立體幾何中的排列組合問(wèn)題解法舉隅

立體幾何中的排列組合問(wèn)題解法舉隅立體幾何中的排列組合問(wèn)題在近年的高考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)的頻次較高，且常考常新.因?yàn)榻鉀Q這類問(wèn)題不僅要具備排列組合的有關(guān)知識(shí)，而且還要具備較強(qiáng)的空間想象能力.因而是一類既富思考情趣，又融眾多知識(shí)和技巧于一體且綜合性強(qiáng)、靈活性高、難度頗大的挑戰(zhàn)性問(wèn)題解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是明確形成幾何圖形的元素，并與排列組合形成對(duì)應(yīng)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為排列組合問(wèn)題，同時(shí)還要注意避免重復(fù)和遺漏.下面結(jié)合具體例子談?wù)勥@類問(wèn)題的求解方法，供參考.一、分步求解例1如果把兩條異面直線看成“一對(duì)”，那么六棱錐的棱所在的12條直線中，異面直線有（ ）A.12對(duì)B.24對(duì)C.36對(duì)D.48對(duì)解由于六棱錐的6條側(cè)棱交于一點(diǎn)，底面六邊形的6條邊共面，因而只能將側(cè)棱與底邊相搭配.第一步，從6條側(cè)棱中任取一條有c6種；第二步，從底面6條邊中與這條側(cè)棱不相交的 4條邊中任取一條有c4種，由乘法原理知有c1c1=24對(duì)，故選B.64二?分類求解例2四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)與各棱的中點(diǎn)中取3點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同取法有（ ）A.30種B.33種C.36種D.39種解符合條件的取法可分為兩類：①4個(gè)點(diǎn)（含A）在同一個(gè)側(cè)面上，有3C3305種；②4個(gè)點(diǎn)（含A）在側(cè)棱與對(duì)棱中點(diǎn)的截面上，有3種.由加法原理知不同取法共有33種，故選B.例3將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法種數(shù)是.

圖1解分三類：圖1如果用5種顏色有45種染色方法.5如果用4種顏色，只能是底面四邊形相對(duì)頂點(diǎn)同色.如圖1，如果A、C同色，只要考慮染S、A、B、D四頂點(diǎn)，有44種染法，而B(niǎo)、D同色仍有44種染法，用四色共有244種染法.5如果用3種顏色，A、C同色，B、D同色，只要考慮S、A、B三個(gè)頂點(diǎn)，有435種染法.由加法原理知共有45+244+43=420種染法.三、剔除求解例4四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，則不同的取法共有( )A.150種B.147種C.144種D.141種解從10個(gè)點(diǎn)中任取4點(diǎn)，有c種取法，再剔除掉共面的取法.共面的四點(diǎn)在四面體的某一個(gè)面內(nèi)，有c:種取法，4個(gè)面共有4c:種；②每條棱上的三個(gè)點(diǎn)與其對(duì)棱的中點(diǎn)四點(diǎn)共面，有6種；③由中位線構(gòu)成的平行四邊形(其兩組對(duì)邊分別平行于四面體相對(duì)的兩條棱)，它的4個(gè)頂點(diǎn)共面，有3種.故不共面的取法共有C’一4C4—6—3=141種，故選D.例5已知正方體ABCD-ABCD.(1)以正方體頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體有多少個(gè)？1111(2)從8個(gè)頂點(diǎn)中取出3個(gè)頂點(diǎn)，使至少有兩個(gè)頂點(diǎn)在同一棱上，其取法種數(shù)為多少？(3)過(guò)8個(gè)頂點(diǎn)中任兩點(diǎn)的直線與直線AB異面的有多少條?1解(1)從所有四點(diǎn)的組合中去掉共面的組合，6個(gè)表面四點(diǎn)共面，6個(gè)對(duì)角面四點(diǎn)共面.所以共有四面體C4-12=58個(gè).8

如圖2,ABD這樣的三點(diǎn)不能滿足題意，可以認(rèn)為這個(gè)三點(diǎn)組合與頂點(diǎn)A1對(duì)應(yīng)，正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)不合題意的三點(diǎn)組合.所以滿足題意的三點(diǎn)取法共有C3—8=48種.8在8個(gè)頂點(diǎn)取2個(gè)的組合中，去掉側(cè)面ABB1A】中的兩點(diǎn)組合有C:個(gè)，再去掉過(guò)A不在面ABBA內(nèi)的四條直線與過(guò)B的4條直線，還要去掉與之平行的DC.1 11 1所以共有C2-C2-4-4-1=13條.四、 構(gòu)造模型求解例6與空間不共面的四點(diǎn)距離相等的平面有多少個(gè)？解由題設(shè)條件，空間不共面的四點(diǎn)可構(gòu)成四面體，考慮四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在所求平面兩側(cè)的分布，易知當(dāng)所求平面位于三棱錐的頂點(diǎn)與底面之間時(shí)有4個(gè)；當(dāng)所求平面位于三棱錐相對(duì)棱之間時(shí)有3個(gè).故所求平面有7個(gè).例7在正方體八個(gè)頂點(diǎn)的所有連線中，有多少對(duì)異面直線？解構(gòu)造四面體求解，因?yàn)樗拿骟w的6條棱可構(gòu)成3對(duì)異面直線，從而只要求出正方體的八個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成幾個(gè)四面體即可，而這恰好是本文例5(1)，故可得到(C4-12)x3=174對(duì)異面直線.8五、 聯(lián)想有關(guān)命題求解例8以長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)中的任意3個(gè)為頂點(diǎn)的所有三角形中，銳角三角形的個(gè)數(shù)為( )A.0 B.6 C.8 D.24解聯(lián)想課本習(xí)題：“將正方體截去一角，求證：截面是銳角三角形.”易知從長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的另3個(gè)端點(diǎn)可構(gòu)成銳角三角形，長(zhǎng)方體有8個(gè)頂點(diǎn)，從而可構(gòu)成8個(gè)銳角三角形，故選C.六、綜合有關(guān)知識(shí)求解例9以一個(gè)正五棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有( )A.200個(gè)B.190個(gè)C.185個(gè)D.180個(gè)解正五棱柱共有10個(gè)頂點(diǎn)，若每四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)四面體，共可構(gòu)成C14=210個(gè)四面體，其中四點(diǎn)在同一平面內(nèi)的有三類：每一底面的5點(diǎn)中選4點(diǎn)的組合方法有2C4個(gè).55條側(cè)棱中的任意兩條棱上的四點(diǎn)有C2個(gè).5一個(gè)底面的一邊與另一個(gè)底面相應(yīng)的一條對(duì)角線平行（例如AB〃ER）,這樣共面的四點(diǎn)共有2C1個(gè).5故四面體的個(gè)數(shù)為C4-2C;-C5-2C5=180個(gè)，故選D.例10用正五棱柱的10個(gè)頂點(diǎn)中的5個(gè)頂點(diǎn)作四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)，共可得多少個(gè)四棱錐？解結(jié)合圖3,以不同類型的四棱錐的底面分類可得：以棱柱的底面為四棱錐底面的共有2C4C1個(gè).55以棱柱的側(cè)面為四棱錐底面的共有Cic個(gè).以棱柱的對(duì)角面為四棱錐底面的共有CiC1個(gè).以圖3中ABC1E1（為等腰梯形）為四棱錐底面的共有2C;C1個(gè).故可構(gòu)成的四棱錐共有2C4C5+C5C1+C1C1+2C5C1=170個(gè).例11以四棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐有多少個(gè)？解本題要討論底面的形狀，所求的答案與底面的形狀有關(guān).若底面不是梯形，也不