高一年級下冊數(shù)學向量的數(shù)乘運算的應用人教A版

高一年級數(shù)學向量的數(shù)乘運算的應用它的長度與方向規(guī)定如下：一般地，我們規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，(1)|

λa

|

＝

|

λ

||

a

|；(2)當

λ>0時，λa

與

a的方向相同；當

λ<0時，λa與

a的方向相反.記作λa

，這種運算叫做向量的數(shù)乘，特別地，當

λ

＝

0

時，λa

＝

0.復習引入探究1若b

＝

λa，那么b與a有怎樣的位置關系？探究1若b

＝

λa，那么b與a有怎樣的位置關系？當

λ>0時，λa

與

a的方向相同；探究1若b

＝

λa，那么b與a有怎樣的位置關系？當

λ>0時，λa

與

a的方向相同；當

λ<0時，λa與

a的方向相反；探究1若b

＝

λa，那么b與a有怎樣的位置關系？當

λ>0時，λa

與

a的方向相同；當

λ<0時，λa與

a的方向相反；當

λ

＝

0

時，λa

＝

0.探究1若b

＝

λa，那么b與a有怎樣的位置關系？當

λ>0時，λa

與

a的方向相同；當

λ<0時，λa與

a的方向相反；當

λ

＝

0

時，λa

＝

0.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.規(guī)定零向量與任意向量平行.平行向量也叫共線向量.若b

＝

λa，那么b與a有怎樣的位置關系？當

λ>0時，λa

與

a的方向相同；當

λ<0時，λa與

a的方向相反；當

λ

＝

0

時，λa

＝

0.結(jié)論：

b=λab//a.探究1若b

＝

λa，那么b與a有怎樣的位置關系？當

λ>0時，λa

與

a的方向相同；當

λ<0時，λa與

a的方向相反；當

λ

＝

0

時，λa

＝

0.結(jié)論：

b=λab//a.aλa探究1若b//a，是否存在實數(shù)λ，使得b=λa？探究2若b//a，是否存在實數(shù)λ，使得b=λa？探究2(1)當a≠0，b≠0時，若b//a，是否存在實數(shù)λ，使得b=λa？探究2(1)當a≠0，b≠0時，若|

