二級(jí)道奧數(shù)題

二級(jí)道奧數(shù)題題目一(x+y)^2-4x^2=(x-y)^2需要滿足以下兩個(gè)條件:x和y都是正整數(shù)x>y求所有滿足條件的x和y。解答一將式子進(jìn)行化簡(jiǎn):(x+y)^2-4x^2=(x-y)^2x^2+2xy+y^2-4x^2=x^2-2xy+y^24xy=3x^2-y^2（式子1）因?yàn)閤和y都是正整數(shù)，所以式子1中三個(gè)數(shù)的奇偶性都一定相同，且x>y，所以可以考慮將式子1分解成兩個(gè)整數(shù)的乘積，再解方程。令a=x+y,b=x-y，則x=(a+b)/2,y=(a-b)/2。將a和b代入式子1，得:4xy=3x^2-y^22(a^2-b^2)ab=3(a+b)^2(a-b)^2將式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，得:2b^2=5a^2-4ab-2b^27b^2=5a^2-4ab這是一個(gè)二元二次方程，將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式:5a^2-4ab-7b^2=0解此方程，得:a=7x-4yb=5y-3x因?yàn)閤和y都是正整數(shù)，所以a和b也是正整數(shù)。因此，要求a和b都是正整數(shù)，我們可以選擇一組正整數(shù)m和n，使得a=7m+5n,b=4m+3n，然后解出x和y就可以了。將a和b代入x=(a+b)/2,y=(a-b)/2，得:x=5m+4ny=3m+2n因此，滿足條件的x和y可以表示為:x=5m+4n,y=3m+2n其中，m和n是正整數(shù)，且m>n。題目二求正整數(shù)n，滿足以下兩個(gè)條件:n的十進(jìn)制表示中沒有0和1，且n是90的倍數(shù)。將n的十進(jìn)制表示中的各位數(shù)字反轉(zhuǎn)后得到的數(shù)可能是n的9倍。解答二根據(jù)題目的條件，可以得到以下幾個(gè)結(jié)論:n的個(gè)位數(shù)字必須是0或9。n的十進(jìn)制表示中不能包含數(shù)字0和1。將n的十進(jìn)制表示中的各位數(shù)字反轉(zhuǎn)后得到的數(shù)可能是n的9倍，等價(jià)于將n的各位數(shù)字反轉(zhuǎn)后得到的數(shù)乘以9的余數(shù)為0。由于n是90的倍數(shù)，所以n的個(gè)位數(shù)字必須是0。根據(jù)第一點(diǎn)和第四點(diǎn)，可以得到n的個(gè)位數(shù)字為0?，F(xiàn)在假設(shè)n的各位數(shù)字為d1,d2,…,dk，其中k是n的位數(shù)，且d1不為0。則根據(jù)第二點(diǎn)，d1,d2,…,dk中不能包含數(shù)字0和1?，F(xiàn)在考慮將n的各位數(shù)字反轉(zhuǎn)后得到的數(shù)可能是n的9倍，等價(jià)于將n的各位數(shù)字反轉(zhuǎn)后得到的數(shù)乘以9的余數(shù)為0。設(shè)m=dk*10^(k-1)+…+d2*10+d1，即n的各位數(shù)字反轉(zhuǎn)后得到的數(shù)，r=(9m)mod10，即將m乘以9的個(gè)位數(shù)。如果r=0，則滿足題目條件。否則，令t=(10-r)mod10，n的個(gè)位數(shù)字必須是t或t+9。根據(jù)上述結(jié)論，我們可以得到以下算法:枚舉n的位數(shù)k，從小到大進(jìn)行枚舉。枚舉n的各位數(shù)字，注意不能選擇數(shù)字