6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例教案-2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

第六章平面向量及其應(yīng)用6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)1.通過力的合成與分解模型、速度的合成與分解模型.2.握利用向量方法研究物理中相關(guān)問題的步驟,明確向量在物理中應(yīng)用的基本題型.二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)用向量方法解決實(shí)際問題的基本方法.2.教學(xué)難點(diǎn)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為向量問題.三、教學(xué)過程（一）探索新知探究一：平面向量在物理中的應(yīng)用教師：向量的數(shù)量積與功有什么聯(lián)系？提示：物理上力做功的實(shí)質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移距離的乘積，它的實(shí)質(zhì)是向量的數(shù)量積．教師：用向量方法解決物理問題的一般步驟是什么？提示：用向量方法解決物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個(gè)步驟：①問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；②建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型；③求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等；④回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題中．例1.一物體在力F1＝(3，－4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3,1)的共同作用下從點(diǎn)A(1,1)移動(dòng)到點(diǎn)B(0,5)．在這個(gè)過程中三個(gè)力的合力所做的功等于________．例2.設(shè)作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3處于平衡狀態(tài)，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1與F2的夾角為eq\f(2,3)π，如圖所示．①求F3的大小；②求F2與F3的夾角．思考：(1)eq\x(求出合力、位移的坐標(biāo)表示)→eq\x(利用數(shù)量積求功)(2)①eq\x(由三個(gè)力處于平衡狀態(tài)用F1，F(xiàn)2表示F3)→eq\x(用向量模的計(jì)算公式求F3的大小)②eq\x(用F1，F(xiàn)2表示F3)→eq\x(構(gòu)造F2·F3)→eq\x(利用夾角公式求解)解：(1)－40因?yàn)镕1＝(3，－4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3,1)，所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,4)，則F·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－1×8－8×4＝－40，即三個(gè)力的合力所做的功為－40.(2)①由題意|F3|＝|F1＋F2|，因?yàn)閨F1|＝1，|F2|＝2，且F1與F2的夾角為eq\f(2,3)π，所以|F3|＝|F1＋F2|＝eq\r(1＋4＋2×1×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(3).②設(shè)F2與F3的夾角為θ，因?yàn)镕3＝－(F1＋F2)，所以F3·F2＝－F1·F2－F2·F2，所以eq\r(3)·2·cosθ＝－1×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－4，所以cosθ＝－eq\f(\r(3),2)，所以θ＝eq\f(5,6)π.探究二：向量在物理中的應(yīng)用1.求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量幾何化，借助于向量求和的平行四邊形法則求解.2.用向量方法解決物理問題的步驟：①把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；②轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運(yùn)算使問題解決；③結(jié)果還原為物理問題.例3.一條寬為eq\r(,3)km的河，水流速度為2km/h，在河兩岸有兩個(gè)碼頭A，B，已知AB＝eq\r(,3)km，船在水中最大航速為4km/h；問怎樣安排航行速度可使該船從A碼頭最快到達(dá)彼岸B碼頭？用時(shí)多少？解：如圖所示，設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))為水流速度，eq\o(AD,\s\up6(→))為航行速度，以AC和AD為鄰邊作?ACED，當(dāng)AE與AB重合時(shí)能最快到達(dá)彼岸．根據(jù)題意知AC⊥AE，在Rt△ADE和?ACED中，|eq\o(DE,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4，∠AED＝90°，∴|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝eq\r(,|\o(AD,\s\up6(→))|2－|\o(DE,\s\up6(→))|2)＝2eq\r(,3)，eq\r(,3)÷2eq\r(,3)＝0.5(h)，sin∠EAD＝eq\f(1,2)，∴∠EAD＝30°.∴船實(shí)際航行速度大小為4km/h，與水流成120°角時(shí)能最快到達(dá)B碼頭，用時(shí)0.5小時(shí).總結(jié)：1.利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題．利用向量解決平面幾何問題時(shí)，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量，另一種思路是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及的向量的坐標(biāo)．這兩種思路都是通過向量的計(jì)算獲得幾何命題的證明．2．用向量解決物理問題一般按如下步驟進(jìn)行：①轉(zhuǎn)化：把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；②建模：建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；③求解：求出數(shù)學(xué)模型的相關(guān)解；④回歸：回到物理現(xiàn)象中，用已獲取的數(shù)值去解釋一些物理現(xiàn)象．（二）課堂練習(xí)1.已知作用在點(diǎn)A的三個(gè)力，，，且，則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)為()A. B. C. D.答案：A解析：，設(shè)合力f的終點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則.故選A.2.兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力，，當(dāng)它們的夾角為90°時(shí)，合力大小為20N，則當(dāng)它們的夾角為120°時(shí)，合力大小為()A.40N B. C. D.答案：B解析：，當(dāng)和的夾角為120°時(shí)，由平行四邊形法則知.故選B.3.已知兩個(gè)力的夾角為,它們的合力大小為,合力與的夾角為,那么的大小為()A. B. C. D.答案：A解析：∵,∴的大小為.故選A.4.一個(gè)物體受到同一平面內(nèi)二個(gè)力的作用，沿北偏東方向移動(dòng)了8m，已知，方向?yàn)楸逼珫|，，方向?yàn)楸逼珫|，方向?yàn)楸逼鳎瑒t這三個(gè)力的合力所做的功為()A. B. C. D.答案：D解析：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，則合力，又位移，故合力所做的功.選D.（