如何在統(tǒng)計物理教學中

如何在統(tǒng)計物理教學中第1頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月1.統(tǒng)計物理發(fā)展簡況

熱力學與統(tǒng)計物理從建立到現(xiàn)在已經(jīng)有一百多年了。學科不斷發(fā)展：不僅應用領域不斷擴大，小到原子核，大到宇宙；從物理學到其它自然科學(化學，生物，信息科學,…)；而且，學科本身也有了許多重大的發(fā)展，包括概念，理論和方法。自頒發(fā)Nobel獎以來，直接因?qū)y(tǒng)計物理學作出重大開創(chuàng)性貢獻而獲Nobel物理獎的有兩項(RG,BEC)，化學獎的兩項(Onsager,

Prigogine)。因此，在教學內(nèi)容上理應有所反映。這一點是大家的共識。第2頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月下面讓我們簡單地回顧一下統(tǒng)計物理學的發(fā)展簡況。經(jīng)典統(tǒng)計建立于19世紀下半葉，主要是Maxwell,

Boltzmann和Gibbs

的貢獻。平衡態(tài)的最普遍理論是Gibbs的統(tǒng)計系綜理論（1902）；非平衡態(tài)的理論以Boltzmann方程和H-定理為核心，不像系綜理論那么普遍，僅適用于稀薄氣體。應該指出，玻氏方程和H-定理的意義重大，涉及統(tǒng)計物理的基本問題：趨于平衡的不可逆性。第3頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月量子力學的建立與量子統(tǒng)計的建立有著相互依賴，相互促進的復雜關系。

1900年，Planck在研究黑體輻射譜的統(tǒng)計理論中提出了量子假說，當時他用的是Boltzmann統(tǒng)計。隨后，Einstein(1907),Debye(1912)和Born與vonKarman（1912，1913）應用Boltzmann統(tǒng)計及能量量子化研究了固體比熱。有意思的是：量子假說的提出并不是從原子光譜的研究，而是從黑體輻射的統(tǒng)計理論。為什么？參看：A.Pais的“SubtleistheLord…”(方在慶等譯“上帝難以捉摸——愛因斯坦的科學與生活”第4頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

1905年，Einstein提出了光量子的假說，這篇論文是唯一被愛氏自己稱為革命性貢獻的。它也源于黑體輻射。愛氏根據(jù)Wien區(qū)（高頻區(qū)）內(nèi)的輻射與經(jīng)典實物粒子的經(jīng)典理想氣體的類比，而提出光量子假說，并用以解釋了光電效應。

1924年，Bose提出了一種新的統(tǒng)計方法（這是在量子力學建立以前），重新推導了Planck的黑體輻射公式，1925年，Einstein推廣了Bose的統(tǒng)計方法(以后被稱為Bose-Einstein統(tǒng)計），把它用到理想原子氣體，并從理論上預言了一種新的凝結(jié)現(xiàn)象（以后被稱為Bose-EinsteinCondensation）.

第5頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

1926年，F(xiàn)ermi提出了另一種符合Pauli不相容原理的統(tǒng)計方法，稍后，Dirac獨立地提出了同樣的統(tǒng)計方法（以后被稱為Fermi-Dirac統(tǒng)計），并論證了Bose統(tǒng)計和Fermi統(tǒng)計與多粒子體系波函數(shù)對稱性之間的關系。對Bose統(tǒng)計和Fermi統(tǒng)計與粒子自旋之間的關系的認識要晚的多，是1945年由Pauli論證的。第6頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

1927年，VonNeumann提出了密度矩陣的概念，證明密度矩陣的作用類似于經(jīng)典統(tǒng)計系綜的幾率密度，他還推導出量子的Liouville方程。Landau與Kramers,Pauli等人對量子統(tǒng)計系綜的建立也作出了重要的貢獻。至此，量子統(tǒng)計系綜理論的理論框架已經(jīng)建立起來了.1929年出版的Fowler的“統(tǒng)計力學”反映了當時統(tǒng)計物理學的幾乎所有的主要成果?？梢哉f是一部（當時的）統(tǒng)計物理學的“百科全書”。

第7頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月下面列舉從1930s年代以來統(tǒng)計物理的若干主要進展（不完全）：

