講義工程流體力學(xué)7-6到7課件

工程流體力學(xué)

主講:馮

進(jìn)長江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院

§6不可壓縮粘性流體運(yùn)動§6.1運(yùn)動微分方程一、質(zhì)量守恒方程（連續(xù)性方程）在直角坐標(biāo)下：二、運(yùn)動微分方程在直角坐標(biāo)下，不可壓縮流體的運(yùn)動微分方程：當(dāng)不可壓縮流體的粘度不變時，運(yùn)動微分方程為在直角坐標(biāo)下不可壓縮流體的運(yùn)動微分方程：

§6.2流動阻力及能量損失

真實流體是具有粘性的，當(dāng)流體微團(tuán)之間有相對運(yùn)動時相互間必產(chǎn)生粘性切應(yīng)力，對流體微團(tuán)運(yùn)動形成阻力，該阻力稱為流動阻力，要維持流動就必須克服阻力，使部分能量轉(zhuǎn)化為熱能而損耗掉，造成能量損失。按照流動的情況，阻力可分為沿程阻力和局部阻力。

一、沿程阻力和沿程能量損失

沿程阻力主要發(fā)生在流體與壁面、流體質(zhì)點之間的摩擦，沿程阻礙流體運(yùn)動，這就是沿程阻力。由沿程阻力造成的能量損失稱為沿程損失，常用單位重量流體的沿程損失用hf表示。沿程損失hf的單位為該流體的液柱高度。二、局部阻力和局部能量損失

局部阻力發(fā)生在流道邊界形狀急劇變化的地方（如彎管、過流截面突然變化），流體經(jīng)過這些局部區(qū)域時，流速大小和方向都發(fā)生劇烈變化，因而發(fā)生撞擊，產(chǎn)生旋渦等現(xiàn)象，造成質(zhì)點間發(fā)生劇烈摩擦和動量交換，這種阻力稱為局部阻力。由此造成的機(jī)械能損失稱為局部損失。單位重量流體的局部能量損失用hj表示,其單位為該流體的液柱高度。

因此總的能量損失為：

三、濕周和水力半徑1.濕周過流斷面周界上具有內(nèi)摩擦力存在的部分稱為濕周。通常僅考慮流體與固體接觸的周界長度，以X表示。所以，濕周就是在過流斷面上流體與固體邊界接觸的長度。2.水力半徑過流斷面面積與濕周之比稱為水力半徑，以Ｒ表示，即R=A/X。水力半徑的大小表示濕周對流動阻力的影響程度。水力半徑越大，相同過流斷面下，周界對流體的阻力越小。

英國科學(xué)家雷諾（Raynolds）于1883年通過實驗發(fā)現(xiàn)這兩種流動狀態(tài)的存在，試驗裝置如圖示。當(dāng)逐漸開啟玻璃管上的閥門時，同時使有色液流入管中，可以看到一條細(xì)線形狀的紅色液線（a），說明流體質(zhì)點是平穩(wěn)地沿管軸向運(yùn)動，而無橫向運(yùn)動，流動層次分明，這種流動狀態(tài)稱為層流。當(dāng)逐漸加大閥門開度，加大流速，當(dāng)流速達(dá)到某一值后，紅色液體不能維持直線而出現(xiàn)擺動(b)。

§5.3兩種流動狀態(tài)

隨著流速的繼續(xù)增大，紅色液體分散于整個管內(nèi)，表明流體流動有較強(qiáng)的橫向運(yùn)動，流體質(zhì)點處于無規(guī)則狀態(tài)運(yùn)動，這種流動狀態(tài)稱為紊流(c)。若以相反的程序進(jìn)行試驗，起初看不到紅色液線存在，說明流體在作紊流運(yùn)動。隨著流速逐漸減小，紅色波浪液線出現(xiàn)，回到（b）圖的形狀，最后回到（a）圖的形狀，流體又開始作層流運(yùn)動。

從試驗看出，流動狀態(tài)的轉(zhuǎn)化是因為流速大小的不同，流動狀態(tài)轉(zhuǎn)化時的平均流速稱為臨界流速，用Vc表示。由層流變到紊流時的臨界流速稱為上臨界流速，用Vcu

