數(shù)學(xué)人教八年級(jí)上冊(cè)（2013年新編）13-3-1 等腰三角形的性質(zhì)（當(dāng)堂達(dá)標(biāo)）

13.3.1等腰三角形的性質(zhì)夯實(shí)基礎(chǔ)篇一、單選題：1．如圖，B在AC上，D在CE上，，，的度數(shù)為（）A．50° B．65° C．75° D．80°【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：，，，，，，.故答案為：C.【分析】由等邊對(duì)等角得，利用三角形外角的性質(zhì)求出，由等邊對(duì)等角得，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出.2．若等腰三角形的一個(gè)外角是70°，則它的底角的度數(shù)是（）A．110° B．70° C．35° D．55°【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：等腰三角形的一個(gè)外角是，與這個(gè)外角相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為，這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為，底角的度數(shù)為，故答案為：C.【分析】利用等腰三角形的一個(gè)外角是70°，可求出與這個(gè)外角相鄰的內(nèi)角的度數(shù)，由于這個(gè)角是鈍角，只能做頂角，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)求出它的底角的度數(shù)即可.3．若（a﹣2）2+|b﹣3|＝0，則以a、b為邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．6 B．7 C．8 D．7或8【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)；偶次冪的非負(fù)性；絕對(duì)值的非負(fù)性【解析】【解答】解：∵（a﹣2）2+|b﹣3|=0，∴a﹣2=0，b﹣3=0，解得a=2，b=3，①當(dāng)腰是2，底邊是3時(shí)，三邊長(zhǎng)是2，2，3，此時(shí)符合三角形的三邊關(guān)系定理，即等腰三角形的周長(zhǎng)是2+2+3=7；②當(dāng)腰是3，底邊是2時(shí)，三邊長(zhǎng)是3，3，2，此時(shí)符合三角形的三邊關(guān)系定理，即等腰三角形的周長(zhǎng)是3+3+2=8．故答案為：D．

【分析】首先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可以得到a,b的長(zhǎng)度，再分類(lèi)討論:腰為2，底為3；和腰為3，底為2，分別求出即可4．如圖，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，AC＝8，DE＝2，則△BCE的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，

∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，

∴CD⊥AB，

∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，

∴EF＝DE＝2，

∴△BCE的面積＝×BC×EF＝×8×2=8.

故答案為：C.

【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性質(zhì)可證得CD⊥AB，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可求出EF的長(zhǎng)；再利用三角形的面積公式可求出△BCE的面積.5．一個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為5，一腰上中線把其周長(zhǎng)分成的兩部分的差為3，則這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為()A．2 B．8 C．2或8 D．10【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】∵BD為中線，AB=AC，BC=5，

∴AD=CD，

∵C△ABD=AB+BD+AD，C△CBD=BC+CD+BD，

①當(dāng)C△ABD-C△CBD=3時(shí)，

∴AB+BD+AD-（BC+CD+BD）=3，

即AB-BC=3，

∴AB=3+5=8，

∴△ABC三邊長(zhǎng)分別為：8，8，5，符合三角形三邊之間的關(guān)系，

②當(dāng)C△CBD-C△ABD=3時(shí)，

∴BC+CD+BD-（AB+BD+AD）=3，

即BC-AB=3，

∴AB=5-3=2，

∴△ABC三邊長(zhǎng)分別為：2，2，5，2+25，不符合三角形三邊之間的關(guān)系，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和中線的定義分兩種情況討論：①當(dāng)C△ABD-C△CBD=3，②當(dāng)C△CBD-C△ABD=3，分別求出AB的長(zhǎng)，再結(jié)合三角形三邊之間的關(guān)系來(lái)分析即可得出答案.6．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E是邊AB上兩點(diǎn)，且CE所在直線垂直平分線段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，則BD的長(zhǎng)為（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵CE所在直線垂直平分線段AD，

∴AC=CD=5cm，∠ACE=∠DCE，∠AEC=90°，

∵CD平分∠BCE，

∴∠ECD=∠BCD，

∴∠ACE=∠DCE=∠BCD，

∵∠ACE+∠DCE+∠BCD=∠ACB=90°

∴∠ACE=∠DCE=∠BCD=30°，

在△AEC中，∠AEC=90°，∠ACE=30°，∴∠A=60°，

在△ABC中，∠A=60°，∠ACB=90°，∴∠B=30°，

∴∠B=∠BCD=30°，

∴BD=CD=5cm.

