隨機(jī)變量的數(shù)字特征

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的概率分布反映了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，但是在實(shí)際問(wèn)題中，要確定一個(gè)隨機(jī)變量的分布不是一件容易的事情．在許多情況下，并不需要求出隨機(jī)變量的分布，只須知道從不同角度反映隨機(jī)變量取值特征的假設(shè)干個(gè)數(shù)字就夠了，這些數(shù)字就稱(chēng)為隨機(jī)變量的數(shù)字特征．本章將討論隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差、矩以及相關(guān)系數(shù)，它們?cè)诟怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)中起著重要的作用．第一節(jié)數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例1一臺(tái)機(jī)床加工某種零件，它加工出優(yōu)質(zhì)品、合格品和廢品的概率依次為0.2、0.7和0.1．如果出售優(yōu)質(zhì)品和合格品，每一個(gè)零件可分別獲利0.40元和0.20元；如果加工出一件廢品那么要損失0.10元．問(wèn)這臺(tái)機(jī)床每加工出一個(gè)零件，平均可獲利多少元？解以X表示加工出一個(gè)零件所獲得的利潤(rùn)，那么X的分布律為X－0.100.200.40

Y

0.10.70.2現(xiàn)假設(shè)該機(jī)床加工

個(gè)零件，其中廢品

件，合格品

件，優(yōu)質(zhì)品件，這里

.則這個(gè)零件可以獲得總利潤(rùn)為，平均每個(gè)零件可獲利為.其中，和分別是事件、和出現(xiàn)的頻率．當(dāng)很大時(shí)，，和分別接近于0.1、0.7和0.2，于是可以期望該機(jī)床加工出的每一個(gè)零件所獲得的平均利潤(rùn)為（元）上述結(jié)果稱(chēng)為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．定義1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為則稱(chēng)（要求此級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂） （1）為X的數(shù)學(xué)期望(或均值)．

例2設(shè)X服從參數(shù)為p的(0－1)分布，求X的數(shù)學(xué)期望．解

X的分布律為

X01

P1－pp.例3設(shè)，求．解

X的分布律為例4設(shè)，求．解

例510件產(chǎn)品中有2件次品，求任意取3件中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望．解以X表示任取3件中次品的個(gè)數(shù)，可取值為0,1,2，其分布律為因此.二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

例6設(shè)X在[a,b]上服從均勻分布，求E(X)．解

X的概率密度為

.例7設(shè)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求E(X)．定義2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(

x

),則稱(chēng)（要求此積分絕對(duì)收斂)為X的數(shù)學(xué)期望(或均值)．(2)解

.例10設(shè)，求．解.例11設(shè)X在區(qū)間(0,a)上服從均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望．解

X的密度為則.例12設(shè)X的概率密度為，求、．解

例13設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為求E(X)、E(XY)．定理2設(shè)隨機(jī)變量Z是X、Y的函數(shù)Z=g

(X,Y)；（1）若(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合密度為f(x,y)，則

.

（2）若(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量，聯(lián)合分布律為．則（5）解

.

四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（設(shè)、存在）

性質(zhì)1設(shè)C為常數(shù)，那么有E(C)=C．性質(zhì)2．性質(zhì)3．證只對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的情形來(lái)證明,離散型的證明從略．設(shè)(X,Y)的概率密度為f

(x,y)，則有性質(zhì)4若X、Y相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)．證只對(duì)連續(xù)型加以證明．設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y),關(guān)于X、Y的邊緣密度分別為fX(x)、fY(y).則有f(x,y)=fX(x)

fY(y)，于是例14設(shè)X與Y獨(dú)立，求．

思考題是否任何一個(gè)隨機(jī)變量都存在數(shù)學(xué)期望？請(qǐng)研究隨機(jī)變量X，其概率密度為解第二節(jié)方差

一、方差的定義定義3

D(X)=E{[X－E(X)]2}(6)稱(chēng)為隨機(jī)變量X的方差．稱(chēng)為X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差．二、方差的計(jì)算公式1．設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，分布律為則

.(7)2．設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為f(x),則

.（8）3． ．（9）證明如下例1設(shè)X服從參數(shù)為p的(0－1)分布，求D(X)．

X

0

1

p1－p

p解E(X)=p,

例2設(shè)，求D(X)．解，．.例3設(shè)X在[a,b]上服從均勻分布，求D(X)．解,例4設(shè)X服從參數(shù)為

的指數(shù)分布，求D(X)．解，．例5設(shè)，求D(X)．解,..三、方差的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)C為常數(shù)，則D(C)=0．證．性質(zhì)2.證.性質(zhì)3設(shè)X與Y相互獨(dú)立，則有

.

