高考數(shù)學命題的新視角-類比推理題

高考數(shù)學命題的新視角——類比推理題泉州五中數(shù)學組趙志毅類比是常見而重要的一種數(shù)學思想方法，它是指在新事物與已知事物之間的某些方面作類似的比較，把已經(jīng)獲得的知識、方法、理論遷移到新事物中，從而解決新問題。類比不僅是一種富有創(chuàng)造性的方法，而且更能體現(xiàn)數(shù)學的美感。（一）不同知識點之間的類比數(shù)學中的不同知識點在教材中是相對分散的，知識點之間的聯(lián)系需要教師通過自己的數(shù)學設計展示給學生，從而使得學生的概念圖網(wǎng)絡更加豐富和結構化。它不僅可以在知識復習中使用，也可以在新知識的學習中進行。1、立體幾何中的類比推理【例『】若從點O所作的兩條射線OM、ON上分別有點M］、M2與點N］、N2，則三角TOC\o"1-5"\h\zSOMON形面積之比為：嚴片=11若從點O所作的不在同一個平面內(nèi)的三條射線OP、SOMON叫竹22OQ和OR上分別有點P1、P2與點Q1、Q2和R1、R2，則類似的結論為：。VOVO—PQR~1F1VO—P2Q2R2-（證明略）-（證明略）-1—OPOQOR評注本題主要考查由平面到空間的類比。要求考生由平面上三角形面積比的結論類比得出空間三棱錐體積比的相應結論?！纠?】在ADEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2一2DF-EFcosZDFE.拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱ABC—￡BU的3個側面面積與其中兩個側面所成二面角之間的關系式，并予以證明?！痉治觥扛鶕?jù)類比猜想得出S2=S2+S2—2S-Scos9.其中9為AA1C1CABB1A1BCC1B1ABB1A1BCC1B1側面為ABBA與BCCB所成的二面角的平面角。1111證明：作斜三棱柱ABC—ABC的直截面DEF，則ZDFE為面ABBA與面BCCB1111111所成角，在ADEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2—2DF-EFcosZ9，同乘以AA2，1得

DE2?AA2=DF2?AA2+EF2?AA2一2DF?AA?EF?AAcosZ011111即S2=S2+S2一2S?Scos0?AA1C1CABB1A1BCC1B1ABB1A1BCC1B1評注本題考查由平面三角形的余弦定理到空間斜三角柱的拓展推廣，因為類比是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要源泉，因此平時的教學與復習中更要注意類比等思想方法的學習?！纠?】在平面幾何中有“正三角形內(nèi)任一點到三邊的距離之和為定值”，那么在立體幾何中有什么結論呢？解析“正三角形”類比到空間“正四面體”，“任一點到三邊距離之和”類比到空間為“任一點到四個面的距離之和”，于是猜想的結論為：正四面體內(nèi)任一點到其各面距離之和為定值。如圖1,設邊長為a的正三角形ABC內(nèi)任P到其三邊的距離分別為d、d、d,123將AABC分割成三個小三角形AAPB,ABPC,AAPC，則有—(d+d+d)=S123AABC即距離之和為正三形的高（定值）。類似地，如圖2,設棱長為a的正四面體A-BCD內(nèi)任一點PA-BCD內(nèi)任一點P到四個面的距離分別為1234D【例4】在平面幾何中，有勾股定理：設AABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2。拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可得出的正確結論是：“設三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則?！贝鸢笧镾2+S2+S2=S2°AABCAACDAADBABCD類比不僅可以提供探求新背景下結論的思路，而且也為尋求結論的證明提供方法上的指導。將平面圖形中的三角形與立體圖形中的多面體進行類比，使不同數(shù)學分支之間的知識得到了巧妙的溝通，也使解題過程得到美化，讓人有意猶未盡卻又順理成章的感覺。