故答案為：A。【分析】根據(jù)中垂線的性質(zhì)得出AC=CD=5cm，∠ACE=∠DCE，∠AEC=90°，根據(jù)角平分線的定義得出∠ECD=∠BCD，根據(jù)等量代換及角的和差即可得出∠ACE=∠DCE=∠BCD=30°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠A=60°，∠B=30°，根據(jù)等量代換得出∠B=∠BCD=30°，根據(jù)等角對(duì)等邊得出BD=CD=5cm.二、填空題：7．如圖，在中，垂直平分，若的周長(zhǎng)是12，，則的長(zhǎng).【答案】8【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】∵DE垂直平分AC，∴AD=CD.∵△BCD的周長(zhǎng)是12，BC=4，∴AB=BD+CD=12-4=8，故答案為：8.【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=CD，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論.8．如圖，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交邊AB于D點(diǎn)，交邊AC于E點(diǎn)，若△ABC與△EBC的周長(zhǎng)分別是40cm，24cm，則AB=cm．【答案】16【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】∵DE是AB的垂直平分線，

∴AE=BE，

∵ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC，EBC的周長(zhǎng)=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，

∴ABC的周長(zhǎng)-EBC的周長(zhǎng)=AB，

∴AB=40-24=16cm.

故答案為：16.

【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì).首先根據(jù)DE是AB的垂直平分線，得出AE=BE；然后觀察ABC的周長(zhǎng)和EBC的周長(zhǎng)兩者的表達(dá)式，可得ABC的周長(zhǎng)-EBC的周長(zhǎng)=AB，進(jìn)而求解即可.9．如圖，在ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC，則∠BDC＝.【答案】72°【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠ACB＝72°，故答案為：72°.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和求出，由等邊對(duì)等角可得∠BDC＝∠ACB＝72°.10．在ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，則圖中陰影部分的面積為.【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：如圖，先標(biāo)注字母，∵在△ABC中，AD⊥BC，BD＝CD，

∴AB＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABD＝S△ACD，

∴∠BAD＝∠CAD，

在△ABE和△ACE中，

AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，

∴△ABE≌△ACE（SAS），

∴S△ABE＝S△ACE，

在△BDF和△CDF中，

BD＝CD，∠BDF＝∠CDF，DF＝DF，

∴△BDF≌△CDF（SAS），

∴S△BDF＝S△CDF，

∴S△BEF＝S△CEF，

∵S△ABC＝BC?AD＝×4×6＝12，

∴S陰影＝S△ABC＝6．故答案為：6.【分析】由AD⊥BC于D點(diǎn)，BD＝CD，得△ABC是等腰三角形，易證△ABE≌△ACE，△BDF≌△CDF，繼而可得S陰影＝S△ABC，則可求得答案．11．如圖，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB=∠DBA，又知AC=18，△CDB的周長(zhǎng)為28，則BD的長(zhǎng)為．【答案】8【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】∵CE平分∠ACB，且CE⊥DB，

∴CD=BC，

又∵∠DAB=∠DBA，

∴DA=DB，

又∵AC=AD+DC=18，

C△CDB=CD+DB+CB=28，

∴18+BC=28，

∴BC=CD=10，

∴BD=28-10-10=8，

故答案為：8.【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出CD=BC，DA=DB，從而得出AC=AD+DC=18，再由C△CDB=28得出BC=CD=10，從而求出BD的長(zhǎng).12．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=28°，AD=AE，則∠EDC=．

【答案】14°【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】∵AB=AC，∠BAD=28°，

∴∠B=∠C，

又∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED，

設(shè)∠EDC=x，∠B=∠C=y，

∴∠ADE=∠AED=x+y，

∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=x+y+x=2x+y，

又∵∠ADC=∠ABD+∠BAD=y+28°，

∴2x+y=y+28°，

∴x=14°，

即∠EDC=14°，

故答案為：14°.