證例6設(shè)，求．解設(shè)服從參數(shù)為p的

分布，且相互獨(dú)立，則．于是

.例7設(shè)X與Y相互獨(dú)立，，，求．解

.例8設(shè)E(X)、D(X)均存在，且D(X)＞0，，求、．解

.稱(chēng)為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量．例9設(shè)相互獨(dú)立，并且具有相同的期望與方差，，求、、．解

...（11）為X與Y的相關(guān)系數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差．稱(chēng).（12）

.性質(zhì)1．．（a,b為常數(shù)）．性質(zhì)2，．性質(zhì)3若X與Y相互獨(dú)立，則．定義4稱(chēng)為X與Y的協(xié)方差，記作．（10）第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)例1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為

Y－101

X－1

1/81/81/8

01/801/811/81/81/8證明X與Y不相關(guān)，但X與Y不相互獨(dú)立．證

(X,Y)關(guān)于X

和Y的邊緣分布為

X－1

01

P3/82/83/8性質(zhì)4的充分必要條件是：存在常數(shù)a,b，使得=1．當(dāng)時(shí)，稱(chēng)X與Y不相關(guān)．由于即有,所以X與Y不相互獨(dú)立．Y－1

01P3/82/83/8

于是有因此，即X與Y不相關(guān)．...同理，于是．從而有，即X與Y不相關(guān)．解例2設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為驗(yàn)證X與Y不相關(guān)，但不相互獨(dú)立．例3設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為證明：X與Y不相關(guān)，但不相互獨(dú)立．證

,當(dāng)x=0,y=0時(shí)，，而，即有，所以X與Y不相互獨(dú)立．而，可見(jiàn)，所以X和Y不相互獨(dú)立．由于從而有，，即X與Y不相關(guān)．因此．解由于，而例4設(shè)，即(X,Y)的聯(lián)合密度為

求．稱(chēng)為X的偏度；X*的4階原點(diǎn)矩稱(chēng)為X的峰度．隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的3階原點(diǎn)矩定義5設(shè)X與Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，稱(chēng)E(X

k)為X的k階原點(diǎn)矩；稱(chēng)E{[X－E(X)]k}為X的k階中心矩；稱(chēng)E(X

kYl)為X與Y的k+l階混合原點(diǎn)矩；稱(chēng)E{[X－E(X)]k[Y－E(Y)]l}為X與Y

的k+l階混合中心矩．第四節(jié)矩第五章

大數(shù)定律與中心極限定理第一節(jié)大數(shù)定律定義1設(shè)為一隨機(jī)變量序列，a為一個(gè)常數(shù)，如果對(duì)于任意正數(shù)ε，都有,則稱(chēng){Yn}按概率收斂于a,記作（n→∞）．定理1（契比雪夫不等式）設(shè)E(X)=μ，D(X)=σ2，則對(duì)于任意正數(shù)ε，有，或 ．證令，則有，，由定理1有

，定理2（契比雪夫大數(shù)定律的特例）設(shè)相互獨(dú)立，且具有相同的數(shù)學(xué)期望E

(Xk

)=μ和方差

，則對(duì)于任意正數(shù)ε，

.證只就連續(xù)型進(jìn)行證明，設(shè)X的概率密度為f

(x)，則有因此有.定理2′(契比雪夫定理)設(shè)相互獨(dú)立，分別具有數(shù)學(xué)期望及方差并且方差是一致有上界的，即存在正數(shù)M，使得，，則對(duì)于任意正數(shù)ε，恒有

.定理3（伯努利定理）設(shè)nA

是在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，P(A)=p，則對(duì)任意正數(shù)ε，有

.證

．由定理1可得，于是有

.定理4（辛欽定理）設(shè)相互獨(dú)立，服從同一分布，期望E

(Xk)=μ存在，則對(duì)于任意正數(shù)ε，有

.證明略．此定理說(shuō)明，按概率收斂于μ=E(Xk)．進(jìn)一步有按概率收斂于．這是參數(shù)估計(jì)的理論基礎(chǔ)．第二節(jié)中心極限定理定義2設(shè)的分布函數(shù)依次為X的分布函數(shù)為F(x)．如果對(duì)于F(x)的每個(gè)連續(xù)點(diǎn)x，都有,則稱(chēng)隨機(jī)變量序列依分布收斂于X，記為

.定理5（獨(dú)立同分布中心極限定理）設(shè)相互獨(dú)立，服從同一分布，存在期望E

(Xk)=μ和方差，則

依分布收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，即對(duì)于Yn

的分布函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)x有

.

此定理說(shuō)明當(dāng)n很大時(shí)，Yn

近似服從N(0,1)，從而可知當(dāng)n很大時(shí)，近似服從．定理6（德莫佛—拉普拉斯定理）設(shè)隨機(jī)變量Yn~B(

n,p)

，則對(duì)于任意