內(nèi)積空間與希爾伯特空間講稿

第五章內(nèi)積空間與希爾伯特空間內(nèi)積空間與希爾伯特空間內(nèi)積空間+完備性希爾伯特空間歐氏空間線性空間+內(nèi)積內(nèi)積空間元素的長度（范數(shù)）兩向量夾角與正交內(nèi)積空間特點(diǎn)：1內(nèi)積與內(nèi)積空間一、內(nèi)積空間與希爾伯特空間的概念定義1

設(shè)H是數(shù)域K上的線性空間，定義函數(shù)<·,·>:HHK,使得：對(duì)x,y,zH,K,滿足則稱<x,y>為數(shù)域K中x與y的內(nèi)積,而稱定義了內(nèi)積的空間H為內(nèi)積空間。注：1)

當(dāng)數(shù)域K為實(shí)數(shù)域時(shí)，稱H為實(shí)的內(nèi)積空間；當(dāng)數(shù)域K為復(fù)數(shù)域C時(shí)，則稱H為復(fù)的內(nèi)積空間。2由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)及由內(nèi)積誘導(dǎo)的距離定義2(1)范數(shù)稱為由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)。(2)距離函數(shù)稱為由內(nèi)積誘導(dǎo)的距離。(2)

內(nèi)積與由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)的等式關(guān)系：(3)由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)滿足范數(shù)公理內(nèi)積空間按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù),是線性賦范空間。但反之不然注:(1)

內(nèi)積與由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)的三角不等式關(guān)系——許瓦茲不等式3線擇性璃賦會(huì)范償空快間逮成像為仙內(nèi)淚積逐空紫間么（醋范歐數(shù)屬是沫由咳內(nèi)彼積凍導(dǎo)變出驅(qū)的糖范技數(shù)宗）項(xiàng)的詞充旨分怨必社要踐條醒件定體理1線昌性律賦枝范悠空象間X是稼內(nèi)捆積長空述間x武,墳y虹蛛X,有|扛|x坑+行y|法|2+驚|稿|x-y|皂|2=射2號(hào)|制|x|集|2+鋒2焦|豎|y|狡|2(平梅行家四博邊界形這公潤式蒜或閘中疾線芝公烈式)定脫義3設(shè)H是或內(nèi)撥積楊空抵間厲，哀若H按苗照常由帆內(nèi)認(rèn)積陽誘謠導(dǎo)禿的咬范鈔數(shù)各成感為B葡a嗓n涼a福c威h空贈(zèng)間獲，魚則器稱H是斑希趴爾哭伯謝特谷空淚間揚(yáng)。4希殿爾饞伯紫特延空尖間例1

n維歐氏空間Rn按照內(nèi)積是內(nèi)積空間。Rn中蒙由減內(nèi)譯積財(cái)導(dǎo)膊出委的晌距圓離夜為Rn按餡照愿由魔內(nèi)喚積塞導(dǎo)諷出汁的嫌范團(tuán)數(shù)因朵而溫是H踐i涼l查b篇e希r錢t空日間兩。是B織a棕n淋a市c莊h空拾間徒，l2按與照淹由嬌內(nèi)愿積逆導(dǎo)立出頂?shù)呐浞逗鏀?shù)是B帝a資n雅a懂c斜h空葉間宋，判因企而宜是H解i踩l疲b播e浴r徐t空徐間咬。l2中豆由守內(nèi)穿積答導(dǎo)董出逝的間距朽離晌為例2

l2空間按照內(nèi)積是內(nèi)積空間。(許瓦茲不等式)例3L2[a,b]空間按照內(nèi)積是內(nèi)積空間。L2[a脹,訓(xùn)b]按垂照級(jí)由掏內(nèi)追積亡導(dǎo)獸出提的奏范耕數(shù)是B彩a神n特a被c專h空毀間勵(lì)，暗因愁而雹是H霧i絕l柿b券e餡r助t空刺間夢(mèng)。L2[a興,鴿b]中腥由暈內(nèi)任積汗導(dǎo)觸出已的撐距庫離鋼為C[a來,趟b]中頃范球數(shù)呼不歸滿故足服平庭行量四恒邊潤形紛公謹(jǐn)式攻，例4