【分析】由等腰三角形性質(zhì)得出∠B=∠C，∠ADE=∠AED；設(shè)∠EDC=x，∠B=∠C=y，由三角形外角的性質(zhì)得出∠ADE=∠AED=x+y，

∠ADC=∠ABD+∠BAD=y+28°，再根據(jù)∠ADC=∠ADE+∠EDC=x+y+x=2x+y，得出等式2x+y=y+28°，解出x值即可.13．已知：如圖，△ABC中，BO，CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，過(guò)O點(diǎn)的直線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，且DE∥BC．若AB＝6cm，AC＝8cm，則△ADE的周長(zhǎng)為．【答案】14cm【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵DE∥BC∴∠DOB=∠OBC，又∵BO是∠ABC的角平分線，∴∠DBO=∠OBC，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，同理：OE=EC，∴△ADE的周長(zhǎng)=AD+OD+OE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm．故答案為：14cm．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DOB=∠OBC，又由角平分線的定義可得∠DBO=∠OBC，整理可得∠DBO=∠DOB，根據(jù)等角對(duì)等邊可得BD=OD，同理可得OE=EC，最后由線段間的等量代換可得△ADE的周長(zhǎng)。三、解答題：14．如圖所示，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD⊥AC交AC于D．求證：∠DBC=∠A．【答案】證明：作AE⊥BC于點(diǎn)E，如圖：

∵∠ABC=∠C，

∴AB=AC，

又∵AE⊥BC，

∴∠CAE=∠BAC，∠CAE+∠BCD=90°，

∵BD⊥AC，

∴∠DBC+∠BCD=90°，

∴∠DBC=∠CAE=∠BAC.【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)【解析】【分析】作AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)：等角對(duì)等邊得AB=AC，再由三角形三線合一有的性質(zhì)得∠CAE=∠BAC，∠CAE+∠BCD=90°，由垂直定義和同角的余角相等即可得證.15．如圖，點(diǎn)E為△ABC邊AB上一點(diǎn)，AC=BC=BE，AE=EC，BD⊥AC于D，求∠CBD的度數(shù)．【答案】解：設(shè)∠A=x°，∵AC=BC，AE=EC，∴∠ABC=∠A=x°∠ACE=∠A=x°，∴∠BEC=∠A+∠ACE=2x°，∵BC=BE，∴∠BEC=∠BCE=2x°，在△BEC中，∠BEC+∠BCE+∠EBC=180°，∴2x+2x+x=180，解得：x=36，∴∠A=∠ABC=36°，∴∠CBD=90°-∠A-∠ABC=18゜【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)【解析】【分析】設(shè)∠A=x°，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠ABC=∠A=x°∠ACE=∠A=x°，根據(jù)三角形的外角定理得出∠BEC=∠A+∠ACE=2x°，再根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠BEC=∠BCE=2x°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和列出方程，求解得出x的值，根據(jù)直角三角形兩銳角互余及角的和差即可算出答案。16．如圖，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAD=45°，AD與BE交于點(diǎn)F，連接CF．求證：BF=2AE．【答案】證明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD．∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠CBE．在△ADC和△BDF中，∠CAD=∠CBEAD=BD∠ADC=∠BDF=90°，∴△ADC≌△BDF（ASA），∴BF=∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AE，∴BF=2AE．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【分析】首先判斷出△ABD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD=BD，根據(jù)同角的余角相等得出∠CAD=∠CBE，然后利用ASA判斷出△ADC≌△BDF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出BF=AC，根據(jù)等腰三角形的三線合一，由AB=BC，BE⊥AC，得出AC=2AE，根據(jù)等量代換得出BF=2AE．能力提升篇一、單選題：1．△ABC中，AB=AC，CD為AB上的高，且△ADC為等腰三角形，則∠BCD等于()A．67.5° B．22.5°C．45° D．67.5°或22.5°【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：①如圖1，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，∵CD⊥AB，且△ADC為等腰三角形，∴△ADC為等腰直角三角形，∴，又∵AB=AC，∴，∴.②如圖2，當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，∵CD⊥AB，且△ADC為等腰三角形，∴△ADC為等腰直角三角形，∴，又∵AB=AC，∴，∴.故【分析】△ABC是等腰三角形，由AB邊上的高為CD，則△ABC的頂角A是銳角或鈍角，分兩種情況畫(huà)出圖形求解即可.2．如圖，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△APQ是以PQ為底的等腰三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是()A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次方程；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