表示。由紊流變到層流時的臨界流速稱為下臨界流速，用Vcd表示。雷諾通過試驗發(fā)現(xiàn)相同流體，當(dāng)溫度不同時臨界流速不相同；當(dāng)管徑不同時，臨界流速也不一樣。

雷諾發(fā)現(xiàn)層流到紊流間的臨界狀態(tài)可用一無因數(shù)來判別，即：

稱為雷諾數(shù)。下臨界雷諾數(shù)：上臨界雷諾數(shù)：

上臨界雷諾數(shù)不是一個固定值，它與實驗條件很有關(guān)系，或更高。當(dāng)則為層流，為紊流，則為過渡區(qū)。當(dāng)流體在園管中流動時，流動狀態(tài)一般情況下用下臨界雷諾數(shù)判別，即：

為層流

為紊流

雷諾數(shù)反映了慣性力與粘性力的對比關(guān)系，雷諾數(shù)愈小表明粘性力占優(yōu)勢，雷諾數(shù)越大表明慣性力占優(yōu)勢。在雷諾實驗中，用U型管差壓計測量了兩過流斷面的壓差，壓差隨平均流速的變化，繪制在雙對數(shù)坐標(biāo)中，如圖示。

由此可見：

這說明層流中與紊流中的是不一樣的?！?.3圓管中的不可壓縮流體的定常層流運(yùn)動

由雷諾試驗發(fā)現(xiàn)，層流時液體質(zhì)點互不干擾，分層向前運(yùn)動。因此，流體在圓管中作層流流動時僅存在軸向流速，且軸對稱，如圖示。

一、截面上的流速分布

沿流動方向，建立的平衡方程：

變形整理得：

令

則：根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定律，有：積分得：當(dāng)時，即：

上式表明圓管中層流過水?dāng)嗝嫠俣妊匕霃椒较虺蕭佄锞€分布。當(dāng)r=0時過流斷面上的流量Q等于:平均流速V等于

利用柱坐標(biāo)的常粘度不可壓縮流體定常流動微分方程求過流斷面速度分布：

由于只有軸向速度，根據(jù)連續(xù)性方程，有：根據(jù)層流在圓管內(nèi)的流動特點，流動為軸對稱，uz僅是r的函數(shù)，運(yùn)動方程可簡化為：當(dāng)r=0時，uz是有限值，故C1=0。當(dāng)r=R時，uz=0。因此，C2為：令：代入得：二、動能修正系數(shù)

由于過流斷面上速度呈某種分布規(guī)律，用分布速度確定的總動能與用平均速度確定的總動能必然存在差別，而習(xí)慣上用平均速度來表示總功能，需要進(jìn)行修正。分布速度確定的動能為：

平均速度確定的動能為：動能修正系數(shù)α為：三、沿程損失

平均速度：故沿程損失為：

令，稱為沿程阻力系數(shù)，上式變?yōu)椋?/p>

例1:兩個共軸的圓柱面間有密度為ρ、動力粘度為μ的不可壓縮粘性流體，如圖所示。內(nèi)柱面繞軸以ω1逆時針旋轉(zhuǎn)，外柱面以繞軸以ω2順時針旋轉(zhuǎn)，軸向無運(yùn)動，試求流動的速度分布和圓柱體單位長度的扭矩。設(shè)運(yùn)動是定常的，不計外力。

解：根據(jù)題意，uz=0。當(dāng)兩圓柱間的流體作層流運(yùn)動時，ur=0，且為軸對稱流。因此，有根據(jù)連續(xù)性方程：得，uθ僅是r的函數(shù)。根據(jù)運(yùn)動方程，有：可簡化得當(dāng)r=r1時uθ=r1ω1，r=r2時uθ=-r2ω2。因此，有：求扭矩：

例2：μ＝0.005(N·s)／m2的油在環(huán)狀縫隙中流動，如圖所示。巳知。r1＝0.02m，r2＝0.01m，若外壁的剪切應(yīng)力為40N／m2，試計算：(1)每米長環(huán)狀縫隙的壓力降；(2)每秒鐘流量；(3)流體作用在長度為L的內(nèi)壁上的軸向力。

