-琴生不等式,冪平均不等式

,.高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽班二試講義第一講琴生不等式、冪平均不等式一、知識(shí)要點(diǎn)：1．琴生不等式凸函數(shù)的定義：設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閍,b，對(duì)于區(qū)間a,b內(nèi)任意兩點(diǎn)x,x，都謝謝閱讀xxf(x)f(x)12，則稱f(x)為a,b上的下凸（凸）函數(shù)；有f(12)1222xxf(x)f(x)，則稱f(x)為a,b上的上凸（凹）函數(shù)。反之，若有f(12)1222琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若f(x)為a,b上的下凸（凸）函數(shù)，則xxxf(x)f(x)f(x)f(12nn)12nn（想象n邊形的重心在圖象的上方，n個(gè)點(diǎn)重合時(shí)“n邊形”的重心在圖象上）感謝閱讀琴生(Jensen)不等式證明：1）n2時(shí)，由下凸（凸）函數(shù)性質(zhì)知結(jié)論成立；感謝閱讀2）假設(shè)nkxxx)f(x)f(x)f(x)時(shí)命題成立，即f(12k12kkk那么當(dāng)nk1時(shí)，設(shè)Axxx，12k1k1k1xxxx(k1)Af(A)f((k1)A(k1)A12kkk1kk1k1k1)f()k12k21x(k1)A1kf(x)f(x)(k1)f(A)[i1i][f(A)f(k1k1)]kk1k12kk2k所以2kf(A)f(x)f(x)f(x)f(x)(k1)f(Ak112kk1k1所以(k1)f(A)f(x)f(x)f(x)f(x)，得證k112kk12．加權(quán)平均琴生(Jensen)不等式：n1,nn若f(x)為a,b上的下凸（凸）函數(shù)，且0，則f((x)f(x)iiiii1i1i13．曲線凸性的充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，（1）如果對(duì)任意x∈I,f(x)0，則曲線y=f(x)在I內(nèi)是下凸的；（2）如果對(duì)任意x∈I,f(x)0，則y=f(x)在I內(nèi)是上凸的。xnn4．冪平均不等式：若，且0,0，x0，則(i1i1i1)i1)．inn,.由冪平均不等式得3a3b3c3a2b2c233二、例題精析例1．設(shè)x0(i1,2,,n)，nx1，ii1求證：xxxxxx12n12n1x1x1xn112n例2．已知a,b,c0，abc1，求證：11a1b1c3例3．應(yīng)用琴生(Jensen)不等式證明冪平均不等式：感謝閱讀xxnn若，且0,0，x0i1i1，則(i1)(i1)inn例4．應(yīng)用琴生(Jensen)不等式證明赫爾德（Holder）不等式：精品文檔放心下載,b(1in)是2n個(gè)正實(shí)數(shù)，,0,1，感謝閱讀i則ab