∵點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，

∴PB=3t，QA=2t，

又∵AB=20cm，AC=12cm，

∴PA=20-3t，QC=12-2t，

又∵△APQ是以PQ為底的等腰三角形，

∴AP=AQ，

即20-3t=2t，

∴t=4，

故答案為：D.【分析】設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，根據(jù)題意得出PB=3t，QA=2t，PA=20-3t，QC=12-2t，再由△APQ是以PQ為底的等腰三角形，得出AP=AQ，即20-3t=2t，求出t值即可.3．如圖，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，則∠An﹣1AnBn﹣1（n＞2）的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵在△ABA1中，

∠A=70°，AB=A1B，

∴∠BA1A=70°，

∵A1A2=A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，

∴∠B1A2A1===35°.

同理可得，

∠B2A3A2==17.5°，∠B3A4A3==.?

∴∠An-1AnBn-1=

故答案為：C.

【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，求出∠An﹣1AnBn﹣1的度數(shù).4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交B于點(diǎn)D，則下列說(shuō)法:①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點(diǎn)D在AB的中垂線上；④S△DAC:S△ABC=1:3.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；三角形全等及其性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】①證明：如圖，連接NP、MP，

在△ANP和△AMP中，

∵，

∴△ANP≌△AMP（SSS），

∴∠CAD=∠BAD，

∴AD是∠BAC的∠平分線，正確；

②在△ABC中，

∵∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAD=60°，

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠CAD=30°，

∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，正確；

③∵∠DAB=∠B=30°，

∴DA=DB，

∴D在AB的中垂線上，正確；

④在△ACD中，

∵∠CAD=30°，

∴AD=2CD=BD，

∴BC=3CD，

∵S△DAC=AC×CD，S△ABC=AC×BC=AC×3CD=3S△DAC，

∴S△DAC:S△ABC=1:3，正確.

綜上，正確的選項(xiàng)有4個(gè).

故答案為：D.

