函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)第1頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<01.定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)f/（x）>0,那么函數(shù)y=f(x)在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的增函數(shù);如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)f/（x）<0,那么函數(shù)y=f(x)在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的減函數(shù).一、知識(shí)回顧:如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù).第2頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月2.求函數(shù)單調(diào)性的一般步驟①求函數(shù)的定義域;②求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

f/（x）

;③解不等式f/（x）>0得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;解不等式f/（x）<0得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.第3頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)注用導(dǎo)數(shù)本質(zhì)及其幾何意義解決問題

3.思考：觀察下圖，當(dāng)t=t0時(shí)距水面的高度最大,那么函數(shù)h（t）在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是多少呢？此點(diǎn)附近的圖象有什么特點(diǎn)？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么變化規(guī)律？第4頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月二、新課講解——函數(shù)的極值:

1.

觀察右下圖為函數(shù)y=2x3-6x2+7的圖象,從圖象我們可以看出下面的結(jié)論:函數(shù)在X=0的函數(shù)值比它附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大，我們說f(0)是函數(shù)的一個(gè)極大值；函數(shù)在X=2的函數(shù)值比它附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都小，我們說f(2)是函數(shù)的一個(gè)極小值。x2y0第5頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月oaX1X2X3X4baxy如圖，函數(shù)y=f（x）在x1，x2，x3，x4等點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？Y=f（x）在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)附近，y=f（x）的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律？2.探索思考：第6頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月從而我們得出結(jié)論:若x0滿足f/(x)=0,且在x0的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào),則x0是f(x)的極值點(diǎn),f(x0)是極值,并且如果f/(x)在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”,則x0是f(x)的極大值點(diǎn),f(x0)是極大值;如果f/(x)在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”,則x0是f(x)的極小值點(diǎn),f(x0)是極小值.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.從曲線的切線角度看,曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0,并且,曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正,右側(cè)為負(fù);曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù),右側(cè)為正.第7頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月oaX00bxyoaX0bxy如上左圖所示,若x0是f(x)的極大值點(diǎn),則x0兩側(cè)附近點(diǎn)的函數(shù)值必須小于f(x0).因此,x0的左側(cè)附近f(x)只能是增函數(shù),即;x0的右側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù),即

同理,如上右圖所示,若x0是f(x)極小值點(diǎn),則在x0的左側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù),即;在x0的右側(cè)附近只能是增函數(shù),即.第8頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月三、例題選講:例1:求y=x3/3-4x+4的極值.解:令,解得x1=-2,x2=2.當(dāng)x變化時(shí),,y的變化情況如下表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)y’+0-0+y

↗極大值28/3↘極小值-4/3↗因此,當(dāng)x=-2時(shí)有極大值,并且,y極大值=28/3;而,當(dāng)x=2時(shí)有極小值,并且,y極小值=-4/3.第9頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月四.探索思考:

導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎?

可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是它導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),反之函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),不一定是該函數(shù)的極值點(diǎn).例如,函數(shù)y=x3,在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)為零,但它不是極值點(diǎn),原因是函數(shù)在點(diǎn)x=0處左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)都大于零.

因此導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)僅是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件,其充分條件是在這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào).第10頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

一般地,求函數(shù)y=f(x)的極值的方法是:(1):如果在x0附近的左側(cè)f/(x)>0右側(cè)f/(x)<0,那么f(x0)是極大值;(2):如果在x0附近的左側(cè)f/(x)<0右側(cè)f/(x)>0,那么f(x0)是極小值.解方程f/(x)=0.當(dāng)f/(x)=0時(shí):第11頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月x(-∞,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+∞)f’(x)+0--0+f(x)

↗極大值-2a↘↘極小值2a↗故當(dāng)x=-a時(shí),f(x)有極大值f(-a)=-2a;當(dāng)x=a時(shí),f(x)有極小值f(a)=2a.例2:求函數(shù)的極值.解:函數(shù)的定義域?yàn)榱?解得x1=-a,x2=a(a>0).當(dāng)x變化時(shí),,f(x)的變化情況如下表:第12頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)1:求函數(shù)的極值.解:令=0,解得x1=-1,x2=1.當(dāng)x變化時(shí),,y的變化情況如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(2,+∞)y’-0+0-y