解：根據(jù)題意，當(dāng)流體在兩圓柱間沿軸向的作層流運(yùn)動時，uθ=0，ur=0。因此，有根據(jù)連續(xù)性方程：得，uz僅是r的函數(shù)。根據(jù)運(yùn)動方程，有：可簡化得：因此僅是z的函數(shù)。當(dāng)r=r1時uz=0，r=r2時uz=0

。因此，有：根據(jù)已知條件，外壁的剪切應(yīng)力為40N／m2，因此：每米長環(huán)狀縫隙的壓力降為：每秒鐘流量流體作用在長度為L的內(nèi)壁上的軸向力為§6.4平行板間不可壓縮流體的定常層流運(yùn)動一、速度分布

如圖所示，上板以的速度運(yùn)動，下板不動，上下板間距為，板寬很大，可作為一元流動。建立坐標(biāo)如圖示。根據(jù)連續(xù)性方程:

uy和uz等于零，故:根據(jù)運(yùn)動方程：

X方向：

Y方向：

在X方向的方程中，左端等于零（定常）,右端有：方程變?yōu)椋?/p>

因Y方向無運(yùn)動，與y無關(guān)，對上式積分得：

當(dāng)時y=0，ux=0；y=h，ux=U。因此c2=0，c1為：

討論：1.當(dāng)而時，僅上平板拖動而產(chǎn)生流動，為剪切流動，其流速分布為線性分布。單位寬度的流量為：平均流速為。

2.當(dāng)而時，為壓差流，即：

二、動能修正系數(shù)

對于壓差流，動能修正系數(shù)有：三、沿程損失

對于壓差流，沿程損失系數(shù)有：沿程阻力系數(shù)。

例1:試導(dǎo)出如圖所示的兩固定平行板間兩層流體在壓力梯度為：的情形下定常層流的速度分布。

解：根據(jù)題意，僅在X方向有流速，故uy和uz等于零。根據(jù)連續(xù)性方程:

得：

根據(jù)運(yùn)動方程：

X方向：

Y方向：在X方向的方程中，左端等于零（定常）,右端有：

故方程簡化為：當(dāng)上述方程用于密度為ρ1和ρ2的流體時，有：

積分得：

當(dāng)時y=0，ux2=0；y=2b，ux1=0；y=b，ux1=ux2，τ1=τ2。因此,c4=0，其余積分常數(shù)由下列方程組確定

解上述方程組，得積分常數(shù)：代入常數(shù)到對應(yīng)方程中：§6.5不可壓縮流體的定常降膜流動分析

降膜流動是靠重力產(chǎn)生的，與前面圓管內(nèi)流動和平板間流動相比，其特點是液膜的一側(cè)與大氣接觸，為典型的液—氣邊界條件；由于液膜的一側(cè)與大氣接觸，故沿流動方向沒有壓力差。降膜流動在濕壁塔、冷凝器、蒸發(fā)器以及產(chǎn)品涂層方面有廣泛的應(yīng)用。一、傾斜平板上的降膜流動

如圖所示，流體在傾斜平板上作降膜流動。液膜厚度為δ，表面為自由截面（液面與大氣接觸的面）。液膜沿x軸方向作一維層流流動，速度為ux，在y、z方向的速度均為零。主流方向(x軸正向)與重力加速度g方向之間的夾角為β。液膜厚度δ遠(yuǎn)小于平板的寬度和長度，故可忽略端部效應(yīng)影響，將流動視為充分發(fā)展的。

由于液膜僅沿x軸方向作一維層流流動，根據(jù)不可壓縮流體連續(xù)性方程有：根據(jù)不可壓縮常粘度流體的運(yùn)動方程可簡化為：由于液膜的一側(cè)與大氣接觸，沿流動方向沒有壓力差，即，。故解x方向的運(yùn)動方程解y方向的運(yùn)動方程，得：

當(dāng)時y=0，ux=0；y=δ，τx=0。因此,c3=0，C2為：最大流速：平均流速：流量：

例1：如圖所示，一不可縮流體從傾斜角600的平面穩(wěn)定流下，其自由面速度為0.5m/s，試計算液膜的厚度δ。該液體密度ρ＝1020kg/m3,動力粘度μ＝7.2×10-3(N.s)／m3。

