混沌與分形筆記

分形圖形生成手法主要有五類：實數相空間上的非線性映射、非線性微分方程求解、保守系統(tǒng)準則斑圖(quasi-regular-patterns)復域上各式廣義的朱麗亞集和芒德勃羅集'等勢面著色'方法，球面、雙曲面對稱圖形的動力學生成。迭代函數系統(tǒng)、分形插值和小波變換方法。林德梅葉形式語言方法。擴散置限凝聚模型、元胞自動機模型和自組織臨界性方法。科赫曲線構造過程：設E是單位長線段；0E］是E除去中間1/3的線段，而代之以底邊在被除去的線段上的等邊三角形的另外兩條邊所得到的圖形，它含四個線段。對E］中的四條線段重復上述操作，一直進行下去Fractal中最重要的概念就是dimension，不同于常規(guī)的一維、二維、三維。大都是分數維。叫做分形維數(fractaldimension):如果把曲線(或曲面或立體)等分為N個小的自相似的線段(小曲面，小立體)，每一段長度為s，則曲線的自相似維數D為DJ弓").log(1/s)通常是大于拓撲維數而小于歐幾里得維數的非整數維。1.拓撲維數(topologydimension)一個集合X的拓撲T就是由X的一些子集組合而成的集合，而這些子集的有限交合無限并還是屬于T。拓撲學是近代發(fā)展以來的研究連續(xù)性和連通性的一個數學分支，它也叫橡皮幾何學。拓撲學研究幾何圖形在一對一的雙方連續(xù)變換下不變的性質。拓撲學是幾何學的一個分支，但是這種幾何學又和通常的解析幾何不同。通常的解析幾何研究的對象是點、線、面之間的位置關系以及它們的度量性質。拓撲學對于研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關系都無關。舉例來說，在通常的平面幾何里，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果完全重合，那么這兩個圖形叫做全等形。但是在拓撲學里所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發(fā)生變化，也有可能在拓撲空間里是等價的。在拓撲學里沒有不能彎曲的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數。比如在橡皮膜上的兩條相交曲線，對橡皮膜施以拉伸或擠壓等形變，但在不破裂或折疊時，它們“相交”始終不變的，幾何圖形的這種性質稱為拓撲性質。一般說，對于任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，它的變換就是拓撲變換。就存在拓撲等價。球面不能拓撲成環(huán)面，所以球面和環(huán)面在拓撲學中是不同的曲面。畫在橡皮膜上的三角形，經過拉伸或擠壓可以變成一個圓，從拓撲學的觀點看，三角形和圓有相同的拓撲維數。對于任何一個海岸線，經過某些形變總可以變?yōu)閳A，因而海岸線與圓具有相同的拓撲維數(D)。在歐氏幾何中，圓作為一種曲線，它的歐幾里得維數D=1,所以海岸線的拓撲T E維數也是1?可以論證對一個幾何圖形，恒有D=D.和歐幾里得空間的維數是整數一樣，ET拓撲維數D的值也為整數。T拓撲維數也叫覆蓋維數(coveringdimension)。通俗地說，拓撲維數就是決定空間中任何一點位置所需要變量的數目。直線、曲線，乃至原盤的拓撲維數都是1,平面、曲面的拓撲維數都是2?決定一個物體的拓撲維數，一般用有限個最少可能的相交的開集來覆蓋它，能覆蓋此物體的每個點的最多數目的開集如果是n+1個，那么這個物體的拓撲維數D=n.T2?分形維數設想一個由三維空間內具有有限大小的點組成的集合，N是用來覆蓋這個集合內所有點所需的半徑為R的球體的最少個數，則這個最小數N是R的一個函數，記作N(R).顯然R越小則N越大，假設N(R)和Rd之間存在一個反比的關系，我們得到：d=-lim盹rNRTO一般難以直接計算，一般的可以通過計盒維數(Box-countingdimension)估計到它的一個上界，而且可以通過局部維數(點維數)(Local-dimension)估計到它的一個下界。在分形維數中有很多分數維，最有用的一種定義叫做相似維，記作D.s先拿直線來說，如果直線分成了N小段，每小段的長度是5。平面圖形等分成N個變長為5的多邊形。立體圖形等分成N個變長為5的立體圖形。1例如對Cantor三分集，N二2,5二§，則D=罷二晉?0^3091對于柯西曲線，N二4,5二3,則D=X=抖?126181對于sierpinskigasket的分形構造的前四步，N=3,5=—,則2D=iOH=iH?1^849上面都是精準自相似，然而在自然界，很多分形都是隨機分形，也就是此類分形具有隨機性。相似維數的計算是對精準的分形而言的。現(xiàn)對ISF法畫分形圖做一下介紹：對于一個坐標(x,y)，定義下面4個矩陣變換'0.83 0.03、0.030.86丿(X「+(0、(X)0<y'0.83 0.03、0.030.86丿(X「+(0、(X)0<y丿J.5丿1匕丿‘1.8219'J0.3239丿收斂點'0.2、0.21—0.25、(X「+(0、(X)00.23丿<y丿J.5‘1托丿'-0.5610'、1.7951,(—0.15(X「+(0、n(X)0<y丿、0.45丿1匕丿0.27'0.26丿(0.1551、0.6605丿(00、(X「+(0、n(X)0<00.17丿<y丿<0丿1y丿0.25(0、<0丿然后’初始時令(兀y)-(0'0)'按照T1-85%，T2-6%'T3—8%，T4-1%的概率’隨機選擇一個變換對該點進行操作，生成的點就是新的(X,y擇一個變換對該點進行操作，生成的點就是新的(X,y)。已知重復上述過程。得到圖如下:這些變換的實質就是把圖形轉移為另一個位置下的另一個尺度，經過變換以后的每個點都仍然在這個圖形內。不同的變換有著不同的作用。T1的作用很明顯：把該點移動到下一片小樹葉上相同的位置。我們用紅色的線條標注了對某個點連續(xù)三次T1變換的路徑。T2,T3的作用是，把這個點在整個大葉子上的位置“投射”到最底部的葉片上對應的位置，其中T2負責投射到左邊，T3負責投影到右邊。我們分別用藍色箭頭和綠色箭頭來演示T2和T3的軌跡。比如，對大葉片的左邊第三葉的中間某個點進行T2變換，得到左邊第一葉的左邊第三個更小的葉片的中間；如果再進行一次變換，則就變到了左邊第一葉的左邊第一葉。T3的作用也基本上類似，我就不再多說了。最后，T4的作用是把某個點初始化到(0,