稠密氣體和液體（經(jīng)典與量子）嚴格可解模型元激發(fā)的概念和方法*負絕對溫度*線性響應理論相變和臨界現(xiàn)象*

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各態(tài)歷經(jīng)問題稀薄原子氣體的玻色－愛因斯坦凝聚（BEC）*介觀體系中的統(tǒng)計問題*天體物理和宇宙學中的統(tǒng)計問題混沌，分形,滲流，……

凝聚態(tài)物理中的統(tǒng)計問題（許多許多）軟凝聚物質(zhì)（高分子，液晶……）非平衡相變（遠離平衡態(tài)）交叉學科中的統(tǒng)計問題（經(jīng)濟學，社會學，…）計算機模擬（MonteCarlo,分子動力學，…）

………第9頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

如何適當反映學科的發(fā)展？

四大力學中，統(tǒng)計物理與量子力學從學科發(fā)展看，最為突出。這對教學是很有利的，有可能給學生展示豐富多彩的內(nèi)容，并體會學科的生命力。

統(tǒng)計物理的基本原理并不復雜，平衡態(tài)的理論框架也很簡單（等幾率原理，幾種系綜，配分函數(shù)與巨配分函數(shù)，分布與關聯(lián)函數(shù)）。但是，對有相互作用的體系，如何計算是相當困難的任務。必須抓住物理主要矛盾，作合理的近似，這是最難的。在本科教學中，這部分介紹得很少。

由于課程的性質(zhì)，學時的限制，以及學生的基礎，顯然不可能把學科發(fā)展的內(nèi)容簡單地搬過來，只能選擇少量的內(nèi)容。如何做才恰當，是一個需要研究和嘗試的問題。我們在教學中，作了一些嘗試。這里想和大家討論。下面結(jié)合幾個例子來具體說明。

第10頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例一．元激發(fā)的概念和方法*

1940s和50s年代，在研究相互作用多粒子系統(tǒng)（凝聚體系：固體和液體）的低溫性質(zhì)中，發(fā)展了元激發(fā)或準粒子的概念和方法。如聲子,旋子，準電子，準空穴，磁波子,激子,等離子激元，極化激元,激化子，等等。在足夠低的溫度下（“足夠低”是相對于某一特征能量而言的），元激發(fā)之間的相互作用很弱，可以忽略，以致可以近似當作元激發(fā)的理想氣體。在元激發(fā)近似適用的條件下，相互作用多粒子系統(tǒng)的低溫性質(zhì)可以搬用近獨立子系的理論來處理，使理論處理大為簡化。完全的理論處理必須知道元激發(fā)的能譜和服從的統(tǒng)計。這可以根據(jù)實驗結(jié)果去猜；或從理論上去求，最系統(tǒng)的方法是場論方法。第11頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

在課程中，我們只介紹一點元激發(fā)的概念，說明某一種（幾種）元激發(fā)的能譜及所服從的統(tǒng)計，然后就用Fermi或Bose分布計算。目的在于擴大學生的眼界，也加深對Fermi分布和Bose分布性質(zhì)的理解。例如，對固體比熱的Debye理論，可以用波的圖像及玻爾茲曼統(tǒng)計，還可以用聲子的圖像和玻色統(tǒng)計處理。并可將二者加以對比。其它一些元激發(fā)理想氣體的例子可以放在習題中讓學生去練習。至于元激發(fā)的能譜和服從的統(tǒng)計如何從理論上去求，不是本科課程的任務。第12頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例二：負絕對溫度*1951年,Pursell&Pound在很純的LiF晶體的核自旋系統(tǒng)中實現(xiàn)了負絕對溫度的狀態(tài),1956年Ramsey提出了有關負絕對溫度的熱力學與統(tǒng)計理論?，F(xiàn)在，幾乎所有的大學統(tǒng)計物理都介紹這部分內(nèi)容。由于理論比較簡單，只需稍稍化簡，即可移植到教學中。物理學是以實驗為基礎的，新的實驗發(fā)現(xiàn)促使人們重新認識原有的概念。什么條件下可以把整個體系分為核自旋系統(tǒng)和晶格系統(tǒng)，并實現(xiàn)核自旋系統(tǒng)的負絕對溫度？第13頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