C[a,b]按照范數(shù)是線性賦范空間，但C[a弦,嗓b]不預(yù)是薯內(nèi)未積暖空謙間.證赴取x=1,y=責(zé)(t跑-鄭a)望/床(b哀-勝a)C[a赴,千b]|禾|x|花|船=1,宵|購|y|今|萍=1|急|x偷+卸y|鵝|趁=m劣a晝x|1+辦(t既-匠a)男/俯(b奸-判a)血|傅=2,增|鴉|x深-就y|謠|如=m形a索x|1-左(t相-玩a)惕/籃(b碰-索a)治|簽=1|窩|x突+抖y|藥|2+競|脈|x葛-盡y|猜|2=她5借麗4擾=漠2崇(釋|盾|x|零|2+瞇|料|y|最|2)救因恰而宿不芒是毒由壟內(nèi)岔積戶導(dǎo)群出洞的妄范猜數(shù)C[a休,點(diǎn)b]不燥是仇內(nèi)琴積薯空鼻間5內(nèi)燙積蓋空發(fā)間靠中漂的嘆極孟限證xnx偉|冬|xn-方x|虎|宿0yny帖|黎|yn-救y|據(jù)|鎮(zhèn)0|坊<xn,射yn>-<x珠,圓y>折媽|袍<xn,監(jiān)yn>-<x撓,平y(tǒng)n>桌|茅+衣|誓<x鞋,備yn>-<x歐,心y>鉛||趴|xn-蘇x|神|格|碑|yn|給|秧+晚|茂|x|宇||檔|yn-箏y|冠|阿0<xn,姨yn>淺<x掀,郵y>(n帥事)定豪義4（逮極廁限先）姐設(shè)X是何內(nèi)咸積睜空袍間魄，{xn}副X,xX及yX,定肢理2設(shè)H是角希魯爾村伯職特昏空患間傾，染則H中膨的桿內(nèi)劇積<x坑,柳y>是x昏,禁y的華連率續(xù)依函阻數(shù),即申{xn}、{yn}蠶H,x娃,旺yH,若xnx,yny,則<xn,眨yn>魚綢<x最,繪y>保.注：緩距挎離草函敞數(shù)沃、百范蠻數(shù)廣、輩內(nèi)能積缺都佳是猴連報(bào)續(xù)煙函鋒數(shù)（液線訊性專運(yùn)荷算博對(duì)拖內(nèi)夕積雙的槳連乒續(xù)暑性品）6內(nèi)聰積架空點(diǎn)間豬的剪完武備殲化定畢義5(內(nèi)肥積貼空小間萄的琴同殃構(gòu))設(shè)X免,割Y是夠同規(guī)一僑數(shù)脈域K上議的再內(nèi)錄積坐空垮間灶，瞎若宵存俯在摸映博射T昏:眾XY,保淹持宵線袖性證運(yùn)流算段和釘內(nèi)億積軌不捷變,即x元,枯yX,棋,K,有(闖1揭)T(孟x遵+衣啄y)獨(dú)=段T濁x豆+迷匠T會(huì)y,末(質(zhì)2料)體<T洞x段,雕T才y>廈=盯<x鄙,斗y>則婆稱齒內(nèi)拜積恥空慣間X與Y同攻構(gòu),而胡稱T為資內(nèi)殲積帶空蜂間X到Y(jié)的惑同頃構(gòu)好映萌射從。定材理3設(shè)X是裁內(nèi)榆積啄空億間貝，咸則熱必相存艘在盆一貢個(gè)H通i冤l膜b祝e雪r星t空堪間H，糟使X與H的拼稠杠密勁子達(dá)空咬間崇同央構(gòu)頁，鑒而徐且朽在原同絨構(gòu)百意柿義湖下?lián)?，支滿妨足妄上腳述釘條輕件飄的H話i威l尋b綠e具r增t空議間劃是錢唯桿一勞的滿。二側(cè)、西內(nèi)阿積歉空庫間米中暖的槐正誤交匯分急解肌與唯投戴影季定工理在莖解雄析懼幾核何先中第，怕有蘇向犧量篇正窯交辜和畝向搞量昂投岡影弟的鞏概比念端，懸而本且齡兩答個(gè)饑向撕量概正吼交巖的桶充貞分步必謙要謝條麗件芬是妻它紹們請(qǐng)的洪內(nèi)濕積演等江于0，石而條向傻量x在消空井間違中鏡坐宋標(biāo)哈平醫(yī)面搏上收的霧正倒交煙投臘影療向謹(jǐn)量x0是做將屈向億量身的圈起黨點(diǎn)串移埋到超坐缸標(biāo)脅原嗚點(diǎn)鴿，臨過請(qǐng)向采量彩的慮終靈點(diǎn)咬做左平隊(duì)面況的親垂凝線懼所考得風(fēng)的穴垂撿足勵(lì)與拾原翠點(diǎn)核之裂間紀(jì)的乎有串向扁線改段師而鏡得番到以的佳。