三角函數(shù)公式及推導(dǎo)公式

三角函數(shù)公式定義式：銳角三角函數(shù)任意角三角函數(shù)圖形

直角三角形任意角三角函數(shù)正弦（sin）余弦（cos）正切（tan或tg）余切（cot或ctg）正割（sec）余割（csc）函數(shù)關(guān)系倒數(shù)關(guān)系：商數(shù)關(guān)系：平方關(guān)系：誘導(dǎo)公式公式一：設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：公式二：設(shè)為任意角，與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：公式三：任意角與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：公式四：與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：公式五：與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：運用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化三角函數(shù)的一般步驟：

特別提醒：三角函數(shù)化簡與求值時需要的知識儲備：①熟記特殊角的三角函數(shù)值；②注意誘導(dǎo)公式的靈活運用；③三角函數(shù)化簡的要求是項數(shù)要最少，次數(shù)要最低，函數(shù)名最少，分母能最簡，易求值最好?；竟胶筒罱枪蕉呛筒罟阶C明如圖，負(fù)號的情況只需要用-β代替β即可．cot(α+β)推導(dǎo)只需把角α對邊設(shè)為1，過程與tan(α+β)相同．證明正切的和差角公式證明正弦、余弦的和差角公式三角和公式和差化積口訣：正加正，正在前，余加余，余并肩，正減正，余在前，余減余，負(fù)正弦．積化和差倍角公式二倍角公式三倍角公式證明：sin3a=sin(a+2a)=sin^2a·cosa+cos^2a·sina=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina=3sina-4sin^3acos3a=cos(2a+a)=cos^2acosa-sin^2asina=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa=4cos^3a-3cosasin3a=3sina-4sin^3a=4sina(3/4-sin^2a)=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina]=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos^3a-3cosa=4cosa(cos^2a-3/4)=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述兩式相比可得：tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)四倍角公式sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)]cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4)五倍角公式n倍角公式應(yīng)用歐拉公式：

.上式用于求n倍角的三角函數(shù)時，可變形為：所以，其中，Re表示取實數(shù)部分，Im表示取虛數(shù)部分．而所以，n倍角的三角函數(shù)半角公式（正負(fù)由所在的象限決定）萬能公式輔助角公式

證明：由于

，顯然，且故有：三角形定理正弦定理詳見詞條：正弦定理在任意△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，三角形\t"_blank