2022年廣西壯族自治區(qū)南寧市百合中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2022年廣西壯族自治區(qū)南寧市百合中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.直線ρcosθ＝2關(guān)于直線θ＝對稱的直線方程為()A．ρcosθ＝－2B．ρsinθ＝2

C．ρsinθ＝－2

D．ρ＝2sinθ參考答案：B略2.高二某班共有學(xué)生56人，座號分別為1，2，3，…，56現(xiàn)根據(jù)座號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為4的樣本．已知4號、18號、46號同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個(gè)同學(xué)的座號是（）A．30 B．31 C．32 D．33參考答案：C【考點(diǎn)】系統(tǒng)抽樣方法．【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣原理求出抽樣間隔，由第一組抽出的學(xué)號得出每組抽出的學(xué)號是什么．【解答】解：根據(jù)系統(tǒng)抽樣原理得，抽樣間隔是=14，且第一組抽出的學(xué)號為4，那么每組抽出的學(xué)號為4+14（n﹣1），其中n=1、2、3、4；所以第二組抽取的學(xué)號為4+14×2=32．故選C．3.書架上有不同的語文書10本，不同的英語書7本，不同的數(shù)學(xué)書5本，現(xiàn)從中任選一本閱讀，不同的選法有()A.22種 B.350種 C.32種 D.20種參考答案：A【分析】從中任選一本閱讀，選擇的方法有三類，故選擇1本書的方法需要分三種情況討論，再利用加法原理解決問題.【詳解】解：由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，解決問題分成三個(gè)種類，一是選擇語文書，有10種不同的選法；二是選擇英語書，有7種不同的選法，三是選擇數(shù)學(xué)書，有5種不同的選法，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知，共有10+7+5＝22種不同的選法.【點(diǎn)睛】本題考查分類計(jì)數(shù)原理，本題解題的關(guān)鍵是看清楚完成一件事包含有幾類情況，計(jì)算出每一類所包含的基本事件數(shù)，進(jìn)而相加得到結(jié)果.4.一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是

（

）A. B．

C．

D．參考答案：D略5.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下面說法正確的是()（A）在(－2,1)上f(x)是增函數(shù)（B）在(1,3)上f(x)是減函數(shù)（C）當(dāng)時(shí)，f(x)取極大值（D）當(dāng)時(shí)，f(x)取極大值參考答案：D由圖象可知上恒有，在上恒有，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減則當(dāng)時(shí)，取極大值故選：D.

6.下圖中三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為20的幾何體的三視圖，則（

）A.6

B.8

C.4

D.12參考答案：C7.計(jì)算的結(jié)果是A B． C． D．參考答案：C略8.若等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，類似地，若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的公比為q，前n項(xiàng)積為Tn，則等比數(shù)列的公比為（

）A. B. C. D.參考答案：C∵在等差數(shù)列中前n項(xiàng)的和為的通項(xiàng),且寫成了

=a1+(n?1)×.所以在等比數(shù)列{}中應(yīng)研究前n項(xiàng)的積為的開n方的形式。類比可得=b1()n?1.其公比為.故選：C.9.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，若∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，則橢圓的離心率為（） A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】設(shè)|PF1|=t，則由∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，推出PQ|=t，|F1Q|=t，且F2為PQ的中點(diǎn)，根據(jù)橢圓定義可知|PF1|+|PF2|=2a用t表示，根據(jù)等邊三角形的高，求出2c用t表示，再由橢圓的離心率公式e=，即可得到答案． 【解答】解：設(shè)|PF1|=t， ∵|PF1|=|PQ|，∠F1PQ=60°， ∴|PQ|=t，|F1Q|=t， 由△F1PQ為等邊三角形，得|F1P|=|F1Q|， 由對稱性可知，PQ垂直于x軸， F2為PQ的中點(diǎn)，|PF2|=， ∴|F1F2|=，即2c=， 由橢圓定義：|PF1|+|PF2|=2a，即2a=t=t， ∴橢圓的離心率為：e===． 故選D． 【點(diǎn)評】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，離心率的求法，考查了學(xué)生對橢圓定義的理解和運(yùn)用． 10.定義在上的函數(shù),如果對于任意給定的等比數(shù)列,仍是等比數(shù)列,則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù):①;

②;

③;

④.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號為 （）A．①② B．③④ C．②④ D．①③

參考答案：D等比數(shù)列性質(zhì),,①;②;③;④.選D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè){an}是等比數(shù)列，且，，則{an}的通項(xiàng)公式為_______．參考答案：，【分析】先設(shè)的公比為，根據(jù)題中條件求出公比，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，解得，所以，因此，?故答案為，12.已知點(diǎn)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF2為正三角形，則橢圓的離心率是_________．

參考答案：13.以點(diǎn)C(-1，2)為圓心且與x軸相切的圓的方程為

；

參考答案：(x+1)2+(y-2)2=4略14.在底面是正方形的長方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為 .參考答案：

