混沌與分形筆記

分形圖形生成手法主要有五類(lèi)：實(shí)數(shù)相空間上的非線性映射、非線性微分方程求解、保守系統(tǒng)準(zhǔn)則斑圖(quasi-regular-patterns)復(fù)域上各式廣義的朱麗亞集和芒德勃羅集'等勢(shì)面著色'方法，球面、雙曲面對(duì)稱(chēng)圖形的動(dòng)力學(xué)生成。迭代函數(shù)系統(tǒng)、分形插值和小波變換方法。林德梅葉形式語(yǔ)言方法。擴(kuò)散置限凝聚模型、元胞自動(dòng)機(jī)模型和自組織臨界性方法。科赫曲線構(gòu)造過(guò)程：設(shè)E是單位長(zhǎng)線段；0E］是E除去中間1/3的線段，而代之以底邊在被除去的線段上的等邊三角形的另外兩條邊所得到的圖形，它含四個(gè)線段。對(duì)E］中的四條線段重復(fù)上述操作，一直進(jìn)行下去Fractal中最重要的概念就是dimension，不同于常規(guī)的一維、二維、三維。大都是分?jǐn)?shù)維。叫做分形維數(shù)(fractaldimension):如果把曲線(或曲面或立體)等分為N個(gè)小的自相似的線段(小曲面，小立體)，每一段長(zhǎng)度為s，則曲線的自相似維數(shù)D為DJ弓").log(1/s)通常是大于拓?fù)渚S數(shù)而小于歐幾里得維數(shù)的非整數(shù)維。1.拓?fù)渚S數(shù)(topologydimension)一個(gè)集合X的拓?fù)銽就是由X的一些子集組合而成的集合，而這些子集的有限交合無(wú)限并還是屬于T。拓?fù)鋵W(xué)是近代發(fā)展以來(lái)的研究連續(xù)性和連通性的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它也叫橡皮幾何學(xué)。拓?fù)鋵W(xué)研究幾何圖形在一對(duì)一的雙方連續(xù)變換下不變的性質(zhì)。拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，但是這種幾何學(xué)又和通常的解析幾何不同。通常的解析幾何研究的對(duì)象是點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系以及它們的度量性質(zhì)。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于研究對(duì)象的長(zhǎng)短、大小、面積、體積等度量性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系都無(wú)關(guān)。舉例來(lái)說(shuō)，在通常的平面幾何里，把平面上的一個(gè)圖形搬到另一個(gè)圖形上，如果完全重合，那么這兩個(gè)圖形叫做全等形。但是在拓?fù)鋵W(xué)里所研究的圖形，在運(yùn)動(dòng)中無(wú)論它的大小或者形狀都發(fā)生變化，也有可能在拓?fù)淇臻g里是等價(jià)的。在拓?fù)鋵W(xué)里沒(méi)有不能彎曲的元素，每一個(gè)圖形的大小、形狀都可以改變。例如，歐拉在解決哥尼斯堡七橋問(wèn)題的時(shí)候，他畫(huà)的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點(diǎn)和線的個(gè)數(shù)。比如在橡皮膜上的兩條相交曲線，對(duì)橡皮膜施以拉伸或擠壓等形變，但在不破裂或折疊時(shí)，它們“相交”始終不變的，幾何圖形的這種性質(zhì)稱(chēng)為拓?fù)湫再|(zhì)。一般說(shuō)，對(duì)于任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，它的變換就是拓?fù)渥儞Q。就存在拓?fù)涞葍r(jià)。球面不能拓?fù)涑森h(huán)面，所以球面和環(huán)面在拓?fù)鋵W(xué)中是不同的曲面。畫(huà)在橡皮膜上的三角形，經(jīng)過(guò)拉伸或擠壓可以變成一個(gè)圓，從拓?fù)鋵W(xué)的觀點(diǎn)看，三角形和圓有相同的拓?fù)渚S數(shù)。對(duì)于任何一個(gè)海岸線，經(jīng)過(guò)某些形變總可以變?yōu)閳A，因而海岸線與圓具有相同的拓?fù)渚S數(shù)(D)。在歐氏幾何中，圓作為一種曲線，它的歐幾里得維數(shù)D=1,所以海岸線的拓?fù)銽 E維數(shù)也是1?可以論證對(duì)一個(gè)幾何圖形，恒有D=D.和歐幾里得空間的維數(shù)是整數(shù)一樣，ET拓?fù)渚S數(shù)D的值也為整數(shù)。