幾種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量

幾種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量2023/7/301第1頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月一、分布函數(shù)的定義及性質(zhì)由于為此我們引入隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念如下：定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。從而也就是說，可以通過分布函數(shù)，計(jì)算隨機(jī)變量落在任意一個(gè)區(qū)間的概率。2023/7/302第2頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月不加證明地給出分布函數(shù)的一些性質(zhì):(1)(單調(diào)性)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有(2)(有界性)(3)(右連續(xù)性)不可能事件必然事件2023/7/303第3頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例：若隨機(jī)變量X的分布律為則隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為2023/7/304第4頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月即分布函數(shù)的圖像如下：分布函數(shù)的圖像是一個(gè)右連續(xù)的階梯形。且在間斷點(diǎn)處的跳躍值等于X取這個(gè)值的概率。例如。。。2023/7/305第5頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月二、連續(xù)型隨機(jī)變量的定義及其概率密度的性質(zhì)

定義：設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，或密度函數(shù)，也稱概率密度。2023/7/306第6頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)：1.

2.從圖形上來看，性質(zhì)1表示X的概率密度f(x)位于x軸上方，性質(zhì)2表示f(x)與x軸所圍區(qū)域面積等于1.2023/7/307第7頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有從圖形上來看，性質(zhì)3表示X落在區(qū)域的概率等于相應(yīng)的曲邊梯形的面積。

4.若f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X來說，通過F(x)求導(dǎo)得f(x)，通過f(x)積分得F(x)。2023/7/308第8頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月5.連續(xù)型隨機(jī)變量取任一指定實(shí)數(shù)值的概率為零．即由性質(zhì)5，易得：注：對(duì)離散型隨機(jī)變量，上式不成立。2023/7/309第9頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例：若隨機(jī)變量X的概率密度為(1)求C的值；(2)X的分布函數(shù)；(3)P{X>1}.解：(1)由于，有得2023/7/3010第10頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)由，有即分段討論2023/7/3011第11頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)或2023/7/3012第12頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月幾種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布一、均勻分布定義：若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為則稱X服從上的均勻分布。記為意義：X“等可能”地取區(qū)間中的值，這里的“等可能”理解為：X落在區(qū)間中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的。即等長度，等概率。2023/7/3013第13頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月均勻分布的概率密度和分布函數(shù)圖形如下：分布函數(shù)：2023/7/3014第14頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例：設(shè)某公共汽車站從早上7:00開始每隔15分鐘到站一輛汽車，即7:00，7:15，7:30，7:45等時(shí)刻有汽車達(dá)到此站．如果一個(gè)乘客到達(dá)該站的時(shí)刻服從7:00到7:30之間的均勻分布．求他等待時(shí)間不超過5分鐘的概率．解：設(shè)X表示乘客到達(dá)該車站的時(shí)間，則乘客等待時(shí)間不超過5分鐘當(dāng)且僅當(dāng)他在7:10到7:15之間或在7:25到7:30之間到達(dá)車站．因此所求概率為2023/7/3015第15頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月思考設(shè)ξ在[-1，5]上服從均勻分布，求方程有實(shí)根的概率。解方程有實(shí)數(shù)根即而的密度函數(shù)為故所求概率為2023/7/3016第16頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月二、指數(shù)分布定義：若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為其中λ

>0,則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。記為X～E(λ)背景：在實(shí)際應(yīng)用中，到某個(gè)特定事件發(fā)生所需等待的時(shí)間往往服從指數(shù)分布．例如，從現(xiàn)在開始到下一次地震發(fā)生、到爆發(fā)一場新的戰(zhàn)爭、到一個(gè)元件的損壞、到你接到一次撥錯(cuò)號(hào)碼的電話等所需的時(shí)間，都服從指數(shù)分布．指數(shù)分布在排隊(duì)論、保險(xiǎn)和可靠性理論中有廣泛的應(yīng)用．2023/7/3017第17頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月分布函數(shù)：例：設(shè)某人到銀行取款時(shí)的排隊(duì)時(shí)間X(分鐘)服從指數(shù)分布，其概率密度為1.試確定常數(shù)λ;2.計(jì)算排隊(duì)時(shí)間超過10分鐘的概率;3.計(jì)算排隊(duì)時(shí)間在10分鐘到20分鐘的概率．2023/7/3018第18頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月解：1.由得：

2.

3.2023/7/3019第19頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例：

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為1.求常數(shù)A,B；2.

求X的概率密度函數(shù)。解：1.由分布函數(shù)的性質(zhì)：即所以又因?yàn)镕(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)

(事實(shí)上連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在任意點(diǎn)連續(xù))，所以即所以2023/7/3020第20頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月從而分布函數(shù)為

2.由密度函數(shù)和分布函數(shù)之間的關(guān)系，有2023/7/3021第21頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月指數(shù)分布的無記憶性：對(duì)于一個(gè)非負(fù)的隨機(jī)變量，如果對(duì)于一切s,t≥0，有則稱這個(gè)隨機(jī)變量具有無記憶性。直觀理解：若X表示儀器的壽命，那么上式說明:已知此儀器已使用t時(shí)，它總共能工作s+t小時(shí)的概率等于從開始使用時(shí)算起，它至少能工作s小時(shí)的概率．也就是說：它對(duì)之前工作過t小時(shí)無記憶。容易驗(yàn)證：指數(shù)分布是無記憶的。2023/7/3022第22頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月三、正態(tài)分布定義：若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為其中μ，為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為μ和的正態(tài)分布記為

正態(tài)分布最早由Gauss在研究測量誤差時(shí)所得到，所以正態(tài)分布又稱為Gauss分布。正態(tài)分布是概率論中最具有應(yīng)用價(jià)值的分布之一，大量的隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布．如人的身高、體重，氣體分子向任一方向運(yùn)動(dòng)的速度，測量誤差等許多隨機(jī)變量，都服從正態(tài)分布．大量相互獨(dú)立且有相同分布的隨機(jī)變量的累積也近似服從正態(tài)分布（第四章的大數(shù)定律和中心極限定理）2023/7/3023第23頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布的圖形具有如下特點(diǎn)：1.f(x)為關(guān)于x=μ的對(duì)稱鐘形曲線2.f(x)為在x=μ取得最大值μ，σ對(duì)概率密度曲線的影響2023/7/3024第24頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布的分布函數(shù)：特別地，當(dāng)時(shí)，稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。記為其概率密度為：相應(yīng)的分布函數(shù)記為：2023/7/3025第25頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月若則例：若2023/7/3026第26頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化定理：查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表概率計(jì)算：2023/7/3027第27頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例：若，試求：解：1.2.3.2023/7/3028第28頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)：設(shè)試計(jì)算解：2023/7/3029第29頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例：某零件寬度現(xiàn)規(guī)定限度是（1）求零件的廢品率。（2）若要求每100個(gè)產(chǎn)品中廢品不多于一個(gè)，可允許的最大值是多少？解：（1）正品率（2）設(shè)廢品率即正品率