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極值的充分條件(1)當(dāng)AC

-B2>0

時(shí),函數(shù)f

(x,y)在(x0

,y0

)如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)?下面的定理部分地回答了這個(gè)問(wèn)題.根據(jù)定理1,具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn).但是函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn), 例如,

點(diǎn)(0,0)是函數(shù)

z

=

y2

-

x2的駐點(diǎn), 但函數(shù)在該點(diǎn)并無(wú)極值.定理2(充分條件)設(shè)函數(shù)z

=f

(x,y)在點(diǎn)(x0

,y0

)的某領(lǐng)域內(nèi)有直到二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

又fx

(

x0

,

y0

)

=

0,fxx

(

x0

,

y0

)

=

A,f

y

(x0

,y0

)=0.

令f

xy

(

x0

,

y0

)

=

B,

f

yy

(

x0

,

y0

)

=

C

.極值的充分條件(1)當(dāng)AC

-B2>0

時(shí),函數(shù)f

(x,y)在(x0

,y0

)極值的充分條件(1)

當(dāng)AC

-B2>

0

時(shí), 函數(shù)

f

(

x,

y)在(

x0

,

y0

)處有極值,

且當(dāng)A

>

0

時(shí)有極小值

f

(

x0

,

y0

);當(dāng)A

<0

時(shí)有極大值f

(x0

,y0

);當(dāng)

AC

-

B2

<

0

時(shí), 函數(shù)f

(

x,

y)在(

x0

,

y0

)

處沒(méi)有極值;當(dāng)

AC

-

B2

=

0

時(shí), 函數(shù)

f

(

x,

y)在(

x0

,

y0

)

處可能有極值, 也可能沒(méi)有極值.這個(gè)定理的證明參見(jiàn)本章第九節(jié).注:在定理2中,

如果

AC

-

B2

=

0,

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