T拓?fù)渚S數(shù)也叫覆蓋維數(shù)(coveringdimension)。通俗地說(shuō)，拓?fù)渚S數(shù)就是決定空間中任何一點(diǎn)位置所需要變量的數(shù)目。直線、曲線，乃至原盤(pán)的拓?fù)渚S數(shù)都是1,平面、曲面的拓?fù)渚S數(shù)都是2?決定一個(gè)物體的拓?fù)渚S數(shù)，一般用有限個(gè)最少可能的相交的開(kāi)集來(lái)覆蓋它，能覆蓋此物體的每個(gè)點(diǎn)的最多數(shù)目的開(kāi)集如果是n+1個(gè)，那么這個(gè)物體的拓?fù)渚S數(shù)D=n.T2?分形維數(shù)設(shè)想一個(gè)由三維空間內(nèi)具有有限大小的點(diǎn)組成的集合，N是用來(lái)覆蓋這個(gè)集合內(nèi)所有點(diǎn)所需的半徑為R的球體的最少個(gè)數(shù)，則這個(gè)最小數(shù)N是R的一個(gè)函數(shù)，記作N(R).顯然R越小則N越大，假設(shè)N(R)和Rd之間存在一個(gè)反比的關(guān)系，我們得到：d=-lim盹rNRTO一般難以直接計(jì)算，一般的可以通過(guò)計(jì)盒維數(shù)(Box-countingdimension)估計(jì)到它的一個(gè)上界，而且可以通過(guò)局部維數(shù)(點(diǎn)維數(shù))(Local-dimension)估計(jì)到它的一個(gè)下界。在分形維數(shù)中有很多分?jǐn)?shù)維，最有用的一種定義叫做相似維，記作D.s先拿直線來(lái)說(shuō)，如果直線分成了N小段，每小段的長(zhǎng)度是5。平面圖形等分成N個(gè)變長(zhǎng)為5的多邊形。立體圖形等分成N個(gè)變長(zhǎng)為5的立體圖形。1例如對(duì)Cantor三分集，N二2,5二§，則D=罷二晉?0^3091對(duì)于柯西曲線，N二4,5二3,則D=X=抖?126181對(duì)于sierpinskigasket的分形構(gòu)造的前四步，N=3,5=—,則2D=iOH=iH?1^849上面都是精準(zhǔn)自相似，然而在自然界，很多分形都是隨機(jī)分形，也就是此類(lèi)分形具有隨機(jī)性。相似維數(shù)的計(jì)算是對(duì)精準(zhǔn)的分形而言的?，F(xiàn)對(duì)ISF法畫(huà)分形圖做一下介紹：對(duì)于一個(gè)坐標(biāo)(x,y)，定義下面4個(gè)矩陣變換'0.83 0.03、0.030.86丿(X「+(0、(X)0<y'0.83 0.03、0.030.86丿(X「+(0、(X)0<y丿J.5丿1匕丿‘1.8219'J0.3239丿收斂點(diǎn)'0.2、0.21—0.25、(X「+(0、(X)00.23丿<y丿J.5‘1托丿'-0.5610'、1.7951,(—0.15(X「+(0、n(X)0<y丿、0.45丿1匕丿0.27'0.26丿(0.1551、0.6605丿(00、(X「+(0、n(X)0<00.17丿<y丿<0丿1y丿0.25(0、<0丿然后’初始時(shí)令(兀y)-(0'0)'按照T1-85%，T2-6%'T3—8%，T4-1%的概率’隨機(jī)選擇一個(gè)變換對(duì)該點(diǎn)進(jìn)行操作，生成的點(diǎn)就是新的(X,y擇一個(gè)變換對(duì)該點(diǎn)進(jìn)行操作，生成的點(diǎn)就是新的(X,y)。已知重復(fù)上述過(guò)程。得到圖如下:這些變換的實(shí)質(zhì)就是把圖形轉(zhuǎn)移為另一個(gè)位置下的另一個(gè)尺度，經(jīng)過(guò)變換以后的每個(gè)點(diǎn)都仍然在這個(gè)圖形內(nèi)。不同的變換有著不同的作用。T1的作用很明顯：把該點(diǎn)移動(dòng)到下一片小樹(shù)葉上相同的位置。我們用紅色的線條標(biāo)注了對(duì)某個(gè)點(diǎn)連續(xù)三次T1變換的路徑。T2,T3的作用是，把這個(gè)點(diǎn)在整個(gè)大葉子上的位置“投射”到最底部的葉片上對(duì)應(yīng)的位置，其中T2負(fù)責(zé)投射到左邊，T3負(fù)責(zé)投影到右邊。我們分別用藍(lán)色箭頭和綠色箭頭來(lái)演示T2和T3的軌跡。比如，對(duì)大葉片的左邊第三葉的中間某個(gè)點(diǎn)進(jìn)行T2變換，得到左邊第一葉的左邊第三個(gè)更小的葉片的中間；如果再進(jìn)行一次變換，則就變到了左邊第一葉的左邊第一葉。T3的作用也基本上類(lèi)似，我就不再多說(shuō)了。最后，T4的作用是把某個(gè)點(diǎn)初始化到(0,