預(yù)且送有x限=使x0+糖x1,其樣中x1該襲坐味標(biāo)鬧平諸面小。億這攤時(shí)求稱x順=什x0+引x1為x關(guān)塔于姻做燭表合面根的筑正棉交憂分泊解庫。下蹄面氏將紛把堂正斷交壘分銅解江和休正頌交膜投英影批的槳概籠念爸與邀推肉廣釣到朱一籌般止的梳內(nèi)缸積番空欺間冰中封。負(fù)其赤中算的氏投宅影租定紹理杠是宇一扶個(gè)偷理貓論可和跪應(yīng)葵用震上弊都烏極撥其踩重單要冊(cè)的蹄定勉理單，拼利雄用察投腎影御定置理艘可乳以凍將義內(nèi)寨積盛空鑼間當(dāng)分鴨解觀成鈔兩導(dǎo)個(gè)提字駛空漿間只的個(gè)正別交剪和盞。裁這帶是均內(nèi)牛積帥看呈所詢特料有清的御性牲質(zhì)遣，知這苦個(gè)謀定軟理賞在樓一割般亂的仆巴障拿腳赫逮空蔽間滔中麥并旦不塔成凱立棒（菜因氧為禿巴必拿哀赫行空旱間端中雪沒閑有辰正鬧交葛性崖的鐵概就念政）難。溝在憂實(shí)蟲際波應(yīng)缸用逆中酬，銜投磚影執(zhí)定沖理內(nèi)還棗常嗓被金用什來景判肚定奴最志佳堅(jiān)逼關(guān)近嬌的鼻存此在薄性賭和胞唯撞一兇性純。x0x1x1正飽交設(shè)的身概車念定漆義5(正韻交)設(shè)H是植內(nèi)蹲積敞空厚間,x壓,款yH灑,M賢,燥NH.(玩1倆)xy僚<x鍛,鞠y>=尊0;(沉2足)xM杠yM捆,都窄有<x發(fā),供y>貪=0;(扇3營)MN裂x葬夸M，y躺校N,都脊有<x延,繡y>引=校0.定濱理4(勾逝股故定培理)設(shè)H是豈內(nèi)琴積垂空晃間,若x悠,余y柴H菌,且xy火,則|帽|x互+袋y|擁|2=欲|污|x|才|2+社|微|y|暖|2注:1）在巨一班般揪的哀內(nèi)厘積會(huì)空衡間幟中先，冒若xy，則底有勾眼股奶定戀理|孔|x秧+哀y|穴|2=叛|挎|x|蝦|2+紙|稱|y|畏|2成選立申，者但粒反過之黨不啟然苦。事傻實(shí)章上誓，|古|x急+慕y(tǒng)|攤|2=規(guī)|夸|x|畏|2+藥|畢|y|本|2+姓2R軟e(x慢,圾y)2版）在文實(shí)顧內(nèi)夠積洋空改間桂中鄰，xy|周|x討+災(zāi)y|厚|2=均|期|x|志|2+斯|拍|y|嫁|2，即勾群股案定危理成交立定凝義6(正透交匯補(bǔ))設(shè)H是性內(nèi)紹積構(gòu)空串間,MH,稱琴集憶合M=磚{x|xy,蜓yM}為M在H中辨的貝正恐交畏補(bǔ)跡。注：粥正比交糠補(bǔ)竿的把性斃質(zhì)誘：是H的暢閉頌線鋼性萬子悲空雅間塞，威即H的完路備頃子牙空臘間.事襪實(shí)王上夠，x遞,毅yM及霸zM,有<x謝,化z>璃=0,晌<y余,擇z>羊=秋0<窗x種+佛郵y弦,吸z>決=<x攝,來z>恰+<x酒,切z>銀=0<輸x借+秀聰y焦,尋z>握MM為H線給性努子伍空械間{xn}L,xnx,zM<x鵝,稼z>譯=l季i證m<xn,私z>抱=0xMM為H的憑閉走子歲空狂間定疏義1扇0(正翼交偏分玻解勻與機(jī)正去交技投念影)設(shè)H是怖內(nèi)調(diào)積共空念間嫁，MH是舉線豎性啊子夜空圣間然，xH,如煩果脖存乘在x0培M衣,則x1洗M,使鉛得x察=鄭x0+真x1（槳1盞）則墓稱x0為x在M上膽的亦正美交得投咸影叼，幟而恰稱(1)式古為x關(guān)英于M的正批交浮分坡解。2正腰交狼分充解望與穴正槐交哪投易影定堡理1圍4(投棍影劍定寄理)設(shè)M是鍛希損爾發(fā)伯宰特肝空吩間H的吐閉哪線明性派子件空聰間,則志對(duì)xH在M中咬存鋪在咽唯愛一周的獎(jiǎng)?wù)苯磺⑼堆碛皒0,使績得x=x0+x1(其膠中x1M)漠.嫌新{yn}攪M,使株得|丑|yn-揪x|蘆|浮d(n察暑)(下樸確檔界秩定框義)證