15.復(fù)數(shù)（2+i）·i的模為___________.參考答案：.16.等差數(shù)列,的前項(xiàng)和分別為,,若,則=

___

參考答案：17.定義在R上的奇函數(shù)f（x），對于?x∈R，都有，且滿足f（4）＞﹣2，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．參考答案：{m|m＜﹣1或0＜m＜3}【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)，然后用代換x便可得到，再用代換x便可得出f（x+3）=f（x），從而便得到f（x）是以3為周期的周期函數(shù)，這樣即可得到f（1）＞﹣2，，從而解不等式便可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：∵；用代換x得：；用代換x得：；即f（x）=f（x+3）；∴函數(shù)f（x）是以3為周期的周期函數(shù)；∴f（4）=f（1）＞﹣2，f（2）=﹣f（﹣2）=﹣f（﹣2+3）=﹣f（1）＜2；∴；解得m＜﹣1，或0＜m＜3；∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m＜﹣1，或0＜m＜3}．故答案為：{m|m＜﹣1，或0＜m＜3}．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1；（I）求橢圓的方程．（Ⅱ）若是橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B是橢圓的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積．（III）設(shè)點(diǎn)是橢圓上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接、，設(shè)的角平分線交橢圓的長軸于點(diǎn)，求的取值范圍．參考答案：（1）由已知得，，，解得所以橢圓方程為：…………4分（2）四邊形OABC為菱形,可得線段OB的垂直平分線為x=1,∴，……6分從而菱形OABC的面積為…………8分（3）由題意可知：=,=,…………10分設(shè)其中，將向量坐標(biāo)代入并化簡得：m（，……12分因?yàn)?，所以，……………?3分而，所以………………14分19.為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.（1）若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值為10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡.請對袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由.參考答案：（1）（?。?；（ⅱ）40；（2）選擇方案（20,20,40,40）.試題分析：（1）（?。┟?個(gè)球共有種方法，由題意得摸出2個(gè)球中一個(gè)為面值為50元，另一個(gè)為10元的，所以有種方法，所求概率為；（ⅱ）先確定隨機(jī)變量取法：20,60.再分別求對應(yīng)概率，列表得分布列，最后根據(jù)公式求數(shù)學(xué)期望（2）根據(jù)商場的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎勵額為60元，所以數(shù)學(xué)期望為60元.因此只能有兩個(gè)方案：（10,10,50,50），（20,20,40,40），這兩個(gè)方案的數(shù)學(xué)期望皆為60，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，即方差要盡可能小，計(jì)算兩者方差得選擇方案（20,20,40,40）.試題解析：（1）設(shè)顧客所獲的獎勵額為X，（ⅰ）依題意，得P（X＝60）＝＝，即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為.（ⅱ）依題意，得X的所有可能取值為20,60.P（X＝60）＝，P（X＝20）＝＝，即X的分布列為X

20

60

P

所以顧客所獲的獎勵額的期望為E（X）＝20×＋60×＝40（元）．（2）根據(jù)商場的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎勵額為60元．所以，先尋找期望為60元的可能方案．對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇（10,10,10,50）的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇（50,50,50,10）的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是（10,10,50,50），記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除（20,20,20,40）和（40,40,40,20）的方案，所以可能的方案是（20,20,40,40），記為方案2.以下是對兩個(gè)方案的分析：對于方案1，即方案（10,10,50,50），設(shè)顧客所獲的獎勵額為X1，則X1的分布列為X1

20

60

100

P

X1的期望為E（X1）＝20×＋60×＋100×＝60，X1的方差為D（X1）＝（20－60）2×＋（60－60）2×＋（100－60）2×＝.對于方案2，即方案（20,20,40,40），設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為X2

40

60

80

P

X2的期望為E（X2）＝40×＋60×＋80×＝60，X2的方差為D（X2）＝（40－60）2×＋（60－60）2×＋（80－60）2×＝.由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.考點(diǎn)：古典概型概率，數(shù)學(xué)期望及方差【方法點(diǎn)睛】古典概型中基本事件數(shù)的探求方法（1）列舉法.（2）樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.（3）列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.（4）排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.20.因改卷系統(tǒng)故障,不能進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,年級為了解某次高二年級月考數(shù)學(xué)測試成績分布情況,從改卷系統(tǒng)中抽取了部分學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖(圖19),又已知圖中從左到右各小長方形的面積之比為,且50-70分的頻數(shù)為8.(1)50-70分對應(yīng)的頻率是多少?本次抽取的樣本容量是多少?(2)測試成績達(dá)90分以上的為及格,試估計(jì)本次考試年級的及格率.(3)本次數(shù)學(xué)測試成績的中位數(shù)落在哪一個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)?請說明理由.圖19參考答案：答案(1)0.08;100;(4分)(2)0.52;(8分)(3)由題可知,落在各分?jǐn)?shù)段的頻數(shù)分別為:4,8,36,28,18,6,故落在90-110這個(gè)分?jǐn)?shù)段.(12分)21.已知函數(shù)（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期T；（2）求f（x）的最大值，并指出取得最大值時(shí)x取值集合；（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域.參考答案：（1）利用二倍角和輔助角公式化簡為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期；（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可得f（x）的最大值，以及取得最大值時(shí)x取值集合；（3）當(dāng)x∈[，]時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．解：函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2化簡可得：f（x）=1+2sinxcosx+1+cos2x﹣2=sin2x+cos2x=sin（2x+）（1）函數(shù)f（x）的最小正周期T=．（2）令2x+=，k∈Z，得：x=．∴當(dāng)x=時(shí)，f（x）取得最大值為．∴取得最大值時(shí)x取值集合為{x|x=，k∈Z}．（3）當(dāng)x∈[，]時(shí)，可得：2x+∈[，]，∴﹣1≤sin（2x+）≤∴≤sin（2x+）≤1．故得當(dāng)x∈[，]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇，1]．22.（本小題滿分12分）N