ab

ab

(a

a

a)(b

b

b

)1 1

2 2

n n

1

2

n

1

2

n三、精選習(xí)題1．在圓內(nèi)接n邊形中，試證明正n邊形的面積最大。感謝閱讀2．設(shè)m2是實(shí)數(shù)，則在ABC中，有tanAtanBtanC3tan感謝閱讀m m m 3m,.3．設(shè)a0,b0，且ab1，求證： 1a2 1b2 5謝謝閱讀4．已知函數(shù)g(x)xlnx，0ab，證明：g(a)g(b)2g(ab)0精品文檔放心下載25．已知x,y,z0，且xyz1，求證：111z)(28)3(x2x)(y2y)(z236．若x0，且xxx100，求證：10 x x x10n精品文檔放心下載i 1 2 n 1 2 n7．已知x,y,z0，且xyz1xyz362。求證：4x14y14z1108．已知x3,.（1）當(dāng)0t1時(shí)，有不等式xt(x1)t(x2)t(x3)t；精品文檔放心下載（2）當(dāng)t1時(shí)，有不等式xt(x1)t(x2)t(x3)t。感謝閱讀9．設(shè)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，求證：PAB,PBC,PCA中至少有一個(gè)小于或等于30o。謝謝閱讀10．設(shè)0x(i1,2,,n)，且xxxxnsinxsinxn12nn，證明：ixii1xi四、拓展提高：11．已知a,b,c0，且abbcca1，求證：31a6b3b16c31c6aabc1感謝閱讀高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽班二試講義,.第一講琴生不等式、冪平均不等式1．【分析】nx1，適合應(yīng)用琴生不等式精品文檔放心下載ii1【解答】設(shè)函數(shù)fxx，則f(x)2x，()1x32(1x)22(1x)23(2x)3(1x)12(1x)233(1x)1204(1x)34(1x)3所以f(x)在(0,1)上下凸，xx1(xxx12nn12n)n1x1x1x1xxx12n12nn所以xxxn12n1x1x1xn112n又由算術(shù)平均不小于平方平均得xxxxxx12n12nnn所以nxxx12n所以xxxxxx12n12n1x1x1xn112n【思考】構(gòu)造函數(shù)，用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凸性，求導(dǎo)運(yùn)算是關(guān)鍵。精品文檔放心下載2．【分析】?jī)蛇吶∽匀粚?duì)數(shù)，把積化為和【解答】ln a1ab1bc1c12(1a)lna12(1b)lnb12(1c)lnc精品文檔放心下載因?yàn)閒(x)lnx在(0,)上是上凸函數(shù)，且12(1a)12(1b)12(1c)1謝謝閱讀由加權(quán)平均琴生不等式12(1a)lna12(1b)lnb12(1c)lncln[12(1a)a12(1b)b12(1c)c]精品文檔放心下載ln[11(a2b2c2)]ln1（a2b2c2(abc)21）謝謝閱讀22333所以 a1ab1bc1c13【思考】“兩邊取自然對(duì)數(shù)，把積化為和”是處理乘積問(wèn)題的常用手段感謝閱讀nnnnnnxx1xx(x)x例3．【分析】(i1i1ii(i1ii(i1i)(i1)i1)i1)nnnnnn構(gòu)造f(x)x解題【解答】證明：0時(shí)，f(x)x為下凸函數(shù)，精品文檔放心下載,.(xxxxxx，(xxx1(xxx112n)12n12n)12n)nnnnx代替x，得證。當(dāng)0和0時(shí)，有同樣的結(jié)論。精品文檔放心下載inn【思考】(i1i1(i1i1))兩邊同形，把x看成x是關(guān)鍵。nnii由冪平均不等式得3a3b3c3a2b2c233例4．【分析】變形：ababab1，再變形1122nnb)(aaa)(bb(a)12bn12an)(b)11(1)(nnaaabbbaaabbb12n12n12n12n對(duì)第i項(xiàng)取自然對(duì)數(shù)，得lnaaab是加權(quán)平均琴生nnalnbbb12n12n(Jensen)不等式的形式?！窘獯稹孔C明：令A(yù)aaa,Bbbb，f(x)lnx上凸，12n12nlnababababilniln(ii)，所以(i)(i)iiABABABABabnnnab)]ii累加得[(i)(ii1i11，得證。ABAB1nnnn)k2n推廣：a0，對(duì)k0,k1，有(ak1ak2akn)(a)k1(a(a)knijii1j2jnj1j2jnji1j1j1j1j1證明：klnaaklnaln(kaka)1jkln2jnj1jnj12n1nnnnnn1j2jnj1jnjj1j1j1j1j1【思考】好方法是在有目的的變形之后想到的。1．設(shè)圓半徑為r，內(nèi)接正n邊形的面積為S，各邊所對(duì)圓心角分別為,,,，1r2(sinsinsin)12nS212n函數(shù)f(x)sinx在區(qū)間0,上是上凸函數(shù)，（因?yàn)閒(x)sinx0）所以sinsinsin12nsin12nnn故S1r2(sinsinsin)1r2nsin2212n2n當(dāng)2時(shí)，正n邊形的面積最大，最大值為1r2nsin212nn2n2．當(dāng)m2時(shí)，f(x)tanx在區(qū)間0,上是下凸函數(shù)，m,.x2sinxsinm11，f(x)m（因?yàn)閒(x)0）cosxmcos2xm2cos3xmmmABC所以tanAtanBtanC3tanmmm3tanmmm33m3．f(x)1x2的圖象是等軸雙曲線y2x21的上支，在區(qū)間R上是下凸函數(shù)，所以f(a)f(b)f(ab)f(1)5，所以1a21b2522224．g(x)lnx1,g(x)0，所以g(x)xlnx在(0,)上是下凸函數(shù)1x所以g(a)g(b)2g(ab)025．令g(1x)(1y)(1z)，則lngln(1x)ln(1y)ln(1z)x2y2z2x2y2z2f(x)ln(1x)，則f(x)x32，精品文檔放心下載2x4xx610x32[x3(527)][x3(527)](x4x)2(x4x)2所以f(x)ln(1x)在(0,1)上是下凸函數(shù)，于是，由琴生不等式得x2lngln(1x)ln(1y)ln(1z)3ln(321)ln(28)3x2y2z233(283)36．由yx為上凸函數(shù)，有xxxxxx1012n12nnnn所以xxx10n12n(xxx)2xxx2(xxxxxx)12n12n1213n1nxxx10012n所以xxx1012n故10xxx10n12n7．令()x，14x，24(xa)(xb)，x(4x1)2x(4x1)]34x1[其中，0x1，1a2331，b2330221212故可知f(x)0，f(x)是0,1上是上凸函數(shù)2,.由琴生不等式xyz1364x14y14z13f(6)108．設(shè)()tt1t(t1)xt2，fxx，則f(x)tx,f(x)（1）當(dāng)0t1時(shí)，f1)xt20，f(x)t在(0,)上是上凸函數(shù)，(x)t(tx所以f(x)f(x2)f(xx2)f(x1)（因?yàn)閤x2，所以等號(hào)不能?。?2所以f(x)f(x1)f(x1)f(x2)感謝閱讀遞推得f(x1)f(x2)f(x2)f(x3)，謝謝閱讀從而有f(x)f(x1)f(x2)f(x3)，故xt(x1)t(x2)t(x3)t（2）當(dāng)t1時(shí)，t2t在(0,)上是下凸函數(shù)，f(x)t(t1)x0，f(x)x類似（1）可證xt(x1)t(x2)t(x3)t9．如圖，引進(jìn),,,,,，PBPA,PCPB,PAPCsinsinsinsinsinsin所以sinsinsinsinsinsin設(shè)f(x)lnsinx，則cosx10f(x)sinx,f(x)sin2x所以f(x)在(0,)時(shí)上是上凸函數(shù)，謝謝閱讀ln(sinsinsin)2ln(sinsinsinsinsinsin)感謝閱讀lnsinlnsinlnsin6lnsin6謝謝閱讀sinsinsin1所以8,,中必有一個(gè)其正弦值不大于1，設(shè)sin1，22當(dāng)30o時(shí)，命題成立，當(dāng)150o時(shí)，必有30o，命題也成立。10．由0xxxx，所以sinxsinx(i1,2,,n)，得x12n(0,)xxin設(shè)f(x)lnsinx,x(0,)，則f(x)lnsinxlnx，f(x)sin2xx20，xx