實現(xiàn)負絕對溫度的條件（相當苛刻）：（1）系統(tǒng)的能量有上界；（2）系統(tǒng)與環(huán)境隔絕（至少一段時間）；（3）系統(tǒng)內(nèi)部實現(xiàn)平衡。（2）（3）相當于系統(tǒng)本身達到平衡的弛予時間遠小于系統(tǒng)與環(huán)境之間達到平衡的弛予時間。今為：實際上只有滿足以上條件，劃分才有意義。對LiF晶體：

今局部平衡的兩個系統(tǒng)占據(jù)同樣的空間，對應不同的自由度（可與局部平衡的其它例子比較）。激光依靠泵浦形成二特定能級占據(jù)數(shù)反轉(zhuǎn)，實為非平衡態(tài)。故“占據(jù)數(shù)反轉(zhuǎn)的態(tài)就是負溫度態(tài)”的說法是不對的。第14頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第15頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例三：臨界現(xiàn)象和重整化群*從三十年代開始，相變和臨界現(xiàn)象的研究就是統(tǒng)計物理的一個重要的傳統(tǒng)課題，也是一個大的方面，函蓋的現(xiàn)象極廣。由于相變理論必須考慮粒子之間的相互作用（理想Bose氣體的BEC除外），使理論處理相當困難，這也是為什么通常把相變和臨界現(xiàn)象稱為合作現(xiàn)象的原因。從三十年代開始，提出了一些模型和最簡單的理論——平均場理論，以及在平均場理論基礎上的改進，以及發(fā)展各種級數(shù)展開方法（如低溫展開，高溫展開等。原則上需要找小參量）。四十年代Onsager關于2D-Ising模型的嚴格解（曾被批評為象牙塔里的研究，后來認識到是很有意義的）。五十年代由于實驗的改進，積累了許多有關臨界現(xiàn)象的實驗數(shù)據(jù)（由于臨界慢化，在臨界點的鄰域要得到比較準確的實驗數(shù)據(jù)是相當困難的）。嚴格解，級數(shù)展開和實驗三方面，使研究人員認識到冪律能正確地描寫臨界點鄰域的行為。第16頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

臨界現(xiàn)象的特征，挑戰(zhàn)性的問題：從平滑的哈密頓量出發(fā)，計算的配分函數(shù)，所得到的熱力學函數(shù)如何會出現(xiàn)奇異性？（Onsager2D-Ising

模型的嚴格解第一次對一個非平庸的問題，證明了在熱力學極限下才會出現(xiàn)奇異性）連續(xù)相變的對稱性自發(fā)破缺，圖像？機制？關聯(lián)長度在時趨于無窮，后果？標度律；普適性，普適類由什么決定？標度變換；

…………………..SeeKadanoff:StatisticalPhysics(2000,WorldScientific)第17頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月六十年代，通過實驗與理論的工作，建立起臨界現(xiàn)象的標度理論。后者又提出了新的問題：為什么只需要兩個獨立的臨界指數(shù)？如何從理論上確定它們？經(jīng)過Kadanoff，F(xiàn)isher等人的努力，最后，1971年K.Wilson發(fā)展了完整的重整化群（RenormalizationGroup）理論。重整化群理論與傳統(tǒng)的相變理論不同，在概念和方法上另辟蹊徑，具有強大的威力，已成為研究臨界現(xiàn)象的有力理論方法，Wilson也因此而獲得1981年的Nobel物理學獎。重整化群理論還得到廣泛的應用（凝聚態(tài)物理，宇宙學，……)。在熱力學課程中，通常會簡單介紹Landau的相變理論，Landau引入序參量統(tǒng)一地描述一階和二階相變。對重整化群理論，認真的講不可能，內(nèi)容超出大學本科水平。只能介紹一點相關的概念，如臨界指數(shù)，標度律，普適性等。也許可以講一點最簡單的一維的例子，用選擇性消去法(Decimation)，因為學時不夠，沒有試過.

