勾股定理知識(shí)與題型總結(jié)及測(cè)試題含答案

PAGEPAGE4勾股定理知識(shí)技能和題型歸納（一）——知識(shí)技能一、本章知識(shí)內(nèi)容歸納1、勾股定理——揭示的是平面幾何圖形本身所蘊(yùn)含的代數(shù)關(guān)系。（1）重視勾股定理的敘述形式：①直角三角形直角邊上的兩個(gè)正方形的面積之和等于斜邊上的正方形的面積.②直角三角形斜邊長(zhǎng)度的平方，等于兩個(gè)直角邊長(zhǎng)度平方之和.從這兩種形式來(lái)看，有“形的勾股定理”和“數(shù)的勾股定理”之分。（2）定理的作用：①已知直角三角形的兩邊，求第三邊。②證明三角形中的某些線段的平方關(guān)系。③作長(zhǎng)為的線段。（利用勾股定理探究長(zhǎng)度為……的無(wú)理數(shù)線段的幾何作圖方法，并在數(shù)軸上將這些點(diǎn)表示出來(lái)，進(jìn)一步反映了數(shù)與形的互相表示，加深對(duì)無(wú)理數(shù)概念的認(rèn)識(shí)。）2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的證明方法，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)三角形與直角三角形全等，達(dá)到證明某個(gè)角為直角的目的。（2）逆定理的作用：判定一個(gè)三角形是否為直角三角形。（3）勾股定理的逆定理是把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，是利用代數(shù)計(jì)算來(lái)證明幾何問(wèn)題。要注意敘述及書(shū)寫(xiě)格式。運(yùn)用勾股定理的逆定理的步驟如下：①首先確定最大的邊（如c）②驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系：若，則△ABC是以∠C為90°的直角三角形。若，則△ABC不是直角三角形。補(bǔ)充知識(shí)：當(dāng)時(shí)，則是銳角三角形；當(dāng)時(shí)，則是鈍角三角形。（4）通過(guò)總結(jié)歸納，記住一些常用的勾股數(shù)。如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及這些數(shù)組的倍數(shù)組成的數(shù)組。勾股數(shù)組的一般規(guī)律：丟番圖發(fā)現(xiàn)的：式子的正整數(shù)）畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的：（的整數(shù)）柏拉圖發(fā)現(xiàn)的：（的整數(shù)）3、勾股定理與勾股定理逆定理的關(guān)系（1）注意分清應(yīng)用條件：勾股定理是由直角得到三條邊的關(guān)系，勾股定理逆定理則是由邊的關(guān)系來(lái)判斷一個(gè)角是否為直角。（2）根據(jù)課標(biāo)要求，對(duì)原命題、逆命題及命題之間的關(guān)系只要求根據(jù)例子了解即可，不必專門(mén)訓(xùn)練.二、本章解題技能歸納1、直角三角形的性質(zhì)與判定小結(jié)（1）直角三角形的性質(zhì)：角的關(guān)系：直角三角形兩銳角互余。邊的關(guān)系：直角三角形斜邊大于直角邊。直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。邊角關(guān)系：直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。雙垂圖：雙垂圖中的線段關(guān)系。（2）直角三角形的判定：①有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。②有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。③兩邊的平方和等于第三邊（最長(zhǎng)的邊）的平方的三角形是直角三角形。2、已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，會(huì)求第三邊長(zhǎng)設(shè)直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊長(zhǎng)為c，由勾股定理知道：。變形得：，因此已知直角三角形的任意兩邊，利用勾股定理可求出第三條邊。3、當(dāng)直角三角形中含有30°與45°角時(shí)，已知一邊，會(huì)求其它的邊（1）含有30°的直角三角形的三邊的比為：1：。（2）含有45°的直角三角形的三邊的比為：。（3）等邊三角形的邊長(zhǎng)為，則高為，面積為。三、閱讀與思考——“希波克拉底月牙形”（1）如左圖：∠C=90°，圖中有陰影的三個(gè)半圓的面積S1,S2,S3有什么關(guān)系？答：（2）如圖：∠C=90°，△ABC的面積為20，在AB的同側(cè)，分別以AB,BC,AC為直徑作三個(gè)半圓，則陰影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面積為10、在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60°方向以每小時(shí)8海里的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)15海里的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34海里，你知道乙船是沿哪個(gè)方向航行的嗎？11、為美化環(huán)境，計(jì)劃在某小區(qū)內(nèi)用30平方米的草皮鋪設(shè)一邊長(zhǎng)為10米的等腰三角形綠地，請(qǐng)你求出這個(gè)等腰三角形綠地的另兩邊長(zhǎng)。12、如圖，鐵路上A、B兩站（視為直線上兩點(diǎn)）相距25千米，C、D為兩個(gè)村莊（視為兩個(gè)點(diǎn)），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=15千米，CB=10千米，現(xiàn)要在鐵路上建設(shè)一個(gè)土特產(chǎn)收購(gòu)站E，使得C、D兩村到E的的距離相等，則E應(yīng)建在距A多少千米處？13、在河L的同側(cè)有兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)A、B相距1640米，其中A距河210米，B距河570米，現(xiàn)要在河岸上建一個(gè)貨運(yùn)碼頭，使得兩倉(cāng)庫(kù)到碼頭的路程和最短，問(wèn)：這個(gè)最短路程是多少？碼頭應(yīng)建在何處？三、典型數(shù)學(xué)思想、方法的訓(xùn)練(一)方程思想進(jìn)行計(jì)算14、小明用一根長(zhǎng)30厘米的繩子折成三段，圍成一個(gè)三角形，他用尺子量了一下，其中一條線段的長(zhǎng)度比較短線段長(zhǎng)7厘米，比較長(zhǎng)線段短1厘米，請(qǐng)你幫助小明判斷一下，他圍成的三角形是直角三角形嗎？15、已知△ABC中，∠C=90°，D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，AD=5，BE=，求AB的長(zhǎng).16、有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺。如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面。