第三章-力學量用算符表達+韓金鐘1課件

第3章力學量用算符表達量子力學中的算符,表示對波函數(shù)(量子態(tài))的一種運算.例如

討論量子力學中算符的一般性質(zhì):(a)線性算符稱為線性算符，凡滿足下列規(guī)則的算符,?A3.1算符的運算規(guī)則量子力學中的算符并不都是線性算符(例如復共軛),但刻畫可觀測量的算符都是線性算符.為單位算符與兩個算符相等其中,是任一波函數(shù).注意其中和是任意兩個波函數(shù)，與是兩個任意常數(shù)（一般為復數(shù)）.例如就是線性算符.(b)

算符之和對于任意波函數(shù),有顯然,算符的求和滿足交換律和結(jié)合律:

所以,兩個線性算符之和仍為線性算符.(c)

算符之積算符與之積,記為,定義為

任意.一般說來,算符之積不滿足交換律,即這是算符與通常數(shù)的運算規(guī)則的唯一不同之處!由下列關(guān)系式:概括量子力學中最基本的對易關(guān)系:證明見黑板對易式(commutator)不難證明,對易式滿足下列代數(shù)恒等式:定義:則量子力學中最基本的對易關(guān)系可以化成:角動量對易式角動量算符:各分量表為

左右兩邊分別作用于推出由代數(shù)恒等式,不難證明Levi-Civita符號是一個三階反對稱張量，定義如下：即角動量各分量的對易式為:可以寫成還可以證明:

由于角動量平方算符中含有關(guān)于x，y，z偏導數(shù)的交叉項,所以直角坐標下角動量平方算符的本征方程不能分離變量,難于求解,為此我們采用球坐標較為方便.角動量平方算符在直角坐標系下的形式：則容易證明:直角坐標與球坐標之間的變換關(guān)系

球坐標將（1）式兩邊分別對xyz求偏導數(shù)得：將（2）式兩邊分別對xyz求偏導數(shù)得：將（3）式兩邊分別對xyz求偏導數(shù)得：將上面結(jié)果代回原式得：則角動量算符在球坐標中的表達式為：能夠唯一地解出,則可以定義算符之逆為并非所有的算符都有逆算符,例如投影算符就不存在逆.若算符之逆存在,則(d)逆算符設(shè)設(shè)與之逆均存在,則(e)

算符的函數(shù)設(shè)給定一函數(shù),其各階導數(shù)均存在,冪級數(shù)展開收斂則可定義算符的函數(shù)為例如可定義不難看出算符的物理意義,是與體系沿方向平移有關(guān)的算符.兩個(或多個)算符的函數(shù)也可類似定義.令則是指對體系的全部空間坐標進行積分,是坐標空間體積元.*定義一個量子體系的任意兩個波函數(shù)(態(tài))與的標積

式中與為任意常數(shù).則可以證明:算符的轉(zhuǎn)置算符定義為(f)

轉(zhuǎn)置算符即式中與是任意兩個波函數(shù).算符的復共軛算符定義為注意算符的共軛算符的表達式與表象有關(guān).

例如,在坐標表象中(g)

復共軛算符與厄米共軛算符通常算符的復共軛,可如下構(gòu)成,即把的表達式中所有量換成其復共軛.算符之厄米共軛算符定義為推出例如:可以證明由此可得滿足下列關(guān)系的算符兩個厄米算符之和仍為厄米算符,但它們的積,一般不是厄米算符,除非(可對易).(h)

厄米算符稱為厄米算符,也稱為自共軛算符.

(實)等都是厄米算符.※定理體系的任何狀態(tài)下,其厄米算符的平均值必為實數(shù).逆定理在任何狀態(tài)下平均值均為實的算符必為厄米算符.實驗上可觀測量,當然要求在任何態(tài)下平均值都是實數(shù),因此,相應的算符必須是厄米算符.關(guān)于厄米算符的重要定理:證明如下:在態(tài)下厄米算符的平均值為設(shè)為厄米算符,則在任意態(tài)之下,

以上是關(guān)于算符的一般規(guī)律和定則,在接下來的一節(jié)中我們將要學習一類特殊的算符-------厄米算符,及其本征值與本征函數(shù)!推論來描述其狀態(tài)的大量完全相同的體系(系綜),如進行多次測量,所得結(jié)果的平均值將趨于一個確定值．而每一次測量的結(jié)果則圍繞平均值有一個漲落.對于都用漲落定義為漲落3.2厄米算符的本征值與本征函數(shù)厄米算符,再利用3.1節(jié)所學知識,有因為為厄米算符,必為實數(shù),因而仍為(1)(2)如果體系處于一種特殊的態(tài),測量所得結(jié)果是唯一確定的,即漲落,則這種狀態(tài)稱為力學量的本征態(tài).在本征態(tài)下,由式(2)可以看出,被積函數(shù)必須為零,即必須滿足或一般,把常數(shù)記為,并把本征態(tài)記為,得到

稱為的一個本征值,為相應的本征態(tài).上式即算符的本征方程.注意求解時,作為力學量的本征態(tài),還要滿足物理上的一些要求.

