勾股定理的逆定理

X勾股定理的逆定理

勾股定理

如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2.abcCAB△ABC中，∠C為直角.BC2+AC2=AB2即a2+b2=c2復(fù)習(xí)回顧按照這種做法真能得到一個(gè)直角三角形嗎？古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13個(gè)等距的結(jié),把一根繩子分成等長(zhǎng)的12段,然后以3個(gè)結(jié)，4個(gè)結(jié)，5個(gè)結(jié)的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角。動(dòng)手畫一畫

下面的三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c：5，12，13；7，24，25；8，15，17。（1）這三組數(shù)都滿足嗎？（2）它們都是直角三角形嗎？勾股定理的逆命題

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足那么這個(gè)三角形是直角三角形。a2+b2=c2互逆命題∵∠C1=900∴A1B12=a2+b2∵a2+b2=c2∴A1B12=c2∴A1B1=c∵邊長(zhǎng)取正值∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）∴∠C=∠C1(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）∴∠C=900BC=a=B1C1CA=b=C1A1AB=c=A1B1abB'C'A'已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求證:△ABC是直角三角形證明:畫一個(gè)△A1B1C1使∠C1=900，B1C1=a，C1A1=b在△ABC和△A1B1C1中∴△ABC是直角三角形（直角三角形的定義）勾股定理的逆命題勾股定理的逆命題

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足那么這個(gè)三角形是直角三角形。且邊C年所對(duì)的角為直角。a2+b2=c2互逆命題逆定理定理駛向勝利的彼岸定理與逆定理開(kāi)啟智慧我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理,兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.想一想:互逆命題與互逆定理有何關(guān)系?如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題,那么它是一個(gè)定理,這兩個(gè)定理稱為互逆定理,其中一個(gè)定理稱另一個(gè)定理的逆定理.(1)兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．(2)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等．(3)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等．(4)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．說(shuō)出下列命題的逆命題．這些命題的逆命題成立嗎?逆命題:內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行.

成立逆命題:如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等.

不成立逆命題:如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等.

不成立逆命題:對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形是全等三角形.

不成立感悟:

原命題成立時(shí),逆命題有時(shí)成立,有時(shí)不成立試一試一個(gè)命題是真命題,它逆命題卻不一定是真命題.例1：判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15,b＝8,

c＝17(2)a＝13,b＝15,

c＝14分析：由勾股定理的逆定理，判斷三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊的平方和是否等于最大邊的平方。解：(1)∵152＋82＝225＋64＝289172＝289∴152＋82＝172∴這個(gè)三角形是直角三角形(2)∵132＋142＝169＋196＝365152＝225∴132＋142≠152∴這個(gè)三角形不是直角三角形應(yīng)用1：判斷三角形的形狀(3)a=1b=2c=_________;

下面以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個(gè)角是直角？(1)a=25b=20c=15_________;(2)a=13b=14c=15_________;(4)a:b:c=3:4:5__________;是是不是

是∠A=900∠B=900∠C=900

像25,20,15,能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).某港口位于東西方向的海岸線上，“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行?！斑h(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里。它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里。如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，你能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？應(yīng)用1：判斷三角形的形狀解：由題意知：：PQ=16×1.5=24PR=12×1.5=18，QR=30∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2∴∠QPR=90o,∴∠RPS=45o即“海天”號(hào)沿西北方向航行練一練如圖，在我國(guó)沿海有一艘不明國(guó)籍的輪船進(jìn)入我國(guó)海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個(gè)基地前去攔截，六分鐘后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，航向?yàn)楸逼?0°，問(wèn)：甲巡邏艇的航向？∴∠CAB+∠CBA=90°，∵∠CAB=40°∴∠CBA=50°∴航向?yàn)楸逼珫|50°。解：由題意知：AC=120×0.1=12BC=50×0.1=5AB=13∵52+122=132，即AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90o例2：一個(gè)零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角。工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如右圖所示，這個(gè)零件符合要求嗎？此時(shí)四邊形ABCD的面積是多少?13ABCD34512應(yīng)用2：用于求面積解：由題意可知在△ABD中，AB2+AD2=32+42=52=DB2∴△ABD為直角三角形，且∠A=90°在△BCD中，DB2+BC2=52+122=132=DC2∴△BCD為直角三角形，且∠DBC=90°∴這個(gè)零件符合要求?！郤四邊形ABCD=SRt△ABD+SRt△BCD已知：如圖，四邊形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積?ABCD中考鏈接解：連結(jié)AC，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=在△ACD中，AC2+CD2=52+122=132=AD2由勾股定理的逆定理得

∠ACD=900∴S四邊形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD開(kāi)啟智慧如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60o，∠B=∠D=90o，求四邊形ABCD的面積。EE解：分別延長(zhǎng)AD、BC，延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E∵∠A=60o,∠B=∠D=90o∴∠E=30o在Rt△ABE中，∵AB=2，∴AE=4∴在Rt△CDE中，∵CD=1，∴CE=2∴∴S四邊形ABCD=SRt△ABE-SRt△CDE

1、在△ABC中，a=15,b=17,c=8,求此三角形的面積?！唷鰽BC為直角三角形，且b邊所對(duì)的角為90°∴△ABC的面積為練一練2、等腰三角形底邊上的高是8cm，周長(zhǎng)為32cm，它的面積。提示：可設(shè)腰長(zhǎng)為xcm，利用方程思想求解。應(yīng)用3：用于求邊長(zhǎng)

在△ABC中，D的BC邊上的點(diǎn)，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求DC的長(zhǎng)。解：在△ABD中122+52=132即AD2+BD2=AB2，由勾股定理的逆定理知∠ADB=900在Rt△ADC中，DC=應(yīng)用4:用于證垂直

已知正方形ABCD中，AE=EB，AF=AD，求證：CE⊥EF.

分析：證垂直常?？梢酝ㄟ^(guò)證直角得到。已知條件只有邊的數(shù)量關(guān)系，故需要把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角度的關(guān)系。證明：連結(jié)FC，設(shè)AF=1，則DF=3.AE=EB=BC=CD=4在RtAEF中，同理得EC2=20CF2=25∴EF2+EC2=CF2由勾股定理的逆定理得∠CEF=900∴CE⊥EF分析：先來(lái)判斷a,b,c三邊哪條最長(zhǎng)，可以代m,n為滿足條件的特殊值來(lái)試，m=5,n=4.則a=9,b=40,c=41,c最大?！唷鰽BC是直角三角形思維訓(xùn)練BA、銳角三角形B、直角三角形C、鈍