2、解析幾何中的類比推理【例5】已知兩個圓：X2+y2二1①與x2+(y—3)2二1②，則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程，將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，既要求得到一個更一般的命題，而已知命題要成為所推廣命題的一個特例，推廣的命題為【分析】將題設中所給出的特殊方程①、②推廣歸納到一般情況：設圓的方程為(X—a)2+(y—b)2二r2③與(x—c)2+(y—d)2二r2④，其中a豐c或b豐d，則由③式減去④式可得兩圓的對稱軸方程。評注本題通過類比推廣，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。3、數(shù)列中的類比推理【例6】定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。已知數(shù)列｛a｝，是等和n數(shù)列，且％=2，公和為5,那么a的值為，這個數(shù)列的前n項和S的計算公TOC\o"1-5"\h\z118n式為?！痉治觥坑傻群蛿?shù)列的定義，易知a—2,a—3(〃=1,2,...),故a=3-2n—12n18551當n為偶數(shù)時，S—n；當n為奇數(shù)時，S—n一^.n2n22評注本題以“等和數(shù)列”為載體，解決本題的關鍵是課本中所學的等差數(shù)列的有關知識及其數(shù)學活動的經(jīng)驗，本題還考查分類討論的數(shù)學思想方法。4、函數(shù)中的類比推理【例7】設函數(shù)f(x)—-，利用課本中推導等差數(shù)列前n項和公式的方法，可2x+12求得f(—5)+f(—4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值?！痉治觥看祟}得用類比課本中推導等差數(shù)列前n項和公式的倒序相加法，觀察每一個因式的特點，嘗試著計算f(x)+f(1—x):

???f(x)1,f(1???f(x)1,f(1-x)—亠=2；=娶21-x+y/22+\2?2x%■'2+2x2x2x+、：21+~2°2x???f(x)+f(1-x)=「2門「七發(fā)現(xiàn)f(x)+f(1—x)正好是個定值，?：2S——2~x12，?:S=31：2.評注此題依據(jù)大綱和課本，在常見中求新意，在平凡中見奇巧，將分析和解決問題的能力的老本放在了突出的位置。本題通過弱化或強化條件與結論，揭示出它與某類問題的聯(lián)系與區(qū)別并變更出新的命題。這樣，通過從課本出發(fā)，無論是對內(nèi)容的發(fā)散，還是對解題思維的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，從而有效于發(fā)展學生創(chuàng)新的思維。5、排列組合中的類比推理已知數(shù)列｛a｝(n為正整數(shù))的首項為①，公比為的已知數(shù)列｛a｝(n為正整數(shù))的首項為①，公比為的q等比數(shù)列。n1求和：(1)aC0-aCi+aC2;(2)aC0-aCi+aC2-aC3.12223213233343由(1)的結果，歸納概括出關于正整數(shù)n的一個結論，并加以證明。1)2)分析】本題由(1)的結論，通過大膽猜測，歸納猜想出一般性的結論：1)aC0—aC1+aC2—a—2aq+aq2—a(1—q)2,1222321111aC0—aC1+aC2—aC3—a—3aq+3aq2—aq3—a(1—q)3.1323334311111(2)歸納概括的結論為：若數(shù)列｛a｝是首項為a〔，公比為q的等比數(shù)列，則n1aC0—aC1+aC2—aC3++(—1)naCn—a(1—q)n.(證明略)1n2n3n4nn+1n1評注本題主要考查探索能力、類比歸納能力與論證能力，突出了創(chuàng)新能力的考查；通過抓住問題的實質(zhì)，探討具有共同的屬性，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。6、新定義、新運算中的類比【例9】若記號“*”表示兩個實數(shù)a與b的算術平均的運算，即a*b—竺+纟，貝I」兩邊均含有運算符號“*”和“+”，且對于任意3個實數(shù)a，b，c都能成立的一個等式可以是?！痉治觥坑捎诒绢}是探索性和開放性問題，問題的解決需要經(jīng)過一定的探索過程，并且a+b答案不惟一。這題要把握住a*b——，還要注意到試題的要求不僅類比推廣到三個數(shù)，而且等式兩邊均含有運算符號“*”和“+”，則可容易得到a+(b*c)=(a+b)*(a+c).正確的結論還有：(a*b)+c—(a*c)+(b*c),(a*b)+c—(b*a)+c等。