測量力學量時所有可能出現(xiàn)的值,都是相應的線性厄米算符的本征值.當體系處于的本征態(tài)時,則每次測量所得結(jié)果都是完全確定的,即.量子力學中的一個基本假定:推出所以,在態(tài)下(設(shè)已歸一化)定理1厄米算符的本征值必為實.厄米算符的本征函數(shù)的一個基本性質(zhì):定理2厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù),彼此正交.證明如下:設(shè)并設(shè)存在,對取復共軛,得到上式右乘,積分,得到由于,上式左邊=,因此得如,則必有例1：求角動量z分量的本征值與本征函數(shù)例2：平面轉(zhuǎn)子的能量本征值與本征態(tài)。例3求動量的分量的本征態(tài)。例4一維自由粒子的能量本征態(tài)。簡并問題在能級簡并的情況下,僅根據(jù)能量本征值并不能把各能量的簡并態(tài)確定下來.在處理力學量本征問題時,特別是能量的本征值問題,常常出現(xiàn)本征態(tài)的簡并,這與體系的對稱性有密切關(guān)系.設(shè)力學量的本征方程表為即屬于本征值的本征態(tài)有個,則稱本征值為重簡并.

出現(xiàn)簡并時,簡并態(tài)的選擇是不唯一的,而且也不一定彼此正交,但總可以把它們適當線性疊加,使之彼此正交.在線性代數(shù)中,通常采用Schmidt正交化程序來進行正交化.令因為所以只要選擇,使,即可得證.證明如下在常見問題中,當出現(xiàn)簡并時,往往是用(除之外的)其他力學量的本征值來對簡并態(tài)進行分類,從而把它的簡并態(tài)確定下來.兩個力學量是否可以有共同本征態(tài)?或者說是否可以同時測定?此時,正交性問題將自動解決.這就涉及兩個或多個力學量的共同本征態(tài)問題.這將是下一節(jié)不確定度關(guān)系要討論的問題!引入下面我們普遍地分析此問題.當體系處于力學量的本征態(tài)時,對其測量,可得一個確定值,而不會出現(xiàn)漲落.但在其本征態(tài)下去測量另一個力學量時,卻不一定得到一個確定值.分析下列積分不等式其中,為體系的任意一個波函數(shù),為任意實參數(shù).3.3.1不確定度關(guān)系的嚴格證明設(shè)有兩個任意的力學量和引進厄米算符則因為與為厄米算符，所以,則得為實，不妨取即與為厄米算符,與又均為實數(shù),

與也是厄米的.在上式中，讓則(1)式仍成立.再考慮到就可得出或簡記為(2)上式就是任意兩個力學量與在任意量子態(tài)下的漲落必須滿足的關(guān)系式,即Heisenberg的不確定度關(guān)系(uncertaintyrelation)的普遍表達式.所謂共同本征態(tài)，即是有共同本征函數(shù)，比如若，都有確定值，則為的共同本征態(tài)或共同本征函數(shù)。能是例外),或者說他們不能有共同本征態(tài).以找出它們的共同本征態(tài).由(2)式可以看出,若兩個力學量與不對易,則一般說來與不能同時為零,即與不能同時測定.(但的特殊態(tài)可反之,若兩個厄米算符與對易,則可以找出這樣的態(tài),使與同時滿足,即可(2)A、B對易子的平均值為0思考題1.若兩個厄米算符有共同本征態(tài),是否它們就彼此對易?思考題2.若兩個厄米算符不對易,是否一定就沒有共同本征態(tài)?思考題3.若兩個厄米算符對易,是否在所有態(tài)下它們都同時具有確定值?思考題4.若[A,B]=常數(shù),A和B能否有共同本征態(tài)?思考題5.角動量分量與能否有共同本征態(tài)？例1討論動量三個分量的共同本征態(tài)。

由于，所有可以有共同本征態(tài)，

即平面波函數(shù)具體表示為相應的本征值為

例2坐標的共同本征態(tài),即函數(shù)相應本征值為思考題6.px

和y可否有共同本征態(tài)?采用球坐標,角動量的平方算符表示為3.3.2的共同本征態(tài),球諧函數(shù)由于角動量的三個分量不對易,一般無共同本征態(tài).分量(例如)的共同本征態(tài).,可以找出但由于與任何一個考慮到的本征函數(shù)可以同時也取為的本征態(tài)其中,是的本征值(無量綱),待定.并代入本征方程的本征函數(shù)已分離變量,即令此時,化簡本征方程,得令則或這就是連帶Legendre方程.時,方程有一個多項式解(另一解為無窮級數(shù)),即連帶Legendre多項式可以證明,只當它在區(qū)域中是有界的,是物理上可接受的解.利用正交歸一性公式滿足定義一個歸一化的部分的波函數(shù)(實)所以,的正交歸一的共同本征函數(shù)表示為為球諧函數(shù),它們滿足在上面的式子中,和的本征值都是量子化的.對于給定,的本征函數(shù)是不確定的,因為共有個簡并態(tài).就是用的本征值來確定這些簡并態(tài).