解：由于液膜僅沿x軸方向作一維層流流動，根據(jù)不可壓縮流體連續(xù)性方程有：根據(jù)不可壓縮常粘度流體的運(yùn)動方程，可簡化為：由于液膜的一側(cè)與大氣接觸，沿流動方向沒有壓力差，即，。故積分y方向的運(yùn)動方程:積分x方向的運(yùn)動方程當(dāng)時y=0，ux=0；y=δ，τx=0。因此,c3=0，C2為：

當(dāng)時y=δ，ux=U=0.5m/s

。因此二、豎直圓管外壁的降膜流動

如圖所示，不可壓縮流體在豎直圓管外壁作充分發(fā)展的層流降膜流動。圓管外壁半徑R，液膜厚度為δ。降膜流動時流動方向上壓力不變，且對于豎直管壁，重力方向與流動方向一致。對不可壓縮常粘度流體，作充分發(fā)展的層流降膜流動時的運(yùn)動微分方程為：

由于液膜僅沿z軸方向一維層流流動，ur和uθ為零，。根據(jù)不可壓縮流體連續(xù)性方程

有：，uz僅是r的函數(shù)。

r和θ方向的運(yùn)動微分方程為零，z方向的運(yùn)動微分方程簡化為：積分微分方程，得：

當(dāng)r=R時uz=0，r=R+δ時τz=0

。因此，有：最大流速：流量：平均流速：

例1：粘性流體沿垂直圓筒表面以穩(wěn)定的層流流下，如圖所示。試寫出該流動的速度分布。該液體的密度和動力粘度分別為ρ和μ。§6.6雷諾方程和雷諾應(yīng)力

在雷諾實驗中觀察到，當(dāng)流動為紊流時某一固定空間點的運(yùn)動參量（流速，壓力等）大小和方向也隨時間變化，若用精密靈敏的儀器（LDV）測量某固定點瞬時速度，便可觀測到該點瞬時速度的各分量隨時間是變化的(如圖示)，其它運(yùn)動參量也隨時間而發(fā)生波動，這種現(xiàn)象稱為脈動現(xiàn)象。

瞬時速度u與平均速度存在差別，其差值稱為脈動速度，用表示，可見瞬時速度為：

類似地，某點的壓強(qiáng)的時均值為：

瞬時壓強(qiáng)可表示為：

若取時間間隔

T，瞬時速度在

T時間內(nèi)求平均值，即：

從頻率分析可知，脈動頻率在102與105之間，振幅小，小于對應(yīng)運(yùn)動參量均值的10%。脈動能量雖然小，但對流動卻起著決定性作用。在紊流運(yùn)動中，宏觀上流體質(zhì)點團(tuán)之間，通過脈動相互劇烈地交換質(zhì)量，動量和能量，從而產(chǎn)生紊流擴(kuò)散。一、時均化運(yùn)算法則

我們知道，紊流運(yùn)動極不規(guī)則，極不穩(wěn)定，每一點的速度隨時間和空間隨機(jī)地變化著。對于這類隨機(jī)現(xiàn)象，人們對每點每一瞬時的真實速度并不感興趣，而把注意力集中在時均運(yùn)動上。我們把流場中任意一點的瞬時物理量看作是平均值和脈動值之和，然后對納維爾—斯托克斯方程（N-S方程）進(jìn)行統(tǒng)計平均運(yùn)算，得到時均的雷諾方程。