【例10】對于直角坐標平面內(nèi)的任意兩點A?人）、BW，叮，定義它們之間的一種“距離”||AB||Tx-xI+1y-丁21.給下列三個命題：①若點C線段AB上，則IIAC+||CB||=||AB||；②在AABC中，若ZC二90。，貝ijllAC2+||CBF=||AB||2；③在aabc中，IIAC+||cB||>IIABI|.其中真命題的個數(shù)為()A.0B.1C.2D.3【分析】對于直角坐標平面內(nèi)的任意兩點A?人）、Bq，y2）定義它們之間的一種'距離”：IIABII=1x-xI+1y-yI①若點C在線段AB上，設C點坐標為(x,y)，x在x、21210001x之間，y在y、y之間，則2012=|ac||+||cb||=|=|ac||+||cb||=|1+|y0-yj+lx-x20出y2-yJ=1l+^2-y」=1IAB.③在AABc中IACI+llCBI=lx0-xJ+ly0-yJ+lx2-xJ+ly2-yJ>l(x0一x1)+(x2-01)I+1(y0-y1)+(y2-y°)|=lx2-xJ十|y2-y」=IIABII01???命題①成立，命題③錯誤。而命題②在在aabc中，若則HACI2+||CB||2=|IABII2明顯不成立，選B。【例11】設P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意a、beP，都有a+b、a-b、ab、eP（除數(shù)b主0）則稱P是一個數(shù)域，例如有理數(shù)集Q是數(shù)域，數(shù)集bF={a+b叮21a，beQ}也是數(shù)域。有下列命題:整數(shù)集是數(shù)域；若有理數(shù)集Q匸M,則數(shù)集M必為數(shù)域;數(shù)域必為無限集；存在無窮多個數(shù)域。其中正確的命題的序號。（把你認為正確的命題的序號都填上）4【分析】①錯。4,5是整數(shù)，但5=0.&0.8不是整數(shù)。②錯。設M由有理數(shù)集合Q和元素兀組成，則1,兀wM，但是1+兀不屬于M。③正確。設a、beP，其中一個必定不等于零，設a主0，則a—a=0，所以0eP,-=1所以1eP，所以a0—1=—1,—1—1=—2,—2一1=—3，^.所有負整數(shù)都屬于P,而負整數(shù)有無窮多個，所以③正確。④正確。把數(shù)域F二｛a+b』2la，beQ｝中的心2改為“訂，違，門，…，仍是數(shù)域,有無窮多個。故應填③④。（二）數(shù)學知識與實際生活問題的類比學生在處理常規(guī)數(shù)學問題時較易上手，而對有生活背景的問題則“怵”。數(shù)學知識與生活問題本身存在這樣那樣的聯(lián)系，如果注意挖掘，那么對于培養(yǎng)學生的應用意識是十分有利的?！纠?2】從1樓到2樓總共有20級臺階，如果規(guī)定每步只能跨上一級或二級，問從1樓爬上2樓共有幾種不同的走法？解析這是生活中常見的一個問題，直接思考覺得走法太多，所以思考這個問題能否在數(shù)學中找到相應的模型，記上第i級臺階共有f種方法，若想上第20級臺階，則可從第18級i跨兩級或從第19級跨一級而到達，所以f=f+f，類似地f=f+f，…201819191718f二f+f.注意到f二1,f二2，運用以上遞推關系（斐波那契數(shù)列），逐項計算得1212f二10946，那上2樓共有10946種方法。20生活中的不少問題往往可以找到其數(shù)學根源，通過思考將這種聯(lián)系（數(shù)學模型）挖掘出來，就把生活中的問題與數(shù)學知識、方法進行了類比，有意識在引導或發(fā)現(xiàn)這種思考方法有利于增加學生的數(shù)學應用意識和解決實際問題的能力。（三）結束語講解雙曲線的性質(zhì)時常用橢圓的性質(zhì)來類比，講解等比數(shù)列的時候用等差數(shù)列來類比不僅數(shù)學知識如此，實際上惠更斯提出的波動說，就是與水波、聲波類比而受到的啟發(fā)。英國醫(yī)生詹納發(fā)現(xiàn)的種牛痘可以預防天花，就是從擠奶女工感染了牛痘而不患天花中得到啟發(fā)，從樹葉的鋸齒形狀發(fā)明了鋸，從雄鷹的飛起到制造飛機上天等，總之，類比思想方法博大精深，能夠收到嚴格邏輯推理所不能達到的效果，它能提高人們的數(shù)學素質(zhì)，改善思維品質(zhì)，既富有創(chuàng)造性，又讓人產(chǎn)生柳暗花明又一村的美感。導數(shù)的運用（福建泉州五中趙志毅）1．某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃建成一個矩形高科技工業(yè)園區(qū)，已知AB丄BC,OA〃BC,且AB=