b|

＝

μ|

a

|，若b//a，是否存在實數(shù)λ，使得b=λa？探究2(1)當a≠0，b≠0時，若|

b|

＝

μ|

a

|，當a與b同向時，b=μ

a，

若b//a，是否存在實數(shù)λ，使得b=λa？探究2(1)當a≠0，b≠0時，若|

b|

＝

μ|

a

|，當a與b同向時，b=μ

a，

當a與b反向時，b=-μ

a，

若b//a，是否存在實數(shù)λ，使得b=λa？探究2(1)當a≠0，b≠0時，若|

b|

＝

μ|

a

|，當a與b同向時，b=μ

a，

當a與b反向時，b=-μ

a，

存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.若b//a，是否存在實數(shù)λ，使得b=λa？探究2(1)當a≠0，b≠0時，存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.(2)當a≠0，b=0時，若b//a，是否存在實數(shù)λ，使得b=λa？探究2(1)當a≠0，b≠0時，存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.(2)當a≠0，b=0時，使得0=λa，若b//a，是否存在實數(shù)λ，使得b=λa？探究2(1)當a≠0，b≠0時，存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.(2)當a≠0，b=0時，使得0=λa，取λ=0即可.若b//a，是否存在實數(shù)λ，使得b=λa？探究2(1)當a≠0，b≠0時，存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.(2)當a≠0，b=0時，使得0=λa，取λ=0即可.存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.若b//a，是否存在實數(shù)λ，使得b=λa？探究2(1)當a≠0，b≠0時，存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.(2)當a≠0，b=0時，存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.(3)當a=0，b≠0時，若b//a，是否存在實數(shù)λ，使得b=λa？探究2(1)當a≠0，b≠0時，存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.(2)當a≠0，b=0時，存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.(3)當a=0，b≠0時，λa=0，若b//a，是否存在實數(shù)λ，使得b=λa？探究2(1)當a≠0，b≠0時，存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.(2)當a≠0，b=0時，存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.(3)當a=0，b≠0時，λa=0，不存在這樣的實數(shù)λ，使得b=λa.若b//a，是否存在實數(shù)λ，使得b=λa？探究2(1)當a≠0，b≠0時，存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.(2)當a≠0，b=0時，存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.(3)當a=0，b≠0時，不存在這樣的實數(shù)λ，使得b=λa.(4)當a=0，b=0時，若b//a，是否存在實數(shù)λ，使得b=λa？探究2(1)當a≠0，b≠0時，存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.(2)當a≠0，b=0時，λa=0存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.(3)當a=0，b≠0時，不存在這樣的實數(shù)λ，使得b=λa.(4)當a=0，b=0時，若b//a，是否存在實數(shù)λ，使得b=λa？探究2(1)當a≠0，b≠0時，存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.(2)當a≠0，b=0時，存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.(3)當a=0，b≠0時，不存在這樣的實數(shù)λ，使得b=λa.(4)當a=0，b=0時，λ取任意實數(shù)，都使得b=λa.若b//a，是否存在實數(shù)λ，使得b=λa？探究2當a≠0時，存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.當a=0，b≠0時，不存在實數(shù)λ，使得b=λa.當a=0，b=0時，λ取任意實數(shù)，都使得b=λa.若b//a，是否存在實數(shù)λ，使得b=λa？探究2當a≠0時，存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.當a=0，b≠0時，不存在實數(shù)λ，使得b=λa.當a=0，b=0時，λ取任意實數(shù)，都使得b=λa.b//a(a≠0)

b//a(a≠0)

存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa存在唯一一個實數(shù)λ，使得(a≠0)

？

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa存在實數(shù)λ，使得

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa存在實數(shù)λ，使得若a=0，

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa存在實數(shù)λ，使得若a=0，則b=λa=0，

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa存在實數(shù)λ，使得若a=0，此時，λ可以取任意實數(shù).則b=λa=0，

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa存在實數(shù)λ，使得若a=0，此時，λ可以取任意實數(shù).則b=λa=0，λ不唯一

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa存在唯一一個實數(shù)λ，使得

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa存在唯一一個實數(shù)λ，使得(a≠0)

b//ab=λab//a(a≠0)

存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa存在唯一一個實數(shù)λ，使得(a≠0)

b//a(a≠0)

存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b=λa.定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b=λa.定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b=λa.定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b=λa.(1)向量a(a≠0)與b共線，則存在實數(shù)λ，使得a=λb；

()判斷：(1)向量a(a≠0)與b共線，則存在實數(shù)λ，使得a=λb；

()判斷：分析：(1)向量a(a≠0)與b共線，則存在實數(shù)λ，使得a=λb；

()判斷：當b=0時，分析：(1)向量a(a≠0)與b共線，則存在實數(shù)λ，使得a=λb；

()判斷：當b=0時，λb=0.分析：(1)向量a(a≠0)與b共線，則存在實數(shù)λ，使得a=λb；

()判斷：當b=0時，λb=0.而a≠0，分析：(1)向量a(a≠0)與b共線，則存在實數(shù)λ，使得a=λb；

()判斷：當b=0時，λb=0.而a≠0，故不存在這樣的實數(shù)λ.分析：(1)向量a(a≠0)與b共線，則存在實數(shù)λ，使得a=λb；

()判斷：當b=0時，λb=0.而a≠0，故不存在這樣的實數(shù)λ.分析：(2)b//a的充要條件是存在不全為零的實數(shù)λ和μ，使得λa=μb；()判斷：(2)b//a的充要條件是存在不全為零的實數(shù)λ和μ，使得λa=μb；

()判斷：證明：先證必要性

(2)b//a的充要條件是存在不全為零的實數(shù)λ和μ，使得λa=μb；判斷：證明：先證必要性

當a=b=0時，(2)b//a的充要條件是存在不全為零的實數(shù)λ和μ，使得λa=μb；判斷：證明：先證必要性

當a=b=0時，取λ=μ=1，此時結(jié)論成立.