1．2．3．4．5．6．7．二、不可壓縮流體的時均運(yùn)動微分方程1.不可壓縮流體的運(yùn)動微方程直角坐標(biāo)的N-S方程

：

（1）

（2）（3）

（4）

將式（1）分別乘ρux、ρuy、ρuz、后分別加到式（2）、（3）、（4）中，得運(yùn)動方程為：

2.時均運(yùn)動微分方程對上式進(jìn)行時均化運(yùn)算得：

把脈動項移到等式右邊，得：

仿照§4.3的方程，將脈動項寫為應(yīng)力形式，即令：用張量表示：故運(yùn)動方程改寫為：

顯然，除了流體分子的粘性應(yīng)力外，還多了由脈動所引起的應(yīng)力，這種新型應(yīng)力稱為紊流應(yīng)力或雷諾應(yīng)力，時均流動所滿足的方程稱為雷諾方程。應(yīng)當(dāng)指出，上述方程組是不封閉的，方程的個數(shù)只有四個，而未知數(shù)卻有十個，即三個速度分量，一個壓強(qiáng)分量和六個雷諾應(yīng)力分量。為了使方程組封閉，必須在雷諾應(yīng)力與時均速度間建立補(bǔ)充關(guān)系——紊流模型。

對于紊流模型，目前只有在均勻各向同性的紊流理論方面獲得了一些比較滿意的進(jìn)展。對各項同性紊流，有：

這樣，未知變量為五個，還需要建立補(bǔ)充關(guān)系。動壓強(qiáng)紊流動能§6.7普朗特混合長理論及無界固壁上的紊流運(yùn)動一、普朗特理論

為了求解雷諾方程，核心問題是建立雷諾應(yīng)力與時均速度之間的關(guān)系（紊流模型），從而使雷諾方程封閉，這里介紹一種最主要的半經(jīng)驗理論，它是普朗特提出的，稱為普朗特混合長理論。

為了簡單起見，我們僅考慮紊流的時均運(yùn)動是一維定常運(yùn)動的情形，此時：在紊流中取兩個平行于x軸的流體層，其邊界為：

由于y方向存在脈動速度

，液體層1和2之間將發(fā)生動量交換而產(chǎn)生紊流應(yīng)力。當(dāng)1層流體團(tuán)沿y軸下移落到2層，此時它和2層液體團(tuán)發(fā)生碰撞而傳遞動量，單位面積單位時間內(nèi)使2層得到的動量：

另一方面，2層內(nèi)流體團(tuán)沿y軸上移，進(jìn)入1層流體，使一層得到的動量：這樣單位時間內(nèi)和單位面積上液體層2內(nèi)動量改變對時間的平均值為：

于是

由于1層流團(tuán)進(jìn)入2層后產(chǎn)生沿x軸正向脈動速度：

2層流團(tuán)進(jìn)入1層后產(chǎn)生沿x軸負(fù)向脈動速度：

兩流團(tuán)沿相反的方向運(yùn)動，遠(yuǎn)離的結(jié)果就使得一部分空間空了出來，為了填補(bǔ)這個空間，于是便產(chǎn)生脈動速度。所以～同階，故有：令：

為比例常數(shù)。再令，稱為混合長，則：

因為

與

同號，故：二、無界平板上的紊流運(yùn)動

設(shè)無界平板

AB上充滿著不可壓縮粘性流體，流體在等壓條件下沿平板方向作定常流動，若板面上的切應(yīng)力為

，求紊流運(yùn)動的速度分布。如圖示，時均運(yùn)動速度與x無關(guān)，即：動量傳遞僅在y方向進(jìn)行。此時雷諾方程簡化為：

為了書寫方便起簡，將“—”省略。則：

積分后得：

當(dāng)y=0時，，且，則:

下面分兩種情況求上述方程。

1）.在固壁附近，

很小，而

較值大。此時，流體的流動狀態(tài)為層流狀態(tài)，稱為層流子層，這個區(qū)域的尺寸非常小。

2）.在層流子層外部區(qū)域，那里較

大幾十乃至成百上千倍，完全可以忽略粘性應(yīng)力作用，流動處于完全紊流狀態(tài)，這個區(qū)域稱為紊流核心區(qū)。

1．在層流子層區(qū)，

方程簡化為:

邊界條件y=0，ux=0，故C1=0，于是

對上式進(jìn)行無量綱化處理，令:

則：

設(shè)為層流與過渡區(qū)的邊界，其上的速度為，則：a是一個待定量。

2．紊流核心區(qū)由于遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于,故方程簡化為：

混合長不受粘性影響，則唯一有長度量綱的是y，于是假設(shè)則:

積分得:

當(dāng)

