2023年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義進(jìn)階方案-第1講空間幾何體（學(xué)生版）

第1講空間幾何體

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)一表面積與體積

1.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積

(1)SHtw=2JirLS^^=2nr(r+l)(r為底面半徑，1為母線長).

(2)Si?iw=nrl,S1gm&=nr(r+1)(r為底面半徑，1為母線長).

(3)S以表=4nR2(R為球的半徑).

2.空間幾何體的體積公式

VfjnShf為底面面積，h為高)；

Vfj=wSh(S為底面面積，h為同j)；

O

4

V球=]nRJ(R為球的半徑).

【熱點(diǎn)突破】

【典例】1(1)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值足7，SA與圓錐底面所成

O

角為45°.若4SAB的面積為5標(biāo)，則該圓錐的側(cè)面積為

(2)如圖，已知正三棱柱ABC-ABG的各棱長均為2,點(diǎn)D在棱AAi上，則三棱錐D—BBC的

體積為________

【拓展訓(xùn)練】1(1)已知圓柱的上、下底面的中心分別為0”。2,過直線0Q2的平面截該圓

柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()

A.B.12n

C.8mnD.10Jt

(2)如圖，在RtaABC中，AB=BC=1,D和E分別是邊BC和AC上異于端點(diǎn)的點(diǎn)，DE_LBC,

將ACDE沿DE折起，使點(diǎn)C到點(diǎn)P的位置，得到四棱錐P-ABDE,則四棱錐P—ABDE的體積

的最大值為.

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)二多面體與球

解決多面體與球問題的兩種思路

(1)利用構(gòu)造長方體、正四面體等確定直徑.

(2)利用球心0與截面圓的圓心0,的連線垂直于截面圓的性質(zhì)確定球心.

【典例】2(1)已知三棱錐P-ABC滿足平面PAB_L平面ABC,AC_LBC,AB=4,/APB=30°,

則該三棱錐的外接球的表面積為.

(2)(2020?全國UD已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積

為.

【拓展訓(xùn)練】2(1)已知A,B是球0的球面上兩點(diǎn)，NA0B=90°,C為該球面上的動點(diǎn).若

三棱錐0-ABC體積的最大值為36,則球。的表面積為()

A.36兀B.64nC.144兀D.256兀

(2)中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面

為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐

稱之為鱉膈，如圖為一個陽馬與一個鱉腌的組合體，已知PAL平面ABCE,四邊形ABCD為正

方形，AD=4,ED=V3,若鱉HP-ADE的外接球的體積為”但“，則陽馬P-ABCD的外接

球的表面積為.

專題訓(xùn)練

一、單項(xiàng)選擇題

1.水平放置的aABC的直觀圖如圖，其中B'O'=C'0'=1,A'O'=當(dāng)，那么原AABC

是一個（）

A.等邊三角形B.直角三角形

C.三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D.三邊互不相等的三角形

2.（2020?全國I）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱

錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三

角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）

A#T「乖+1口乖+1

bnu

A.4-24-2

3.已知一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，記該圓錐的內(nèi)切球的表面積為S.,外接球的表

面積為S2,則潺于（）

02

A]B.|C]D.1

4.（2020?大連模擬）一件剛出土的珍貴文物要在博物館大廳中央展出，如圖，需要設(shè)計(jì)各面

是玻璃平面的無底正四棱柱將其罩住，罩內(nèi)充滿保護(hù)文物的無色氣體.已知文物近似于塔形，

高1.8米，體積0.5立方米，其底部是直徑為0.9米的圓形，要求文物底部與玻璃罩底邊至

少間隔0.3米，文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2米，氣體每立方米1000元，則氣體

的費(fèi)用最少為（）

A.4500元B.4000元C.2880元D.2380元

5.如圖所示，在正方體ABCD-ABiCD中，動點(diǎn)E在BBi上，動點(diǎn)F在A￡上，0為底面ABCD

的中心，若BE=x,AF=y,則三棱錐0-AEF的體積（）

A.與x,y都有關(guān)

B.與x,y都無關(guān)

C.與x有關(guān)，與y無關(guān)

D.與y有關(guān)，與x無關(guān)

6.在梯形ABCD中，ZABC=y,AD〃BC,BC=2AD=2AB=2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋

轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）

2n4n5兀

A.-r-B.~r-C.fD.2n

j力j

7.（2020?全國I）已知A,B,C為球0的球面上的三個點(diǎn)，為AABC的外接圓.若。

的面積為4n,AB=BC=AC=OO”則球0的表面積為（）

A.64nB.48久C.36nD.32n

8.（2020?武漢調(diào)研）已知直三棱柱ABC—ABC的6個頂點(diǎn)都在球0的表面上,若AB=AC=1,

2

M=2小,ZBAC=—JI,則球0的體積為（）

9.如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球?qū)佣?，在該封閉

的幾何體內(nèi)部放入一個小圓柱體，且小圓柱體的上、下底面均與外層圓柱的底面平行，則小

圓柱體積的最大值為（）

2000n4000五

A.-g—B.~27

C.81JTD.128Jt

10.已知在三棱錐P-ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，且長度相等.若點(diǎn)P,A,B,C都在半

徑為1的球面上，則球心到平面ABC的距離為（）

A』B.|C.|D.平

二、多項(xiàng)選擇題

11.（2020?棗莊模擬）如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD—ABCD內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定

容器一邊AB于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面幾個結(jié)論，其中正確的是

)

A.沒有水的部分始終呈棱柱形

B.水面EFGH所在四邊形的面積為定值

C.隨著容器傾斜度的不同，AC始終與水面所在平面平行

D.當(dāng)容器傾斜如圖③所示時，AE?AH為定值

12.（2020?青島檢測）己知四棱臺ABCD-ABCD的上、下底面均為正方形，其中AB=2*,

AiBi=^/2,AA尸BB產(chǎn)CG=DDi=2,則下列敘述正確的是（）

A.該四棱臺的高為成

B.AA,1CC,

C.該四棱臺的表面積為26

D.該四棱臺外接球的表面積為16n

三、填空題

13.（2020?浙江）已知圓錐的側(cè)面積（單位：cn?）為2頁，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則

這個圓錐的底面半徑（單位：cm）是.

14.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱的底面直徑為40cm,母線長最短50cm,最長80cm