勾股定理的逆定理

X勾股定理的逆定理

勾股定理

如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.abcCAB△ABC中，∠C為直角.BC2+AC2=AB2即a2+b2=c2復(fù)習(xí)回顧按照這種做法真能得到一個(gè)直角三角形嗎？古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13個(gè)等距的結(jié),把一根繩子分成等長的12段,然后以3個(gè)結(jié)，4個(gè)結(jié)，5個(gè)結(jié)的長度為邊長，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角。動(dòng)手畫一畫

下面的三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長a，b，c：5，12，13；7，24，25；8，15，17。（1）這三組數(shù)都滿足嗎？（2）它們都是直角三角形嗎？勾股定理的逆命題

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三邊長a、b、c滿足那么這個(gè)三角形是直角三角形。a2+b2=c2互逆命題∵∠C1=900∴A1B12=a2+b2∵a2+b2=c2∴A1B12=c2∴A1B1=c∵邊長取正值∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）∴∠C=∠C1(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）∴∠C=900BC=a=B1C1CA=b=C1A1AB=c=A1B1abB'C'A'已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求證:△ABC是直角三角形證明:畫一個(gè)△A1B1C1使∠C1=900，B1C1=a，C1A1=b在△ABC和△A1B1C1中∴△ABC是直角三角形（直角三角形的定義）勾股定理的逆命題勾股定理的逆命題

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三邊長a、b、c滿足那么這個(gè)三角形是直角三角形。且邊C年所對(duì)的角為直角。a2+b2=c2互逆命題逆定理定理駛向勝利的彼岸定理與逆定理開啟智慧我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理,兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.想一想:互逆命題與互逆定理有何關(guān)系?如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它是一個(gè)定理,這兩個(gè)定理稱為互逆定理,其中一個(gè)定理稱另一個(gè)定理的逆定理.(1)兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．(2)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等．(3)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等．(4)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．說出下列命題的逆命題．這些命題的逆命題成立嗎?逆命題:內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行.

成立逆命題:如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等.

不成立逆命題:如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等.

不成立逆命題:對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形是全等三角形.

不成立感悟:

原命題成立時(shí),逆命題有時(shí)成立,有時(shí)不成立試一試一個(gè)命題是真命題,它逆命題卻不一定是真命題.例1：判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15,b＝8,

c＝17(2)a＝13,b＝15,

c＝14分析：由勾股定理的逆定理，判斷三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊的平方和是否等于最大邊的平方。解：(1)∵152＋82＝225＋64＝289172＝289∴152＋82＝172∴這個(gè)三角形是直角三角形(2)∵132＋142＝169＋196＝365152＝225∴132＋142≠152∴這個(gè)三角形不是直角三角形應(yīng)用1：判斷三角形的形狀(3)a=1b=2c=_________;

下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個(gè)角是直角？(1)a=25b=20c=15_________;(2)a=13b=14c=15_________;(4)a:b:c=3:4:5__________;是是不是

是∠A=900∠B=900∠C=900

像25,20,15,能夠成為直角三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).某港口位于東西方向的海岸線上，“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行?！斑h(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里。它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里。如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，你能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？應(yīng)用1：判斷三角形的形狀解：由題意知：：PQ=16×1.5=24PR=12×1.5=18，QR=30∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2∴∠QPR=90o,∴∠RPS=45o即“海天”號(hào)沿西北方向航行練一練如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個(gè)基地前去攔截，六分鐘后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，航向?yàn)楸逼?0°，問：甲巡邏艇的航向？∴∠CAB+∠CBA=90°，∵∠CAB=40°∴∠CBA=50°∴航向?yàn)楸逼珫|50°。解：由題意知：AC=120×0.1=12BC=50×0.1=5AB=13∵52+122=132，即AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90o例2：一個(gè)零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角。工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如右圖所示，這個(gè)零件符合要求嗎？此時(shí)四邊形ABCD的面積是多少?13ABCD34512應(yīng)用2：用于求面積解：由題意可知在△ABD中，AB2+AD2=32+42=52=DB2∴△ABD為直角三角形，且∠A=90°在△BCD中，DB2+BC2=52+122=132=DC2∴△BCD為直角三角形，且∠DBC=90°∴這個(gè)零件符合要求?！郤四邊形ABCD=SRt△ABD+SRt△BCD已知：如圖，四邊形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積?ABCD中考鏈接解：連結(jié)AC，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=在△ACD中，AC2+CD2=52+122=132=AD2由勾股定理的逆定理得

∠ACD=900∴S四邊形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD開啟智慧如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60o，∠B=∠D=90o，求四邊形ABCD的面積。EE解：分別延長AD、BC，延長線交于點(diǎn)E∵∠A=60o,∠B=∠D=90o∴∠E=30o在Rt△ABE中，∵AB=2，∴AE=4∴在Rt△CDE中，∵CD=1，∴CE=2∴∴S四邊形ABCD=SRt△ABE-SRt△CDE

1、在△ABC中，a=15,b=17,c=8,求此三角形的面積?！唷鰽BC為直角三角形，且b邊所對(duì)的角為90°∴△ABC的面積為練一練2、等腰三角形底邊上的高是8cm，周長為32cm，它的面積。提示：可設(shè)腰長為xcm，利用方程思想求解。應(yīng)用3：用于求邊長

在△ABC中，D的BC邊上的點(diǎn)，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求DC的長。解：在△ABD中122+52=132即AD2+BD2=AB2，由勾股定理的逆定理知∠ADB=900在Rt△ADC中，DC=應(yīng)用4:用于證垂直

已知正方形ABCD中，AE=EB，AF=AD，求證：CE⊥EF.

分析：證垂直常常可以通過證直角得到。已知條件只有邊的數(shù)量關(guān)系，故需要把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角度的關(guān)系。證明：連結(jié)FC，設(shè)AF=1，則DF=3.AE=EB=BC=CD=4在RtAEF中，同理得EC2=20CF2=25∴EF2+EC2=CF2由勾股定理的逆定理得∠CEF=900∴CE⊥EF分析：先來判斷a,b,c三邊哪條最長，可以代m,n為滿足條件的特殊值來試，m=5,n=4.則a=9,b=40,c=41,c最大?！唷鰽BC是直角三角形思維訓(xùn)練BA、銳角三角形B、直角三角形C、鈍