(2)b//a的充要條件是存在不全為零的實數(shù)λ和μ，使得λa=μb；判斷：證明：先證必要性

當a=b=0時，取λ=μ=1，此時結(jié)論成立.

當a，b不全為0時，(2)b//a的充要條件是存在不全為零的實數(shù)λ和μ，使得λa=μb；判斷：證明：先證必要性

當a=b=0時，取λ=μ=1，此時結(jié)論成立.

當a，b不全為0時，不妨設a≠0，

(2)b//a的充要條件是存在不全為零的實數(shù)λ和μ，使得λa=μb；判斷：證明：先證必要性

當a=b=0時，取λ=μ=1，此時結(jié)論成立.

當a，b不全為0時，不妨設a≠0，所以，存在唯一實數(shù)k，使得b=ka，

(2)b//a的充要條件是存在不全為零的實數(shù)λ和μ，使得λa=μb；判斷：證明：先證必要性

當a=b=0時，取λ=μ=1，此時結(jié)論成立.

當a，b不全為0時，不妨設a≠0，所以，存在唯一實數(shù)k，使得b=ka，

取λ=k，μ=1，此時結(jié)論成立.(2)b//a的充要條件是存在不全為零的實數(shù)λ和μ，使得λa=μb；判斷：再證充分性再證充分性不妨設λ≠0，再證充分性則a=b，不妨設λ≠0，再證充分性則a=b，此時結(jié)論成立.不妨設λ≠0，所以a//b.再證充分性則a=b，此時結(jié)論成立.則原命題成立.不妨設λ≠0，所以a//b.(3)若向量a與b不共線，且λa=μb，則λ=μ=0.

()判斷：(3)若向量a與b不共線，且λa=μb，則λ=μ=0.

()判斷：(3)若向量a與b不共線，且λa=μb，則λ=μ=0.

()判斷：分析1:因為λa與a共線，μb與b共線，(3)若向量a與b不共線，且λa=μb，則λ=μ=0.

()判斷：分析1:因為λa與a共線，μb與b共線，而a與b不共線，且λa=μb，(3)若向量a與b不共線，且λa=μb，則λ=μ=0.

()判斷：分析1:因為λa與a共線，μb與b共線，而a與b不共線，且λa=μb，所以λa=μb=0.(3)若向量a與b不共線，且λa=μb，則λ=μ=0.

()判斷：分析1:因為λa與a共線，μb與b共線，而a與b不共線，且λa=μb，所以λa=μb=0.因為a與b不共線，所以a≠0且b≠0.(3)若向量a與b不共線，且λa=μb，則λ=μ=0.