↘極大值-3↗極小值3↘因此,當(dāng)x=-1時(shí)有極大值,并且,y極大值=3;而,當(dāng)x=1時(shí)有極小值,并且,y極小值=-3.第13頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月例3:已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b.(1)若函數(shù)f(x)在x=0,x=4處取得極值,且極小值為-1,求a、b的值.(2)若,函數(shù)f(x)圖象上的任意一點(diǎn)的切線斜率為k,試討論k≥-1成立的充要條件.解:(1)由得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,a=6.由于當(dāng)x<0時(shí),當(dāng)x>0時(shí),故當(dāng)x=0時(shí),f(x)達(dá)到極小值f(0)=b,所以b=-1.(2)等價(jià)于當(dāng)時(shí),-3x2+2ax≥-1恒成立,即g(x)=3x2-2ax-1≤0對一切恒成立.由于g(0)=-1≤0,故只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1.反之,當(dāng)a≥1時(shí),g(x)≤0對一切恒成立.所以,a≥1是k≥-1成立的充要條件.第14頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月例4:已知f(x)=ax5-bx3+c在x=1處有極值,且極大值為4,極小值為0.試確定a,b,c的值.解:由題意,應(yīng)有根,故5a=3b,于是:(1)設(shè)a>0,列表如下:x-1(-1,1)1+0—0+f(x)↗極大值↘極小值↗由表可得,即.第15頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)設(shè)a<0,列表如下:x-1(-1,1)1-0

≥00-f(x)↘極小值↗極大值↘由表可得,即.又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.第16頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)1:已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為10,求a、b的值.解:=3x2+2ax+b=0有一個(gè)根x=1,故3+2a+b=0.①又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②由①、②解得或當(dāng)a=-3,b=3時(shí),,此時(shí)f(x)在x=1處無極值,不合題意.當(dāng)a=4,b=-11時(shí),-3/11<x<1時(shí),;x>1時(shí),,此時(shí)x=1是極值點(diǎn).從而所求的解為a=4,b=-11.第17頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月第二課時(shí)第18頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月一、復(fù)習(xí):1.設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0及其附近有定義,如果f(x0)的值比x0

附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大,我們說f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都小,我們說f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極小值.極大值與極小值統(tǒng)稱極值.2.當(dāng)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)時(shí),判別f(x0)是極大(小)值的方法是:(1):如果在x0附近的左側(cè)右側(cè)那么,f(x0)是極大值;(2):如果在x0附近的左側(cè)右側(cè)那么,f(x0)是極小值.3.理解函數(shù)極值的定義時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):第19頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)函數(shù)的極值是一個(gè)局部性的概念,極值點(diǎn)是區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)而不會(huì)是端點(diǎn).(2)若f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值,那么f(x)在某區(qū)間內(nèi)一定不是單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值.(3)極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系,即極大值不一定比極小值大,極小值不一定比極大值小.(4)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值,它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的,相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn),同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn).一般地,當(dāng)函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)且有有限極值點(diǎn)時(shí),函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的.(5)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件,而不是充分條件.第20頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月(6)極值只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)或?qū)?shù)為零的點(diǎn)取到.4.確定函數(shù)的極值應(yīng)從幾何直觀入手,理解可導(dǎo)函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性與函數(shù)極值的相互關(guān)系,掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的基本方法.第21頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月例1:已知函數(shù)f(x)滿足條件:①當(dāng)x>2時(shí),;②當(dāng)x<2時(shí),;③.求證:函數(shù)y=f(x2)在處有極小值.證:設(shè)g(x)=f(x2),則故當(dāng)時(shí),x2>2,由條件①可知,即:當(dāng)時(shí),x2<2,由條件②可知,即:又當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),函數(shù)y=f(x2)取得極小值.為什么要加上這一步?第22頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月例3:已知:(1)證明:f(x)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn);(2)當(dāng)f(x)的極大值為1、極小值為-1時(shí),求a、b的值.解:(1)令,得-ax2-2bx+a=0,Δ=4b2+4a2>0,故有不相等的兩實(shí)根α、β,