這個(gè)水池的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別為多少？17、如圖所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求的值．(二)構(gòu)造直角三角形18、已知△ABC中，AB=8，AC=7，BC=6，求△ABC的面積。19、已知△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AB－AC=2-，求BC的長(zhǎng)。20、已知：如圖，AB＝AC＝20，BC＝32，D為BC邊上一點(diǎn)，∠DAC＝90°．求BD的長(zhǎng)．21、（1）寫(xiě)出三種用“構(gòu)造斜邊長(zhǎng)為的直角三角形的方法”作長(zhǎng)為的線段的方案。（2）能否通過(guò)“構(gòu)造直角邊長(zhǎng)為的直角三角形的方法”來(lái)作長(zhǎng)為的線段？若能，寫(xiě)出三角形的三邊；若不能，說(shuō)明理由。（3）在（1）中，作長(zhǎng)為的線段，往往需要先作出其它長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的線段才能求出長(zhǎng)為的線段，對(duì)于正整數(shù)，能否通過(guò)構(gòu)造兩邊均為有理數(shù)的直角三角形求出作長(zhǎng)為的線段？若能，請(qǐng)寫(xiě)出此時(shí)三角形三邊之間的關(guān)系；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。(三)勾股定理與變換22、已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C處，BC與AD交于點(diǎn)E，AD=8，AB=4，求DE的長(zhǎng)。23、（2004年荊州中考）一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種證明方法。如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)面ABCD倒下到的位置，連結(jié)，設(shè)，請(qǐng)利用四邊形的面積證明勾股定理。24、△ABC中,CD是AB邊上的中線，AC=8，BC=6，CD=5，判斷△ABC的形狀。(四)面積法:25、設(shè)表示三角形的三條高，如果，那么這個(gè)三角形是什么三角形？26、證明：直角三角形的斜邊與斜邊上的高的和大于兩直角邊之和。27、已知：平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，點(diǎn)A（），B（），C(0,－3)，（1）判斷的形狀并說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為，求中CD邊上的高h(yuǎn)的值.28.如圖，已知直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰RtΔABC,∠BAC=90O,且P(1,a)為坐標(biāo)系中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求ΔABC的面積；(2)證明不論a取任何實(shí)數(shù)，ΔBOP的面積是一個(gè)常數(shù)；(3)要使得ΔABC和ΔABP的面積相等，求實(shí)數(shù)a的值.(五)代數(shù)計(jì)算證明幾何問(wèn)題:29、求證：直角三角形中兩直角邊上的中線的平方和的4倍等于斜邊平方的5倍．30、如圖△ABC中，∠C=90°，M是CB的中點(diǎn)，MD⊥AB于D，請(qǐng)說(shuō)明三條線段AD、BD、AC總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形。31、正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為AB中點(diǎn)，AF=，求證：CE⊥EF.32、（1）已知：如圖，CD⊥AB，OA＞OB，求證：①；②.（2）運(yùn)用（1）的結(jié)論可以證明下列命題：已知：如圖，設(shè)M是△ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)，MD⊥AB于G，ME⊥BC于K，MF⊥CA于H，BD=BE，CE=CF，求證：AD=AF；(六)圖形的割、補(bǔ)與拼圖33、已知：如圖，四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD=5，∠B=90°，求四邊形ABCD的面積。第3第33題圖34、一塊四邊形的草地ABCD,其中∠A=60°,∠B=∠D=90°,AB=20m,CD=10m,求這塊草地的面積.第3第34題圖35、有十字形，它由五個(gè)全等的正方形組成，如圖所示，你能把它切成三塊，拼成一個(gè)長(zhǎng)是寬的2倍的長(zhǎng)方形嗎？（先計(jì)算，再拼圖）備用圖：36、現(xiàn)有一張長(zhǎng)為6.5，寬為2的紙片，請(qǐng)你將它分割成6塊，再合并成一個(gè)正方形，要求先畫(huà)出分割線，再拼成正方形并證明你的方法的正確性。(七)運(yùn)動(dòng)、開(kāi)放與探究37、在△中，設(shè)當(dāng)∠C=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理有；若△不是直角三角形，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。38、如圖，M是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，P、Q分別在AC、BC上，PM⊥MQ，判斷的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論.39、△ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，猜想的值是否隨點(diǎn)P位置的變化而變化，并證明你的猜想.40、已知：矩形ABCD．（四個(gè)角是直角）①Ｐ為矩形內(nèi)一點(diǎn)（如圖a），求證:;②探索P運(yùn)動(dòng)到AD邊上(如圖b）、矩形ABCD外(如圖c）時(shí)，結(jié)論是否仍然成立．41、探索勾股數(shù)的規(guī)律：觀察下列各組數(shù)：（3，4，5）（5，12，13）（7，24，25）（9，40，41）……，可發(fā)現(xiàn)：，請(qǐng)你寫(xiě)出第k個(gè)數(shù)組：.四、格點(diǎn)問(wèn)題(中考出現(xiàn)的較熱門(mén)的新題型)42．（2007金華中考）如圖，在由24個(gè)邊長(zhǎng)都為1的小正三角形的網(wǎng)格中，點(diǎn)是正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作格點(diǎn)直角三角形（即頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的直角三角形），請(qǐng)你寫(xiě)出所有可能的直角三角形斜邊的長(zhǎng)．PPPPPP備用圖PPPPPP43．在大小為4×4的正方形方格中，三個(gè)頂點(diǎn)都在單位小正方形的頂點(diǎn)上的直角三角形共有多少個(gè)？（全等的三角形只算一個(gè)）備用圖：勾股定理單元測(cè)試一、選擇題1.下列各數(shù)組中，不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是