()判斷：分析1:因為λa與a共線，μb與b共線，而a與b不共線，且λa=μb，所以λa=μb=0.因為a與b不共線，所以a≠0且b≠0.所以λ=μ=0.分析2:假設λ和μ不全為0，不妨設λ≠0，分析2:假設λ和μ不全為0，則a=b，因為λa=μb，不妨設λ≠0，分析2:假設λ和μ不全為0，則a=b，所以a//b.因為λa=μb，不妨設λ≠0，分析2:假設λ和μ不全為0，則a=b，所以a//b.因為λa=μb，與已知條件矛盾，不妨設λ≠0，分析2:假設λ和μ不全為0，則a=b，所以a//b.因為λa=μb，與已知條件矛盾，所以λ=μ=0.不妨設λ≠0，分析2:假設λ和μ不全為0，應用1存在實數(shù)λ，使b=λa向量a與b共線證明向量共線應用11存在實數(shù)λ，使b=λa向量a與b共線證明向量共線例如：應用11存在實數(shù)λ，使b=λa向量a與b共線證明向量共線例如：應用11存在實數(shù)λ，使b=λa向量a與b共線證明向量共線例如：應用11存在實數(shù)λ，使b=λa向量a與b共線應用1存在實數(shù)λ，使b=λa向量a與b共線ABCD應用1存在實數(shù)λ，使b=λa向量a與b共線ABCDABCD應用1存在實數(shù)λ，使b=λa向量a與b共線存在實數(shù)λ，使b=λa向量a與b共線證明兩直線平行ABCDABCD應用12存在實數(shù)λ，使b=λa向量a與b共線證明兩直線平行證明三點共線ABCDABCD應用123證明兩直線平行ABCD2證明兩直線平行ABCD2證明兩直線平行ABCD2證明兩直線平行直線AB與CD不重合直線AB//CDABCD2證明三點共線ABC3證明三點共線ABC3證明三點共線ABC3證明三點共線ABC(有公共點)3證明三點共線ABC(有公共點)3A,B,C三點共線證明三點共線ABC(有公共點)3A,B,C三點共線或或……

例

已知任意兩個非零向量a，b，試作，．猜想A，B，C三點之

間的位置關系，并證明你的猜想．例

已知任意兩個非零向量a，b，試作，．猜想A，B，C三點之

間的位置關系，并證明你的猜想．例

已知任意兩個非零向量a，b，試作，．猜想A，B，C三點之

間的位置關系，并證明你的猜想．O例

已知任意兩個非零向量a，b，試作，．猜想A，B，C三點之

間的位置關系，并證明你的猜想．O例

已知任意兩個非零向量a，b，試作，．猜想A，B，C三點之

間的位置關系，并證明你的猜想．AO例

已知任意兩個非零向量a，b，試作，．猜想A，B，C三點之

間的位置關系，并證明你的猜想．ABO例

已知任意兩個非零向量a，b，試作，．猜想A，B，C三點之

間的位置關系，并證明你的猜想．ABO例

已知任意兩個非零向量a，b，試作，．猜想A，B，C三點之

間的位置關系，并證明你的猜想．ABCO例

已知任意兩個非零向量a，b，試作，．猜想A，B，C三點之

間的位置關系，并證明你的猜想．ABCO猜想：A，B，C三點共線.ABCO分析：猜想：A，B，C三點共線.ABCO猜想：A，B，C三點共線.ABCO分析：只需證，分析：只需證，猜想：A，B，C三點共線.ABCO只需證：存在λ，使證明：猜想：A，B，C三點共線.ABCO只需證：存在λ，使分析：只需證，證明：猜想：A，B，C三點共線.ABCO只需證：存在λ，使分析：只需證，證明：猜想：A，B，C三點共線.ABCO只需證：存在λ，使分析：只需證，證明：猜想：A，B，C三點共線.只需證：存在λ，使分析：只需證，，ABCO證明：猜想：A，B，C三點共線.只需證：存在λ，使分析：只需證，，ABCO證明：猜想：A，B，C三點共線.只需證：存在λ，使分析：只需證，，ABCO證明：猜想：A，B，C三點共線.只需證：存在λ，使分析：只需證，，，ABCO證明：∴猜想：A，B，C三點共線.只需證：存在λ，使分析：只需證，，，證明：∴∴猜想：A，B，C三點共線.只需證：存在λ，使分析：只需證，，，證明：∴A，B，C三點共線.∴∴猜想：A，B，C三點共線.只需證：存在λ，使分析：只需證，，，證明：∴A，B，C三點共線.∴∴猜想：A，B，C三點共線.發(fā)展直觀想象只需證：存在λ，使分析：只需證，，，證明：∴A，B，C三點共線.∴∴猜想：A，B，C三點共線.向量法發(fā)展直觀想象只需證：存在λ，使分析：只需證，，，應用2向量a(a≠0)與b共線存在唯一一個實數(shù)λ，使b=λa.應用2與非零向量a同向的單位向量為_______.?向量a(a≠0)與b共線存在唯一一個實數(shù)λ，使b=λa.應用2與非零向量a同向的單位向量為_______.?分析：向量a(a≠0)與b共線存在唯一一個實數(shù)λ，使b=λa.應用2與非零向量a同向的單位向量為_______.?分析：向量a(a≠0)與b共線存在唯一一個實數(shù)λ，使b=λa.設為λa