軌道角動量量子數(shù)

磁量子數(shù)3.3.3對易力學量完全集(CSCO)它們的共同本征態(tài)記為設(shè)有一組彼此獨立而且互相對易的厄米算符表示一組完備的量子數(shù).設(shè)給定一組量子數(shù)之后,就能夠完全確定體系的唯一一個可能狀態(tài),

則我們稱構(gòu)成體系的一組對易可觀測量完全集

(completesetofcommutingObservables,簡記為CSCO),在中文教材中,習慣稱為對易力學量完全集,或簡稱為力學量完全集.設(shè)有一組彼此對易,且函數(shù)獨立的厄米算符它們的共同本征函數(shù)記為,是一組量子數(shù)的籠統(tǒng)記號.3.3.3對易力學量完全集(CSCO)定義

設(shè)給定

之后就能夠確定體系的一個可能狀態(tài)，則稱

構(gòu)成體系的一組力學量完全集.

表示在下測量得到值的概率.這是波函數(shù)統(tǒng)計詮釋的一般表述.按照態(tài)疊加原理,

體系的任何一個狀態(tài)均可用展開

(這里假定的本征值是離散的)利用的正交歸一性的歸一化條件如體系的Hamilton量不顯含時間則H為守恒量.在此情況下,如對易力學量完全集中包含有體系的Hamilton量,則完全集中各力學量都是守恒量,這種完全集又稱為對易守恒量完全集(acompletesetofcommutingconservedobservables,簡記為CSCCO.)例1.一維諧振子,Hamilton量本身就構(gòu)成力學量完全集。能量本征函數(shù)，就構(gòu)成體系的一組正交歸一完備函數(shù)組,一維諧振子的任何一個態(tài)ψ均可用它們展開.而代表在

態(tài)下，測得振子能量為的幾率。

例2一維運動的粒子，動量本征態(tài)（平面波）為，按照數(shù)學上的Fourier展開定理，任何一個平方可積波函數(shù)均可用它們展開。因此，動量P就構(gòu)成一維粒子的一個力學量完全集。例3三維自由粒子，H=p2/2m,[p,H]=0動量p為守恒量，P的三個分量(px,py,pz)構(gòu)成一組CSCO，并且為一組CSCCO，它們的共同本征函數(shù)為。體系的任意波函數(shù)（平方可積）都可展開為與一維自由粒子類似，坐標r(x,y,z)也構(gòu)成一組CSCO，但不是CSCCO例4三維中心力場V（r）中的粒子可以證明，，角動量是守恒量。構(gòu)成一組CSCO,且為CSCCO.注意，此時(px,py,pz)與（x,y,z）分別構(gòu)成一組CSCO,但均非CSCCO.3.3.4量子力學中力學量用厄米算符表達與Schr?dinger方程是量子力學的一個基本假定一樣,量子體系的可觀測量(力學量)用一個線性厄米算符來描述,也是量子力學的一個基本假定,它們的正確性應該由實驗來判定.“量子力學中力學量用相應的線性厄米算符來表達”,

其含義是多方面的:(1)在給定狀態(tài)ψ

之下,力學量A的平均值由下式確定:(2)在實驗上觀測某力學量A,它的可能取值就是算符的某一個本征值.由于力學量觀測值總是實數(shù),所以要求相應的算符必為厄米算符.(3)力學量之間關(guān)系也通過相應的算符之間的關(guān)系反映出來.例如,兩個力學量A與B,在一般情況下,可以同時具有確定的觀測值的必要條件為反之,若則一般說來,力學量A

與B不能同時具有確定的觀測值．特別是對于H不顯含t的體系,一個力學量

A

是否是守恒量,可以根據(jù)與是否對易來判斷.3.4.1連續(xù)譜本征函數(shù)是不能歸一化的一維粒子的動量本征值為的本征函數(shù)(平面波)為可以取中連續(xù)變化的一切實數(shù)值.不難看出，只要則在量子力學中,坐標和動量的取值是連續(xù)變化的;角動量的取值是離散的;而能量的取值則視邊條件而定.例如是不能歸一化的.在上例中,連續(xù)譜的本征函數(shù)是不能歸一化的.可以引用數(shù)學上的Dirac的為方便地處理連續(xù)譜本征函數(shù)的“歸一化”,我們函數(shù).3.4.2函數(shù)函數(shù)的定義由Fourier積分公式,對于分段連續(xù)函數(shù)(b)函數(shù)也可表成比較式(a)與(b),領(lǐng)域連續(xù)的任何函數(shù)對于在(a)等價地表示為:同樣,不能歸一化的坐標本征態(tài)也可