(

)A.9,12,15

B.7,24,25

C.6,8,10

D.3,5,72.將直角三角形的各邊都縮小或擴(kuò)大同樣的倍數(shù)后，得到的三角形

(

)A.可能是銳角三角形

B.不可能是直角三角形

C.仍然是直角三角形

D.可能是鈍角三角形3.一等腰三角形底邊長(zhǎng)為10cm，腰長(zhǎng)為13cm，則腰上的高為

(

)A.12cm

B.

C.

D.

4、一架長(zhǎng)250cm的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)，梯足距墻底端70cm，如果梯子的頂端沿墻下滑40cm,那么梯子的底端將滑出()A.90cmB.150cmC.50cmD.80cm二、填空題5.如圖,64、400分別為所在正方形的面積，則圖中字母A所代表的正方形面積是

_________

.6.直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別為5、12，則斜邊上的高為

.

7.已知甲往東走了4km，又往南走了3km，這時(shí)甲距出發(fā)點(diǎn)

km.8.一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為12cm，對(duì)角線長(zhǎng)為13cm，則該長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為

.9.以直角三角形的三邊為邊向形外作正方形P、Q、K，若SP＝4，SQ＝9，則Sk＝

.三、解答題10.假期中，小明和同學(xué)們到某海島上去探寶旅游，按照探寶圖，他們?cè)贏地登陸后先往東走8千米，又往北走2千米，遇到障礙后又往西走了3千米，再折向北走了6千米處往東一拐，僅走了1千米就找到寶藏，問(wèn)登陸點(diǎn)A到寶藏埋藏點(diǎn)B的距離是多少千米？

11、如圖：四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，求四邊形ABCD的面積。12.已知:如圖,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17.求BC邊上的高.13、如圖折疊矩形ABCD的一邊，點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，若AB=8，BC=10，求EC的長(zhǎng)。14、已知：如圖，ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°，∠EAF與BC交于E、F兩點(diǎn)，∠EAF=45°，求證：。15.拼圖填空：剪裁出若干個(gè)大小、形狀完全相同的直角三角形，三邊長(zhǎng)分別記為a、b、c，如圖①.（1）拼圖一：分別用4張直角三角形紙片，拼成如圖②③的形狀，觀察圖②③可發(fā)現(xiàn)，圖②中兩個(gè)小正方形的面積之和__________

（填“大于”、“小于”或“等于”）圖③中小正方形的面積，用關(guān)系式表示為_(kāi)_______

.、（2）