xH,令x到M的距離M是H的敏線朗性嫂子蔥空萬間欄ym,調(diào)ynM,有0|蟲|ym-碎yn|槽|2=貴|潤|墻(ym-梨x)蚊+為(x講-胃yn)半|零|2=和|領(lǐng)|咱(ym-做x)口+僵(x歐-渠yn)沈|壘|2+賣|卸|勁(ym-嗓x)蛛-鄉(xiāng)豐(x親-丸yn)像|塔|2-雞|它|搜(ym-通x)擊-造(x菊-余yn)反|搬|2=單2捧|愧|ym-浩x|罰|2+速2撇|鼓|x刃-孝yn|犬|2-氣|扮|拋(ym+yn)秤-上2x|落|2(平促行懼四灣邊盞形義公枯式)袍2烤|躁|ym-核x|確|2+菠2積|炕|x鍬-炕yn|藝|2-只4d2附0攏(m磁,礎(chǔ)n息丹)2銀)證裂明{xn}在M中舌收客斂1尊)證茄明{yn}是偉基反本萍列M是H窯i曠l倒b污e矩r改t空等間士的鋤閉采線插性崗子吉空喇間M是擋完騾備霞的慨x0M,使ynx0,|震|yn-略x|禾|鹿壺|劃|x0-x|尺|(n慣斯){xn}是驚基漫本嗚列3柳)證吃明x0是x在M中撐的哈正負(fù)交誕投雙影記x1=x林-莖x0,需zM,z婦渣,營享漆Cx0+周zM特壞取4碼)證舍明x0是泳唯秧一棵的容，避從云而鴉上紡述年正狐交賠分乖解哨式嘉也醒是債唯私一叮的設(shè)是x在M上的兩個(gè)正交投影，則注：1譯)由閘定伍理上的掀證老明繁過慢程早易姜知,只基要M是H的覺完屠備赴子銅空羨間,而H本特身盞不疏完補(bǔ)備,定蓮理尿結(jié)卸論獲也織成裕立.從貌而穗上蛛述柜正打交佳分快解題式鬧也妙唯冊(cè)一.2敬)設(shè){en}是處內(nèi)礎(chǔ)積吧空片間H的警標(biāo)壁準(zhǔn)忘正奔交栽系,xH,釘{ck}熟=材{熟<x待,刮ek>型}捆,則即犧對(duì)色任謊何懲數(shù)發(fā)組1,2,罪…坦,娛n,有是x在恒內(nèi)嘗積皆空至間H上診的量正蝦交銷投河影2正桐交回投僚影雙的鞠應(yīng)惱用—掌—最招佳蔥逼辣近磚問糟題(陣1沉)最鴿佳睬逼最近伍問枝題倘的庸一巡壽般喚提渣法:設(shè)H是H咳i爐l晴b班e響r銳t空賞間,x平,排x1,管x2,鏈…虹,豈xnH,要叨求累尋賣找古出n個(gè)或數(shù)1,2,糕…胸,威n,使俱得即要求出使得||x-x0||最小。(貸2親)最薯佳框逼胃近臭問鋪題軋的稠幾貢何沫解督釋煌：記M=提s逗p網(wǎng)a岔n母{x1,x2,抗…廢,xn}王H,則表示x到M上某點(diǎn)的距離表示x到M的最短距離表示x在M上的正交投影最乘佳疼逼吊近制問護(hù)題戴實(shí)侍際天上皂就種是倚求玩正您交攻投敗影抓的葡問幼題(嗎2科)最蓮佳乖逼添近綠問造題如的茶求疤解透步堤驟陶：設(shè){xn}滲M線炒性喪無勁關(guān)牙，劈燕記M=捎s朱p掉a丸n跑{x1,x2,錘…箏,xn}恐H唯一的x0:使據(jù)得|鵲|x牙-巷x0|樂|音=i報(bào)n的f|聰|x兇-嘉y|綠|鴨,且畜對(duì)碌yM,有<x粒-鹿x0,y>悔=鞏0<x嘗-健x0,xk>纏=0(xk新M,k周=1棚,學(xué)2,?！?葛n)<x0,xk>毅=看<x紫,沿xk>刃(xk搬M,k和=1世,贈(zèng)2,明…辦,突n)M是H的輸閉灶線時(shí)性章子拐空喚間三款、壓內(nèi)邁積塘空藏間萍中裕的脅正每交侄系各與槽傅鞋立肉葉棉級(jí)堆數(shù)1正凈交容系敞的梁概拒念在逢解晉析難幾討何讓中階，紹向?qū)毩縤蜓,候j物,肅k起仿著企坐染標(biāo)里架惡的迅作拴用,他授們代兩來兩火正府交,R3中唐一苗切進(jìn)向芹量x都妖能楊由銜他總們倦線莫性卷表俊示饞：x駐=把x1i邊+蛇x2j金+廉x3k。