三角形內(nèi)角和定理 省賽獲獎(jiǎng)

7.5三角形內(nèi)角和定理第七章平行線的證明學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解并掌握三角形的外角的定義．（重點(diǎn)）2.掌握三角形內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論，利用這兩個(gè)推論進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明和計(jì)算．（難點(diǎn)）復(fù)習(xí)回顧三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.即：在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.ABC幾種變形:∠A=180°–(∠B+∠C).∠B=180°–(∠A+∠C).∠C=180°–(∠A+∠B).∠A+∠B=180°-∠C.∠B+∠C=180°-∠A.∠A+∠C=180°-∠B.這里的結(jié)論,以后可以直接運(yùn)用.導(dǎo)入新課問(wèn)題：在一個(gè)三角形花壇的外圍走一圈，在每一個(gè)拐彎的地方都轉(zhuǎn)了一個(gè)角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原來(lái)位置時(shí)（方向與出發(fā)時(shí)相同），一共轉(zhuǎn)了多少度？123講授新課三角形的外角ABCD三角形內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角．

每一個(gè)三角形都有2個(gè)外角，且每一個(gè)頂點(diǎn)處相對(duì)應(yīng)的外角都有2個(gè)，它們是互為對(duì)頂角。如圖.∠1是△ABC的一個(gè)外角,∠1與圖中的其他角有什么關(guān)系?ABCD1234

（1）∠1+∠4=180°

（2）∠1=∠2+∠3.（3）∠1>∠2；∠1>∠3；證明:∵∠1+∠4=180°(平角的定義)∴∠1=180°-∠4(等式的性質(zhì))

∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形內(nèi)角和定理),

∴∠2+∠3=180°-∠4(等式的性質(zhì))

∵

∠1=180°-∠4（已證）

∴∠1=∠2+∠3.(等量代換).∴∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).三角形內(nèi)角和定理的推論:定理:

三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.定理:

三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.像這樣,由一個(gè)基本事實(shí)或定理直接推出的定理,叫做這個(gè)基本事實(shí)或定理的推論.推論可以當(dāng)做定理使用.ABCD1234例1如圖,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求證:AD∥BC.ACDBE證明:∵∠EAC是△ABC的一個(gè)外角（已知）∴∠EAC=∠B+∠C(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和)∵∠B=∠C(已知)∴∠EAC=2∠C(等式的性質(zhì)).∵AD平分∠EAC(已知).∴∠EAC=2∠DAC(角平分線的定義).∴∠C=∠DAC(等量代換).∴AD∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).例2已知:如圖,在△ABC中,∠1是它的一個(gè)外角,E為邊AC上一點(diǎn),延長(zhǎng)BC到D,連接DE.求證:∠1>∠2.CABF1345ED2當(dāng)堂練習(xí)1.（河北·中考）如圖，在△ABC中，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠B=40°，∠ACD=120°，則∠A等于()A.60°B.70°C.80°D.90°【解析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，∠ACD=∠B+∠A，所以∠A=∠ACD-∠B=120°-40°=80°.C2.如圖，AB∥CD，則下列說(shuō)法正確的是()A.∠3=2∠1+∠2B.∠3=2∠1-∠2C.∠3=∠1+∠2D.∠3=180°-∠1-∠2【解析】∵AB∥CD，∴∠1=∠BCD，∠3是△COD的外角，∴∠3=∠2+∠BCD=∠2+∠1.C3.如圖，直線a∥b,則∠ACB=_______.【解析】延長(zhǎng)BC交直線a于點(diǎn)D，∵直線a∥b,∴∠ADC=∠B=50°.∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB=∠A+∠ADC=28°+50°=78°.78°4.如圖，已知CE為△ABC外角∠ACD的平分線，CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：∠BAC＞∠B.證明:∵CE平分∠ACD∴∠1=∠2∵∠BAC＞∠1∴∠BAC＞∠2∵∠2＞∠B∴∠BAC＞∠B布置作業(yè)