湖南省岳陽市汨羅城郊中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

湖南省岳陽市汨羅城郊中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列直線中，與曲線為參數(shù)）沒有公共點(diǎn)的是A. B. C. D.參考答案：C【分析】先將直線參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)方程判斷直線位置關(guān)系.【詳解】消去參數(shù)t，得：2x－y＝4，所以，與直線平行，即沒有公共點(diǎn).故選：C【點(diǎn)睛】本題考查直線參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程以及直線位置關(guān)系，考查基本分析判斷能力，屬基本題.2.拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離是10，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（9，6） B．（6，9） C．（±6，9） D．（9，±6）參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線的定義．【分析】先求出拋物線的準(zhǔn)線，再由P到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，從而可確定P的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程可確定縱坐標(biāo)，從而可確定答案．【解答】解：∵拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為：x=﹣1拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離是10，∴P到x=﹣1的距離等于10設(shè)P（x，y）∴x=9代入到拋物線中得到y(tǒng)=±6故選D．3.設(shè)常數(shù)a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，則a的取值范圍為(

)A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，3]．參考答案：B【點(diǎn)評(píng)】此題考查了并集及其運(yùn)算，二次不等式，以及不等式恒成立的條件，熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵．4.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則z=x+3y的最小值為（）A．﹣6 B．﹣3 C．5 D．27參考答案：A【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；不等式．【分析】畫出滿足約束條件表示的平可行域，然后分析平面區(qū)域里各個(gè)角點(diǎn)，然后將其代入z=x+3y中，求出最小值即可．【解答】解：滿足約束條件的可行域如下圖示：z=x+3y的最小值就是直線在y軸上的截距的倍，由，解得A（3，﹣3），由圖可知，z=x+3y經(jīng)過的交點(diǎn)A（3，﹣3）時(shí)，Z=x+3y有最小值﹣6，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】在解決線性規(guī)劃的小題時(shí)，常用“角點(diǎn)法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域?②求出可行域各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)?③將坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)?④驗(yàn)證，求出最優(yōu)解．5.設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則，類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體S﹣ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球半徑為r，四面體S﹣ABC的體積為V，則r=（）A． B．C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】類比推理．【專題】探究型．【分析】根據(jù)平面與空間之間的類比推理，由點(diǎn)類比點(diǎn)或直線，由直線類比直線或平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可．【解答】解：設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個(gè)面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和．則四面體的體積為∴R=故選C．【點(diǎn)評(píng)】類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去．一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性．②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（或猜想）．6.一個(gè)幾何體的三視圖及相關(guān)尺寸如圖所示，其中其主視圖和側(cè)視圖是一等腰梯形與一個(gè)矩形組成的圖形，俯視圖是兩個(gè)同心圓組成的圖形，則該幾何體的體積為（）A．25π B．19π C．11π D．9π參考答案：C【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何．【分析】由三視圖可知該幾何體為圓臺(tái)與圓柱的組合體．圓臺(tái)底面半徑分別為1，2，高為3，圓柱底面半徑為2，高為1．代入體積公式計(jì)算．【解答】解：三視圖可知該幾何體為圓臺(tái)與圓柱的組合體．圓臺(tái)底面半徑分別為1，2，高為3，圓柱底面半徑為2，高為1．∴圓臺(tái)的上底面面積S1=π×12=π，圓臺(tái)的下底面面積S2=π×22=4π，圓柱的底面面積S3=π×22=4π，∴V圓臺(tái)=（S1+S2+）×3=7π，V圓柱=S3×1=4π，V=V圓臺(tái)+V圓柱=11π．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了常見幾何體的三視圖及體積，是基礎(chǔ)題．7.一空間幾何體的三視圖如下頁圖所示，則該幾何體的體積為（

）

A．

B．C．

D．參考答案：C8.已知三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外的任一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)與點(diǎn)一定共面的是（

）A．

B．C．

D．參考答案：D9.把正整數(shù)按右圖所示的規(guī)律排序，則從2013到2015的箭頭方向依次為（）A．B．

C．

D．參考答案：A略10.某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的k的值是（

）（A）4

（B）5

（C）6 （D）7參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列不等式

①；

②；

③；

④其中一定成立的是

參考答案：③正確略12.已知命題與命題都是真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：13.已知隨機(jī)變量是ξ的概率分布為P（ξ=k）=，k=2，3，…，n，P（ξ=1）=a，則P（2＜ξ≤5）=．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】由已知條件分別求出P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，P（ξ=5）=，由此能求出P（2＜ξ≤5）的值．【解答】解：∵隨機(jī)變量是ξ的概率分布為P（ξ=k）=，k=2，3，…，n，P（ξ=1）=a，P（ξ=2）=，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==，∴P（2＜ξ≤5）=P（ξ=3）+P（ξ=4）+P（ξ=5）==．故答案為：．14.已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)，點(diǎn)滿足，則的最小值為