腳這越是嗓解鹽析自幾閱何隔的來基擾礎(chǔ)蠅。R3中金的季向黑量引正突交權(quán)概頃念罵尸一面般首內(nèi)梁積票空囑間譽(yù)中烤的尖向辦量激正庭交知概錄念定荒義7(正潔交莊集己與呀標(biāo)嚇準(zhǔn)工正膊交懶系)設(shè)H是非內(nèi)笛積純空甜間,MH,繼(追1鑰)如液果墊對(duì)x肌,雜y諷M煎,陵x奶嚷y,都召有<x倡,騰y>皂=0，則延稱M是H中貞的遼正鞭交屋系衣。(藏2祥)設(shè){en}H,若則醫(yī)稱{en}是H中筍的潛標(biāo)賣準(zhǔn)叫正獎(jiǎng)交需系江。2正火交哈的蒸性廚質(zhì)例悄如(1字)i貸,唱j祝,武k是R3中是的倘標(biāo)散準(zhǔn)賽正旨交殊系吊。是L2[慣-,]中嶺的捉標(biāo)議準(zhǔn)錄正爸交乖系柴。(籃3猴)e1=清(1匯,清0朗,吊…黃,談0廣,勸0厭,較0,…)汽,e2=沫(0遷,辣1沫,握…剛,濟(jì)0判,稼0時(shí),酒0,…)哄,…皺,en=適(0怖,盈0毅,生…句,歲0花,飛1濃,各0,…)定磚理4(勾朗股廳定鄰理的槳推譽(yù)廣)設(shè)H是問內(nèi)杜積琴空要間刪，焦若{x1,x2,林.滾.抽,xn}H是鐮正暮交蹈系，框則|擾|x1+x2+易…貓+xn|索|2=卸|麻|x1|怠|2+德|者|x2|閃|2+?！瓘潀禮|xn|騎|2(宇2沸)是l2中仔的菠標(biāo)漢準(zhǔn)緊正安交茫系潛。定箭理7設(shè)H是貝內(nèi)筋積聰空賣間群，乓若M=多{e1,e2,絮.排.競,參en,?！瓆H是尸標(biāo)夕準(zhǔn)增正椒交混系,則{e1,e2,沸…查,en,不…夠}是贈(zèng)線務(wù)性澇獨(dú)搏立巴系智，去即{e1,e2,鞏.撕.佳,en,主…}中言的暫任恢何喚有泳限廊組千是彼線瘡性家無寒關(guān)餐的溝。證n,令1e1+總…矩+去nen=0<腐1e1+燥…遷+結(jié)nen,孟ej>叔=0畢j<桶ej,針ej>啄=恰j=0e1,繼…冷,研en線艇性湯無提關(guān)膏{e1,文…疏,競en,…}是濃線兼性核獨(dú)狠立擺系夾。定縱理8(G稀r乒a漫m道-尚S蘭c陣h栗m頌i點(diǎn)d傍t正稠交震化創(chuàng)定隆理)設(shè)H是瓦內(nèi)妹積糠空啟間,{x1,x2,巡壽.燈.撞,xn,波…發(fā)}H是H中儉任庫一裙個(gè)泡線蔬性掌獨(dú)左立勞系,則勢(shì)可器將架其食進(jìn)趙行獻(xiàn)標(biāo)筐準(zhǔn)淋正刊交照化顛，暗得后到誘一輪個(gè)觸標(biāo)糾準(zhǔn)延正妄交晉系木。定扁理8設(shè)H是鉤內(nèi)勵(lì)積階空銀間攝，{e1,e2,俗.截.敢,en,朱…肆}H是調(diào)標(biāo)爐準(zhǔn)匯正重交找系沾，記Mn=桐s憲p和a某n饑{e1,特…堤,en}茅.即表為x在Mn上邁的公正身交錦投柳影漲。(2)

若則（刮最回佳耕逼因近積定件理助）(3)(1)

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