB=30。，延長。交過點(diǎn)A的切線于點(diǎn)。，則8。的最小值為.練2.如圖，點(diǎn)A是直線y=-x上的動點(diǎn)，點(diǎn)B在工軸上運(yùn)動，作矩形ABCD,A8=2,AD=1,A、B、。、。四點(diǎn)為逆時針順序，則。。的最大值為.練3.如圖，在等邊aABC中，4/3=3,點(diǎn)。、E分別在8C、4c上運(yùn)動，旦BD=CE,AD交BE于點(diǎn)、F,則CF的最小值為.練4.如圖，在菱形ABC。中，AC=2,BD=4,P是CO上一動點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于AC、AO的對稱點(diǎn)4、P2,則的最小值為練5.如圖，己點(diǎn)4(3,0),C(0,-4),?C的半徑為2，點(diǎn)尸是DC上一動點(diǎn)，M是A尸中點(diǎn)，則0例的最小值為.練6.如圖，已知。。半徑為3,A、8是0。上兩點(diǎn)，將點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)C,則0C的最小值為.練7.如圖，AB是00的直徑，。是人8中點(diǎn)，。是8c上一動點(diǎn)，過點(diǎn)。作CE_LC。交A。于點(diǎn)E,則BE的最小值為.練8.如圖，在等邊△ABC中，。是8c上一動點(diǎn)，M是A。中點(diǎn)，將線段0M繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到。N.當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)8運(yùn)動到點(diǎn)。時，點(diǎn)N運(yùn)動的凱跡長為.練9.如圖，已知定點(diǎn)A橫坐標(biāo)為2幣，過點(diǎn)A且垂直于x軸的直線交x軸于點(diǎn)M,交直線y=T于點(diǎn)N.P是線段ON上一動點(diǎn)，作△APB,ZBAP=90°,NAP8=30。，A、P、4三點(diǎn)為逆時針順序.當(dāng)點(diǎn)乃從點(diǎn)。運(yùn)動到點(diǎn)N時，點(diǎn)8運(yùn)動的軌跡長為.AA練10.如圖，AP=3,8。=4,作正方形AZ?CO,A、4、C、。四點(diǎn)為逆時針順序，CP的最大值為 練11.如圖等邊中，。是AC邊上一動點(diǎn)，作ABDP,NPBD=30。,PB=PD,P、8、。三點(diǎn)為逆時針順序，則CO的最小值為.統(tǒng)（12.如圖，AABCu5DE,NB4C=NOAE=90。，人8=6,AC=8,尸是。石中點(diǎn)，若點(diǎn)。在直線上運(yùn)動，連接c〃，則線段。尸