作為科學報告的形式，給學生介紹過。

第18頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例四：稀薄原子氣體的玻色－愛因斯坦凝聚*歷史的回顧:

1924年，Bose對黑體輻射（光子氣體）提出一種新的數(shù)態(tài)的方法，重新導出Planck輻射公式。投稿被拒后，求助于Einstein.Einstein將該文譯成德文，并加注“是一個重要的進展”。

1924－25，Einstein將該方法推廣到實物粒子，相繼發(fā)表了兩篇文章（注），即“單原子理想氣體的量子理論”（一）（二），在文（二）中，理論上預言了“condensation”,后來被稱為Bose-EinsteinCondensation(BEC).其實，預言“condensation”

與Bose無關，應該稱為“EinsteinCondensation”

更合適。

1925－30s末，BEC的理論受到批評。注：見Einstein文集第二卷

第19頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

1938年，F(xiàn).London提出液氦的超流與金屬的超導轉(zhuǎn)變可以近似理解為BEC，此后逐漸被接受。

1940s－1960s,Bogoliubov,Penrose,Schafroth,Lee&Yang等人研究了弱相互作用Bose氣體的BEC。

1976,MIT,Netherland,Canada等幾個研究組開始探索用自旋極化原子氫實現(xiàn)BEC的可能。其間，發(fā)展了Lasercooling等方法。1998年實現(xiàn)BEC。

1980s,開始探索用堿金屬原子氣體的道路。

1995年，Colorado大學的Cornell和Wieman首先在銫原子氣體中實現(xiàn)了BEC。同年稍后，MIT的Ketteler在鈉原子氣體中觀察到BEC.

他們?nèi)斯餐@得2001年Nobel物理學獎。

第20頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月（均勻）理想Bose氣體的BEC（教科書）:

凝聚溫度:

溫度必須低于臨界溫度，才能實現(xiàn)BEC.第21頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第22頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

Einstein的理論為什么當年受批評？

氣體凝聚成液體需要依靠分子之間的相互作用力。對理想氣體，粒子之間的相互作用已被忽略，如何發(fā)生凝聚？Einstein自己已意識到這一點，他寫到“……這個公式間接地表達了一個確定的假設，即認為分子以暫時還完全難以捉摸的方式相互影響著，……”

由于歷史條件，當時還不知道全同多粒子系存在（量子起源的）統(tǒng)計關聯(lián)：對bosons是有效吸引；而fermions是有效排斥。因此，即使沒有動力學相互作用，仍可在一定條件下由于有效相互作用而發(fā)生凝聚現(xiàn)象。這是一種純粹量子起源的相變。

第23頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月實現(xiàn)BEC究竟有多難？

Oven500KLaserCooling50

EvaporativeCooling5001BEC（體）第24頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月實現(xiàn)BEC實際上極困難。原則上，如能將氣體冷到使但大多數(shù)情況下，在遠高于BEC的到達以前，已發(fā)生液化甚至固化的相變。為了實現(xiàn)原子氣體的BEC,必須用極稀薄的氣體，且要求二體彈性碰創(chuàng)的弛予時間遠小于形成分子或原子集團的非彈性碰創(chuàng)的弛予時間堿金屬原子氣體第25頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第26頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月原子氣體BEC的基本特征

均勻IBG的BEC

Na原子氣體的BEC純量子性質(zhì)的統(tǒng)計關聯(lián)統(tǒng)計關聯(lián)＋弱相互作用動量空間凝聚諧振子約束勢動量空間與坐標空間凝聚點粒子復合粒子多組分，SpinorBEC

T=0K,全部粒子凝聚到單粒子基態(tài)，BEC(體)100%純?nèi)跖懦庀嗷プ饔煤暧^波函數(shù)達～99％

滿足熱力學極限

有限體系第27頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月新領域的開辟(1)新的量子流體（氣體）非均勻約束；有排斥或吸引的相互作用；多組分，spinor；超流；……(2)AtomLaser,AtomOptics(3)Newatom/MoleculeBEC(4)NewCooling,trapping……(5)Applicationsprecisionmeasurement,nanotechnology,……NobelLectures:Cornell&Wieman,RMP74,875(2002);Ketterle,RMP74,1131(2002)第28頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第29頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第30頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例五．介觀體系中的統(tǒng)計問題*介觀體系的大小介于宏觀與微觀之間，其基本特征是：粒子保持位相相干（位相記憶）的特征長度大于體系的尺度。因而量子相干效應對其輸運及其它性質(zhì)有重要影響。位相相干長度依賴于溫度等因素，對于低溫下的高品質(zhì)的半導體，介觀體系的尺度可以從幾十納米到幾微米。由于微加工技術的發(fā)展，各種人造介觀體系成功實現(xiàn)，使介觀物理的研究成為一個十分活躍的研究領域。它不僅能為新一代的介觀或納米器件提供物理基礎，而且具有重要的基礎研究意義。

第32頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第34頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第38頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第39頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第40頁，課