．參考答案：作出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，點(diǎn)N是區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MN與直線垂直時(shí)，由點(diǎn)到直線的距離公式得，距離最小值為．

15.10件產(chǎn)品中有8件正品，2件次品，從中任取3件，則恰好有一件次品的概率為．（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）參考答案：【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【分析】根據(jù)所有的取法共有種，而滿足條件的取法有?種，從而求得所求事件的概率．【解答】解：所有的取法共有種，而滿足條件的取法有?種，故恰好有一件次品的概率為=，故答案為：．16.已知光線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，2）由鏡面所在直線y=x反射后經(jīng)過點(diǎn)B（1，4），則反射光線所在直線方程為

．參考答案：5x+y﹣9=0【考點(diǎn)】與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程．【專題】方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】先求出A（﹣1，2）關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線方程即可．【解答】解：設(shè)A（﹣1，2）關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)為（m，n），則，解得：，∴反射光線的斜率為：k==﹣5，∴反射光線的直線方程為：y﹣4=﹣5（x﹣1），即5x+y﹣9=0，故答案為：5x+y﹣9=0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求直線的方程問題，考查直線的垂直關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題．17.設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)的余弦值為，則橢圓的離心率為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點(diǎn)，(1)求證：平面BCD；(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值。

參考答案：解：(1)證明：連結(jié)OC，

，．………3分

在中，由已知可得而，∴

∴即

∴平面．

……6分

(2)解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則∴，……………

12分∴異面直線AB與CD所成角余弦的大小為．…

13分19.已知點(diǎn)F為拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，其到直線x=﹣的距離為2．（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)P在第一象限，且橫坐標(biāo)為4，過點(diǎn)F作直線PF的垂線交直線x=﹣于點(diǎn)Q，證明：直線PQ與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）由題意，p=2，可得拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出直線PQ的方程與拋物線方程聯(lián)立，即可證明結(jié)論．【解答】解：（1）由題意，p=2，∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x；（2）由題意，P（4，4），F(xiàn)（1，0），∴kPF=，∴kQF=﹣，∴直線QF的方程為y=﹣（x﹣1），令x=﹣1，則y=，∴直線PQ的方程為y﹣4=（x﹣4），即x=2y﹣4，代入y2=4x，可得y2﹣8y+16=0，∴y=4，∴直線PQ與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)P．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，正確求出直線、拋物線方程是關(guān)鍵．20.已知復(fù)數(shù)，（i是虛數(shù)單位，，）（1）若是實(shí)數(shù)，求a的值；（2）在（1）的條件下，若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.參考答案：（1）；（2）.試題分析：(1)滿足題意時(shí)，虛部為零，分母不為零即可，據(jù)此求得；(2)利用題意得到關(guān)于實(shí)數(shù)m不等式，求解不等式即可求得m的取值范圍.試題解析：（1）因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，解得：；（2）由第（1）問可得：，因?yàn)?，，所以，解得?1.已知圓M：（x+1）2+y2=1，圓N：（x﹣1）2+y2=9，動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|．參考答案：【考點(diǎn)】軌跡方程；直線與圓的位置關(guān)系．【專題】直線與圓．【分析】（I）設(shè)動(dòng)圓的半徑為R，由已知?jiǎng)訄AP與圓M外切并與圓N內(nèi)切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，求出即可；（II）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)⊙P的圓心為（2，0）R=2時(shí)，其半徑最大，其方程為（x﹣2）2+y2=4．分①l的傾斜角為90°，此時(shí)l與y軸重合，可得|AB|．②若l的傾斜角不為90°，由于⊙M的半徑1≠R，可知l與x軸不平行，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，根據(jù)，可得Q（﹣4，0），所以可設(shè)l：y=k（x+4），與橢圓的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可得出．【解答】解：（I）由圓M：（x+1）2+y2=1，可知圓心M（﹣1，0）；圓N：（x﹣1）2+y2=9，圓心N（1，0），半徑3．設(shè)動(dòng)圓的半徑為R，∵動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲線C的方程為（x≠﹣2）．（II）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)⊙P的圓心為（2，0）R=2時(shí)，其半徑最大，其方程為（x﹣2）2+y2=4．①l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|=．②若l的傾斜角不為90°，由于⊙M的半徑1≠R，可知l與x軸不平行，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，則，可得Q（﹣4，0），所以可設(shè)l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于對(duì)稱性可知：當(dāng)時(shí)，也有|AB|=．綜上可知：|AB|=或．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了兩圓的相切關(guān)系、直線與圓相切問題、橢圓的定義及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力及其分類討論的思想方法．22.（本小題滿分14分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD.⑴求證：AB⊥PD；⑵若M為PC的中點(diǎn)，求證：PA∥平面BDM.參考答案：證明：(1)因?yàn)锳BCD為矩形，所以AB⊥AD.………………2分又平面PAD⊥平面AB