湖南省衡陽市衡東縣草市鎮(zhèn)坪中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

湖南省衡陽市衡東縣草市鎮(zhèn)坪中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知為等比數(shù)列，，，則（

）

A.7

B.5

C.-5

D.-7參考答案：D因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以.又，所以或.若，解得，此時(shí)；若，解得，仍有.綜上,.選D.2.某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名.為了解男女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是A．抽簽法

B．隨機(jī)數(shù)法

C．系統(tǒng)抽樣法

D．分層抽樣法參考答案：D3.已知，，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】由函數(shù)的解析式確定函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)比較的大小即可.【詳解】由函數(shù)的解析式可知函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，由于,故.即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，實(shí)數(shù)比較大小的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.4.已知曲線向左平移個(gè)單位，得到的曲線經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．函數(shù)的最小正周期 B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．曲線關(guān)于直線對稱 D．曲線關(guān)于點(diǎn)對稱參考答案：D解法1：由題意，得，且，即，所以，即，故，故的最小正周期，故選項(xiàng)A錯(cuò)；因?yàn)榈膯握{(diào)遞減區(qū)間為，故選項(xiàng)B錯(cuò)；曲線的對稱軸方程為，故選項(xiàng)C錯(cuò)；因?yàn)椋赃x項(xiàng)D正確，故選D．解法2：由于曲線向左平移個(gè)單位，得到的曲線特征保持不變，周期，故的最小正周期，故選項(xiàng)A錯(cuò)；由其圖象特征，易知的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選項(xiàng)B錯(cuò)；曲線的對稱軸方程為，故選項(xiàng)C錯(cuò)；因?yàn)?，所以選項(xiàng)D正確，故選D．5.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)

（

）

A．－1－i

B．－1+i

C．1+i

D．1－i參考答案：B6.若數(shù)列{an}滿足，，則的值為（

）A．2

B．-3

C． D．參考答案：B，，所以故數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列，故故選B.7.已知等差數(shù)，若，則的前7項(xiàng)的和是（

）A．112

B．51

C．28

D．18參考答案：C8.如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：A9.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值為（

）A． B． C． D．參考答案：B10.在正方體中，分別為棱和之中點(diǎn)，則的值為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為，則，，，故選D.考點(diǎn)：1、空間向量的應(yīng)用；2、空間向量夾角余弦公式.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，滿足||=2||≠0，且函數(shù)在f（x）=在R上有極值，則向量，的夾角的取值范圍是．參考答案：（，π）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由已知條件得f′（x）=x2+||x+?=0成立，△=||2﹣4?＞0，由此能求出與的夾角的取值范圍．【解答】解：∵關(guān)于x的函數(shù)f（x）=x3+||x2+?x在R上有極值，∴f′（x）=x2+||x+?=0成立，方程有根，△=||2﹣4?＞0，∴||2﹣4||?||cosθ＞0，由||=2||≠0，得cosθ，∴＜θ＜π故答案為：（，π）．12.設(shè)，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

參考答案：13.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離為

．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程．N3

解析：點(diǎn)P化為直角坐標(biāo)P（0，1）．直線化為2x﹣y+2=0．∴點(diǎn)P到直線的距離d==．故答案為：．【思路點(diǎn)撥】點(diǎn)P化為直角坐標(biāo)P（0，1）．直線化為2x﹣y+2=0．再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．14.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為___________.參考答案：108+3略15.在△OAC中，B為AC的中點(diǎn)，若，則x-y=

。參考答案：16.已知下列命題：1

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.2

要得到函數(shù)的圖象，需把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度.3

已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為．4

在[0,1]上至少出現(xiàn)了100次最小值，則.其中正確命題的序號是_

參考答案：②③④17.下列四個(gè)命題：①；

②；③；④．其中，真命題的序號是

．參考答案：④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線方程為.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；（Ⅲ）令，若的圖象與軸交于（其中），的中點(diǎn)為，求證：在處的導(dǎo)數(shù)參考答案：（Ⅰ）且解得……………3分（Ⅱ），令則令，得舍去).當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；………………5分于是方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根的充要條件是：.即…………………9分（Ⅲ）由題意假設(shè)結(jié)論成立，則有：…………11分①-②，得由④得即，即⑤………………13分令則在（0，1）增函數(shù)，⑤式不成立，與假設(shè)矛盾.…………………14分19.（2017?郴州三模）如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，記平面AEF與平面ABC的交線為直線l．（Ⅰ）求證：直線l⊥平面PAC；（Ⅱ）直線l上是否存在點(diǎn)Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用三角形中位線定理推導(dǎo)出BC∥面EFA，從而得到BC∥l，再由已知條件推導(dǎo)出BC⊥面PAC，由此證明l⊥面PAC．（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，過C垂直于面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出直線l上存在點(diǎn)Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余，|AQ|=1．【解答】（Ⅰ）證明：∵E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，∴BC∥EF，又EF?平面EFA，BC不包含于平面EFA，∴BC∥面EFA，又BC?面ABC，面EFA∩面ABC=l，∴BC∥l，又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC，面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC，∴l(xiāng)⊥面PAC．（2）解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，過C垂直于面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A（2，0，0），B（0，4，0），P（1，0，），E（），F(xiàn)（），，，設(shè)Q（2，y，0），面AEF的法向量為，則，取z=，得，，|cos＜＞|==，|cos＜＞|==，依題意，得|cos＜＞|=|cos＜＞|，∴y=±1．∴直線l上存在點(diǎn)Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余，|AQ|=1．【點(diǎn)評】本題考查直線與平面垂直的證明，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．20.如圖，在等腰梯形中，，上底，下底，點(diǎn)為下底的中點(diǎn)，現(xiàn)將該梯形中的三角形沿線段折起，形成四棱錐.（1）在四棱錐中，求證：；（2）若平面與平面所成二面角的平面角為，求直線與平面所成角的正弦值.參考答案：（Ⅰ）見解析（Ⅱ）．試題分析：（1）由，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，得三角形沿線段折起后可得四邊形為菱形，邊長為，，取的中點(diǎn)，連接，，，可證，，即可證平面，從而平面，即可得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）可證為平面與平面所成二面角的平面角，從而求出，，，，再求出平面的一個(gè)法向量，即可求出直線與平面所成角的正弦值.試題解析：（1）證明：由三角形沿線段折起前，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，得三角形沿線段折起后，四邊形為菱形，邊長為，，如圖，取的中點(diǎn)，連接，，，∵由題得和均為正三角形，∴，，又∴平面，∵∥∴平面，∵平面，∴．（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，由平面，有軸在平面內(nèi)，在（1）中，∵，，∴為平面與平面所成二面角的平面角，∴，而，∴且，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的豎坐標(biāo)為，則，，，，故，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，∴得令，得，，∴平面的一個(gè)法向量為，∴，∵直線與平面所成角為銳角或直角，∴直線與平面所成角的正弦值為．點(diǎn)睛：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用之線面角的求法.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和.

（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案：22.（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓E：（a>0，b>0）經(jīng)過點(diǎn)A（，），且點(diǎn)F（0，－1）為其一個(gè)焦點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓E與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A1，A2，不在y軸上的動(dòng)點(diǎn)P在直線y＝b2上運(yùn)動(dòng)，直線PA1，PA2分別與橢圓E交于點(diǎn)M，N，證明：直線MN通過一個(gè)定點(diǎn)，且△F