第3課時(shí)利用三邊判定三角形相似

4.4

探究三角形相似的條件第3課時(shí)

利用三邊判定三角形相似第四章 圖形的相似導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過的三角形相似的判定定理.掌握利用三邊來判定兩個(gè)三角形相似的方法，并能進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.(重點(diǎn)、難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)入新課ABC2.證明三角形全等有哪些方法？你能從中獲得證明三角形相似的啟發(fā)嗎？DE復(fù)習(xí)引入1.什么是相似三角形？在前面的課程中，我們學(xué)過哪些判定三角形相似的方法？你認(rèn)為這些方法是否有其缺點(diǎn)和局限性？3.類似于判定三角形全等的SSS方法，我們能不能通過三邊來判定兩個(gè)三角形相似呢？講授新課三邊成比例的兩個(gè)三角形相似個(gè)三角形是否相似？合作探究畫

△ABC

和

△A′B′C′，使

A'

B'

=

B'C'

=

A'

C'

，AB

BC

AC動手量一量這兩個(gè)三角形的角，它們分別相等嗎？這兩ABCC′B′A′AC′

B

CB′A′通過測量不難發(fā)現(xiàn)∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因?yàn)閮蓚€(gè)三角形的邊對應(yīng)成比例，所以△ABC

∽△A′B′C′.

下面我們用前面所學(xué)得定理證明該結(jié)論.∴

AD

DE

AE

AB

BC AC==

.C′B′A′證明:在線段AB

(或延長線)上截取AD=A′B′，過點(diǎn)D

作DE∥BC

交AC于點(diǎn)E.∴

DE=B′C′，EA=C′A′.∴△ADE≌△A′B′C′，△A′B′C′

∽△ABC.∵

DE∥BC

，∴

△ADE

∽

△ABC.BCADE又

A'

B'

=

B'C'

=

A'

C'

，AD=A′B′，AB

BC

AC∴

DE

B'

C'，

AE

A'

C'

.=

=BC

BC

AC

AC由此我們得到利用三邊判定三角形相似的定理：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似．A￠B￠

B￠C￠

C￠A￠AB

=

BC

=

CA

，∵∴

△

ABC

∽

△A′B′C.符號語言：歸納總結(jié)例1

判斷圖中的兩個(gè)三角形是否相似，并說明理由．CAB33.54ED1.8F2.12.4典例精析解：在△ABC

中，AB

>BC

>CA，在△DEF中，

DE

>EF

>FD.A

BC33.54ED1.8F2.12.4，DE

2.4

EF

2.1∵

AB

=

4

=

0.6，BC

=

3.5

=

0.6CA

3FD

=

1.8

=

0.6，DE

EF

FD∴

AB

=

BC

=

CA

.∴

△ABC

∽

△DEF.判定三角形相似的方法之一：如果題中給出了兩個(gè)三角形的三邊的長，分別算出三條對應(yīng)邊的比值，看是否相等.注意：計(jì)算時(shí)最長邊與最長邊對應(yīng)，最短邊與最短邊對應(yīng).歸納總結(jié)(1)

AB

=3，

BC

=4，DE＝6，

EF＝8，AC＝6，DF＝9；否(2)

AB=4，

BC

=8，DE＝20，EF＝16，AC＝10，DF＝8；是(3)

AB=12，

BC=15，DE＝16，EF＝20，AC＝24，DF＝30.否練一練已知△ABC和△DEF，根據(jù)下列條件判斷它們是否相似.例2

如圖，在

Rt△ABC

與

Rt△A′B′C′中，∠C

=∠C

′=

90°，且

A'

B'

=

A'

C'

=

1

.

求證：△

A′B′C′∽△ABC.AB

AC

2證明：由已知條件得AB

=2

A′B′，AC

=2

A′C′，∴

BC

2

=

AB

2－AC

2

=

(

2

A′B′

)2－(

2

A′C′

)2

=

4

A′B′

2—4

A′C′

2

=

4

(

A′B′

2－A′C′

2

)

=

4

B′C′

2

=

(

2

B′C′

)2.∴△A′B′C′∽△ABC. (三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似)BC

2

AB

ACB

'C

'

1

A

'

B

'

A

'C

'∴

BC=2B′C′，

=

=

=

.=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE.∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°.比例的兩個(gè)三角形相似).∴∠BAC=∠DAE，∠BAC

－∠DAC∠BAD=20°，求∠CAE的度數(shù).例3

如圖，在

△ABC

和

△ADE

中，

AB

=

BC

=

AC

.AD

DE

AEABCDEAD

DE

AEAB

=BC

=AC

，∴△ABC

∽△ADE

(三邊成解：∵解：在△ABC

和△ADE

中，∵

AB

:

CD

=

BC

:

DE

=

AC

:

AE，

∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E.∴∠BAC－∠CAD

=∠DAE－∠CAD

，∴∠BAD=∠CAE.故圖中相等的角有∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.如圖，已知AB:AD=BC:DE=AC:AE，找出圖中相等的角(對頂角除外)，并說明你的理由.練一練ABCDE當(dāng)堂練習(xí)1.

如圖，若

△ABC∽△

DEF，則

x

的值為

(

C)ABCDEFA.

20 B.

27 C.

36 D.

452.如圖，在大小為4×4的正方形網(wǎng)格中，是相似三角形的是

(C)①②③④A.

①和②C.

①和③B.

②和③D.

②和④3.

如圖，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列結(jié)論正確的是A.

△PAB∽△PCAC.

△ABC∽△DBA(C)B.

△PAB∽△PDAD.

△ABC∽△DCACBPD∵

AB

:

BC

=BD

:AB

=AD

:AC，∴△ABC∽△DBA，故選C.A解析：設(shè)AP=PB=BC=CD=1，∵∠APD=90°，∴AB=

2

，AC=

5，AD=10.4.

根據(jù)下列條件，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似：AB=4cm

，BC

=6cm

，AC

=8cm，A′B′=12cm

，B′C′=18cm

，A′C′=21cm.答案：不相似.∴

△ABC∽△EFD.5.

如圖，△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)

分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，求證：△ABC∽△EFD．證明：∵△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，122

2∴

DE

=

1

AC，DF

=

1

BC，EF

=AB，∴DE

=

DF

=

EF

1AC

BC

AB

2=

，6.如圖，某地四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)A，B，C，D之間建有公路，已知AB

=14

千米，AD

=28

千米，BD

=21

千米，

DC

=31.5

千米，公路AB

與CD

平行嗎？