時，所以

上式中a和k為待定常數(shù)，由實驗確定。由上式可見紊流核心區(qū)的速度剖面為對數(shù)剖面，雖然該式為無界固壁附近的紊流運(yùn)動，但它揭示出來的紊流區(qū)域中的“對數(shù)速度分布”卻具有普遍意義。大量的實驗表明管、槽內(nèi)的速度分布滿足這個規(guī)律。

§6.8園管內(nèi)的紊流運(yùn)動

在工程中遇到不同的紊流運(yùn)動，園管內(nèi)的紊流運(yùn)動特別重要，應(yīng)用非常廣泛。而且它揭示的運(yùn)動規(guī)律對理解復(fù)雜運(yùn)動條件下的湍流運(yùn)動也很有幫助。現(xiàn)考慮離進(jìn)截面較遠(yuǎn)，速度剖面已經(jīng)穩(wěn)定，園管直徑為

D，流體的密度為ρ

，動力粘度為μ，流量為Q。

一、光滑園管中的紊流速度分布

尼古拉才對不可壓縮粘性流體在細(xì)長光滑園管內(nèi)的紊流運(yùn)動進(jìn)行了大量的實驗研究，實驗結(jié)果表明:

近壁粘性底層區(qū)：a=5；過渡區(qū)：k=0.2，a=5；紊流核心區(qū)：k=0.4，a=11.5。1.近壁粘性底層區(qū)2.過渡區(qū)()()3.紊流核心區(qū)()

與實驗結(jié)果完全重合，僅在附近，對數(shù)剖面與實驗結(jié)果相差較大，說明那已是過渡區(qū)和層流子層區(qū)。在紊流核心區(qū)的速度分布為：根據(jù)圓管的特點，圓管中心速度為最大，即：二、平均速度與的關(guān)系

由于層流底層和過渡區(qū)非常小，可近似用紊流核心區(qū)速度剖面代替。

三、沿程阻力公式令，則

因此

實驗結(jié)果為：

為了使用方便，尼古拉才建議下列經(jīng)驗公式：常用

紊流的速度剖面除上述對數(shù)曲線外，對光滑管還可以近似采用對數(shù)公式，當(dāng)時

這和實驗結(jié)果符合得很好。

一般可將紊流核心區(qū)的速度分布表示為：當(dāng)：

Re=4×104～1.1×105時，n=6；

Re=1.1×105～3.2×106時，n=7；

Re>3.2×106時，n=10。

例1：在直徑為0.6m的管中，假設(shè)湍流速度分布可近似表示為:

若距管壁0.15m處流體中的剪應(yīng)力為6.22N／m2，試計算在該點處的混合長度和湍流常數(shù)。流體的密度為918kg／m3。

解：根據(jù)普朗特混合長理論，在紊流核心區(qū)有例2：若湍流光滑管的流速分布規(guī)律為：C為與實驗有關(guān)的常數(shù)，試證明，

例3：有20℃的水分別以(1)6.1m／s、(2)0.61m／s的平均速度流經(jīng)直徑為102mm的水平光滑管道。試求r＝38mm處的速度、剪切應(yīng)力和混合長度。解：查表20℃的水的動力粘度μ=0.001pa.s，密度ρ=998.2kg/m31).平均流速6.1m／sRe>2000且在1.1×105～3.2×106區(qū)間，n=7。即：2).平均流速0.61m／sRe>2000且在1.1×105～3.2×106區(qū)間，n=6。即：工程流體力學(xué)第七章膨脹波和激波第七章膨脹波和激波本章主要內(nèi)容：馬赫波膨脹波激波§7-1馬赫波和馬赫角第七章膨脹波和激波§7-1馬赫波和馬赫角§7-1馬赫波和馬赫角弱擾動相對于氣體是以音速傳播的。馬赫波靜止氣體擾動傳遍全場§7-1馬赫波和馬赫角弱擾動相對于氣體是以音速傳播的。馬赫波亞音速氣流擾動傳遍全場§7-1馬赫波和馬赫角弱擾動相對于氣體是以音速傳播的。馬赫波音速氣流擾動在半個空間內(nèi)傳播§7-1馬赫波和馬赫角弱擾動相對于氣體是以音速傳播的