概率論第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

FigureCharacteristicofRandomVariable

分布函數(shù)能完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律性,但實際應(yīng)用中，人們并不都需要全面考察隨機(jī)變量的變化情況，而只需知道它的某些數(shù)字特征即可.判斷棉花質(zhì)量時,既看纖維的平均長度

平均長度越長,偏離程度越小,質(zhì)量就越好;又要看纖維長度與平均長度的偏離程度；例如：引入：考察一射手的水平,既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高,還要看他彈著點的范圍是否小,即數(shù)據(jù)的波動是否小.由上面例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖不能完整地描述隨機(jī)變量，但能清晰地描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征，這些數(shù)字特征在理論和實踐上都具有重要意義.

r.v.的平均取值——數(shù)學(xué)期望

r.v.取值平均偏離均值的情況

——方差描述兩r.v.間的某種關(guān)系的數(shù)

——協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本章內(nèi)容隨機(jī)變量某一方面的概率特性都可用數(shù)字來描寫第一節(jié)數(shù)學(xué)期望一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)試問哪個射手技術(shù)較好?引例乙射手甲射手一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望解平均起來甲射手每槍擊中9.3環(huán),乙射手每槍擊中9.1環(huán).因此甲射手的本領(lǐng)要高一些.定義4.1：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為或若級數(shù)絕對收斂，即則稱為X的數(shù)學(xué)期望(簡稱期望)或均值，記為E(X)

即注：1、隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望完全是由它的概率分布確定的。且否則，稱隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望不存在．2、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個實數(shù)，不是隨機(jī)變量．10例1：已知X

的分布律為－2-101

0.10.40.30.2解：E(X)=(-2)×0.1+(-1)×0.4+0×0.3+1×0.2=-0.4

解

①分布律為：X0123P0.30.40.20.1②平均廢品數(shù)為：定義4.2

：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)

為f(x)，若積分2、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望絕對收斂，即：則稱積分值為X的數(shù)學(xué)期望(簡稱期望)或均值，記為E(X)

即例4：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為試求X的數(shù)學(xué)期望解看書本P669常見分布(0-1)分布二項分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布數(shù)學(xué)期望E(X)pnp3常見分布的數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理4.1：設(shè)X是隨機(jī)變量，Y=g(X)是X的連續(xù)函數(shù)，則有(1)若X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為若無窮級數(shù)收斂，則Y的數(shù)學(xué)期望為：定理4.1：設(shè)X是隨機(jī)變量，Y=g(X)是X的連續(xù)函數(shù)，則有(2)若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為若積分收斂，則Y的數(shù)學(xué)期望為：18例6：已知X

的分布律為－2-101

0.10.40.30.2解：E(X2)=(-2)2×0.1+(-1)2×0.4+02×0.3+12×0.2=119例7：設(shè)隨機(jī)變量解：,求E(X2)

(3)如果(X,Y)為離散型隨機(jī)向量，其聯(lián)合分布律為

P{X=xi，Y=yj}=pij

i,j

=1,2,3,…,如果則Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為(4)設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量，它的聯(lián)合概率密度為f(x,y),若收斂,

則Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為：例8已知(X,Y)的聯(lián)合分布律如下，Z=XY,求E(Z)XY01120.10.150.250.15解：30.250.1E(Z)=1×0×0.1+2×0×0.15+3×0×0.25+1×1×0.25+2×1×0.15+3×1×0.1=0.85解

1、E(C)=C2、E(aX

)=aE(X)3、E(X+Y)=E(X)+E(Y)4、當(dāng)X,Y獨(dú)立時，E(XY)=E(X)E(Y).常數(shù)三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)注：在性質(zhì)4中，X與Y相互獨(dú)立是充分而非必要條件。E(XY)=E(X)E(Y)成立，但X與Y不一定獨(dú)立。26例10：已知X

的分布律為－2-101

0.10.40.30.2解：今日作業(yè)

P66：1(D(X)不求)12131.隨機(jī)變量方差的概念2.重要分布的方差第二節(jié)方差variance

3.方差的性質(zhì)(1)概念的引入1.隨機(jī)變量方差的概念

上一講我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個重要的數(shù)字特征.

但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的.

例如，某零件的真實長度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量10次，將測量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點表示如圖：

你認(rèn)為哪臺儀器好一些呢？乙儀器測量結(jié)果

甲儀器測量結(jié)果較好測量結(jié)果的均值都是a因為乙儀器的測量結(jié)果集中在均值附近又如,甲、乙兩門炮同時向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮因為乙炮的彈著點較集中在中心附近.

中心中心為此需要引進(jìn)另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.這個數(shù)字特征就是我們下面要介紹的方差2.方差的定義方差描述了隨機(jī)變量X取值對于均值的分散程度.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,則表示X的取值比較集中,以E(X)作為隨機(jī)變量的代表性好.說明：方差的意義離散型隨機(jī)變量的方差連續(xù)型隨機(jī)變量的方差(3)方差的計算

1)

利用定義計算

證明2)利用公式計算37例1：已知X

的分布律為－2-101

0.10.40.30.2解：E(X2)=(-2)2×0.1+(-1)2×0.4+02×0.3+12×0.2=1E(X)=(-2)×0.1+(-1)×0.4+0×0.3+1×0.2=-0.4D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1-0.16=0.84解練習(xí)于是二常見分布的方差常見分布(0-1)分布二項分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布數(shù)學(xué)期望E(X)pnp方差D(X)p(1-p)三、方差的性質(zhì)

（設(shè)D(X),D(Y)存在）(1)設(shè)C是常數(shù),則有(2)設(shè)X

是一個隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有(3)設(shè)X,Y是兩個隨機(jī)變量，則有

解

由期望與方差的性質(zhì)可得

解于是作業(yè)：P671516一、協(xié)方差二、相關(guān)系數(shù)第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

CovarianceandCorrelationcoefficient

三、獨(dú)立性與不相關(guān)四、

矩的概念由方差的性質(zhì)證明中我們知道，若X與Y相互獨(dú)立，則換句話說就是：若則X與Y不獨(dú)立。這表明在一定程度上反映了二維隨機(jī)變量(X,Y)的分量X與Y之間的某種相互關(guān)系。我們就把這種描述隨機(jī)變量X與Y相互關(guān)系的數(shù)字特征協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、協(xié)方差定義：設(shè)隨機(jī)變量X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差均存在，稱為X與Y的協(xié)方差.記為，即協(xié)方差的關(guān)系式協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身大小的影響.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)為了克服這一缺點，對協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù).二、相關(guān)系數(shù)定義：設(shè)隨機(jī)變量X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差均存在，且即相關(guān)系數(shù)，記為D(X)>0,D(Y)>0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)且(2)相關(guān)系數(shù)的意義oXYoooXXXYYY0<ρ<1-1<ρ<0ρ=1ρ=-1相關(guān)情況示意圖三、獨(dú)立性與不相關(guān)性注1)

相互獨(dú)立不相關(guān)

2)不相關(guān)的充要條件特例：獨(dú)立與不相關(guān)等價若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨(dú)立與X與Y不相關(guān)等價55

-10101

0.07

0.180.150.080.320.20例6:設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)聯(lián)合分布律為求解：X與Y分布律分別為