【分析】①利用邊邊邊定理即可證明△ANP≌△AMP，從而推出AD是∠BAC的平分線；②根據(jù)余角的性質(zhì)，結(jié)合AD是∠BAC的平分線可求∠ADC的度數(shù)；③根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)即可求出DA=DB，則D在AB的中垂線上；④先推出BC=3CD，然后利用三角形的面積公式可得S△DAC:S△ABC的值.二、填空題：5．在中，，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，若是等腰三角形，則的大小為度.【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】如圖所示，若頂角∠BAC為銳角，則：AB=BD，∠D=∠DAB∵AB=AC∴∠ABC=∠C，∴∠C=∠ABC=∠D+∠DAB=2∠D，∵，∴∠DAC=90，∴∠C+∠D=3∠D=90，∴∠D=30，∴∠C=2∠D=60；如圖所示，若頂角∠BAC為鈍角，則：AD=BD，∠B=∠DAB，∴∠ADC=∠B+∠DAB=2∠B，∵AB=AC∴∠B=∠C，∵，∴∠DAC=90，∴∠ADC+∠C=3∠C=90，∴∠C=30.故答案為30或60.【分析】分兩種情況考慮，∠BAC為銳角時(shí)，由AB=BD得∠D=∠DAB，由AB=AC得∠ABC=∠C，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可推出∠C=2∠D，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得∠C=60；同理，∠BAC為鈍角時(shí)，可推出∠ADC=2∠C，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得∠C=30.6．等腰三角形的一腰上的高與另一腰所在直線的夾角為40°，則這個(gè)三角形的底角為．【答案】65°或25°【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】當(dāng)這個(gè)三角形是銳角三角形時(shí)：高與另一腰的夾角為40，則頂角是50°，因而底角是65°；當(dāng)這個(gè)三角形是鈍角三角形時(shí)：高與另一腰的夾角為40°，則頂角的外角是50°，則底角是25°．因此這個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角的度數(shù)為25°或65°．故答案為：65°或25°【分析】此題由于沒(méi)有告訴等腰三角形的鈍角三角形，還是銳角三角形，故需要分類(lèi)討輪：①當(dāng)這個(gè)三角形是銳角三角形時(shí)，三角形的高都在形內(nèi)，②當(dāng)這個(gè)三角形是鈍角三角形時(shí)，腰上的高都在形外，從而分別畫(huà)出示意圖，根據(jù)三角形的內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)即可算出答案。7．如圖，在中，，以為邊，作，滿足，E為上一點(diǎn)，連接，，連接.下列結(jié)論中正確的是（填序號(hào)）①；②；③若，則；④.【答案】②③④【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：如圖，延長(zhǎng)EB至E'，使BE=BE'，連接；∵∠ABC=90°，∴AB垂直平分EE＇，∴AE=AE'，∴∠1=∠2，∠3=∠5，∵∠1=，∴∠E'AE=2∠1=∠CAD，∴∠E'AC=∠EAD，又∵AD=AC，∴，∴∠5=∠4，∠ADE=∠ACB（即②正確），∴∠3=∠4；當(dāng)∠6=∠1時(shí)，∠4+∠6=∠3+∠1=90°，此時(shí)，∠AME=180°－（∠4+∠6）=90°，當(dāng)∠6≠∠1時(shí)，∠4+∠6≠∠3+∠1，∠4+∠6≠90°，此時(shí)，∠AME≠90°，∴①不正確；若CD∥AB，則∠7=∠BAC，∵AD=AC，∴∠7=∠ADC，∵∠CAD+∠7+∠ADC=180°，∴，∴∠1+∠7=90°，∴∠2+∠7=90°，∴∠2+∠BAC=90°，即∠E'AC=90°，由，∴∠EAD=∠CAE'=90°，E'C=DE，∴AE⊥AD（即③正確），DE=E'B+BE+CE=2BE+CE（即④正確）.故答案為：②③④.【分析】延長(zhǎng)EB至E′，使BE=BE′，連接AE′，由垂直平分線的性質(zhì)可得AE=AE′，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠1=∠2，∠3=∠5，結(jié)合已知條件得∠E′AE=2∠1=∠CAD，推出∠E′AC=∠EAD，證△DAE≌△CAE，據(jù)此判斷②；當(dāng)∠6=∠1時(shí)，∠4+∠6=∠3+∠1=90°，利用內(nèi)角和求出∠AME的度數(shù)；當(dāng)∠6≠∠1時(shí)，∠4+∠6≠∠3+∠1，∠4+∠6≠90°，此時(shí)∠AME≠90°，據(jù)此判斷①；若CD∥AB，由平行線的性質(zhì)可得∠7=∠BAC，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠7=∠ADC，在△ACD中，應(yīng)用內(nèi)角和定理可得∠1+∠7=90°，推出∠E′AC=90°，由全等三角形的性質(zhì)可得∠EAD=∠CAE′=90°，E′C=DE，據(jù)此判斷③④.三、解答題：8．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分線交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，連接DE，DF⊥BC于F，求∠EDC的度數(shù)．【答案】解：過(guò)D作DM⊥AC交CA的延長(zhǎng)線于M，DN⊥AE，∵CD平分∠ACB，∴DF=DM，∵∠BAC=120°，