(λ>0)，應用2與非零向量a同向的單位向量為_______.?分析：向量a(a≠0)與b共線存在唯一一個實數(shù)λ，使b=λa.其模為|λa|，即λ

|

a|.設為λa

(λ>0)，應用2與非零向量a同向的單位向量為_______.?分析：令λ|

a|

=1，向量a(a≠0)與b共線存在唯一一個實數(shù)λ，使b=λa.其模為|λa|，即λ

|

a|.設為λa

(λ>0)，應用2與非零向量a同向的單位向量為_______.?分析：令λ|

a|

=1，則.向量a(a≠0)與b共線存在唯一一個實數(shù)λ，使b=λa.其模為|λa|，即λ

|

a|.設為λa

(λ>0)，應用2與非零向量a同向的單位向量為_______.?向量a(a≠0)與b共線存在唯一一個實數(shù)λ，使b=λa.應用2與非零向量a同向的單位向量為_______.?與非零向量a共線的單位向量為_____.向量a(a≠0)與b共線存在唯一一個實數(shù)λ，使b=λa.應用2與非零向量a同向的單位向量為_______.?與非零向量a共線的單位向量為_____.向量a(a≠0)與b共線存在唯一一個實數(shù)λ，使b=λa.例

已知a，b是兩個不共線的向量，向量b－ta，共線，求實數(shù)t的值．例

已知a，b是兩個不共線的向量，向量b－ta，共線，求實數(shù)t的值．由向量b－ta與共線，分析：例

已知a，b是兩個不共線的向量，向量b－ta，共線，求實數(shù)t的值．由向量b－ta與共線，b－ta=分析：可設例

已知a，b是兩個不共線的向量，向量b－ta，共線，求實數(shù)t的值．由向量b－ta與共線，b－ta=分析：可設？例

已知a，b是兩個不共線的向量，向量b－ta，共線，求實數(shù)t的值．由向量b－ta與共線，b－ta=分析：可設定理：b//a(a≠0)

存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa？例

已知a，b是兩個不共線的向量，向量b－ta，共線，求實數(shù)t的值．由向量b－ta與共線，b－ta=由于

a，b不共線，分析：可設定理：b//a(a≠0)

存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa？例

已知a，b是兩個不共線的向量，向量b－ta，共線，求實數(shù)t的值．0．由向量b－ta與共線，b－ta=由于

a，b不共線，分析：可設定理：b//a(a≠0)

存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa所以？例

已知a，b是兩個不共線的向量，向量b－ta，共線，求實數(shù)t的值．解：例

已知a，b是兩個不共線的向量，向量b－ta，共線，求實數(shù)t的值．0.∴∵a，b不共線，解：例

已知a，b是兩個不共線的向量，向量b－ta，共線，求實數(shù)t的值．0.∵b－ta與共線，∴∵a，b不共線，解：例

已知a，b是兩個不共線的向量，向量b－ta，共線，求實數(shù)t的值．0.∵b－ta與共線，∴∴唯一，使得Rb－ta=∵a，b不共線，解：例

已知a，b是兩個不共線的向量，向量b－ta，共線，求實數(shù)t的值．0.∵b－ta與共線，∴∴唯一，使得Rb－ta=∵a，b不共線，∴解：例

已知a，b是兩個不共線的向量，向量b－ta，共線，求實數(shù)t的值．∵a，b不共線，0.∵b－ta與共線，∴∴唯一，使得Rb－ta=∵a，b不共線，∴解：例

已知a，b是兩個不共線的向量，向量b－