新課標(biāo)課件-選修2-2：23-數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法1數(shù)學(xué)歸納法1學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.通過學(xué)習(xí)過的歸納推理及幾個例子，弄明白數(shù)學(xué)歸納法的證明原理（重點）2.通過幾個證明問題，梳理清楚數(shù)學(xué)歸納法的一般實施步驟，并會證明等式與不等式恒成立問題（難點）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.通過學(xué)習(xí)過的歸納推理及幾個例子，弄明白數(shù)學(xué)歸納1,5,3,7,9,11,15你猜、你猜、你猜猜猜歸納推理：由部分到整體的推理，結(jié)論未必正確1,5,3,7,9,11,15你猜、你猜、你猜猜猜歸納推理：可從簡單情形出發(fā)觀察、歸納、猜想(不完全歸納法)可從簡單情形出發(fā)觀察、歸納、猜想(不完全歸納法)費馬(Fermat)曾經(jīng)提出一個猜想：形如Fn＝22n+1(n=0,1,2…)的數(shù)都是質(zhì)數(shù)……100年后…

費馬(1601--1665)法國偉大的業(yè)余數(shù)學(xué)家。

歐拉(1707～1783)，瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家。

費馬您錯了!不完全歸納法能幫助我們發(fā)現(xiàn)猜想,但不能保證猜想正確.費馬(Fermat)曾經(jīng)提出一個猜想：形如Fn＝22n+1在使用歸納法探究數(shù)學(xué)命題時，必須對任何可能的情況進行論證后，才能判別命題正確與否。思考1：與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都能否通過一一驗證的辦法來加以證明呢？思考2：如果一個數(shù)學(xué)命題與正整數(shù)n有關(guān),我們能否找到一種既簡單又有效的證明方法呢？在使用歸納法探究數(shù)學(xué)命題時，必須對任何可能的情新課標(biāo)ppt課件-選修2-2：2思考：這個游戲中，能使所有多米諾骨全部倒下的條件是什么？多米諾骨牌（domino）是一種用木制、骨制或塑料制成的長方形骨牌。玩時將骨牌按一定間距排列成行，輕輕碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就會產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，依次倒下。多米諾是一項集動手、動腦于一體的運動。一幅圖案由幾百、幾千甚至上萬張骨牌組成。骨牌需要一張張擺下去，它不僅考驗參與者的體力、耐力和意志力，而且還培養(yǎng)參與者的智力、想象力和創(chuàng)造力。多米諾是種文化。它起源于中國，有著上千年的歷史。思考：這個游戲中，能使所有多米諾骨全部倒下的條件是什么？多米

只要滿足以下兩個條件，所有多米諾骨牌就能全部倒下：

（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。（傳遞）條件（2）事實上給出了一個遞推關(guān)系：當(dāng)?shù)趉塊倒下時，相鄰的第k+1塊也倒下。思考：你認為證明數(shù)列的通項公式是這個猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？（1）第一塊骨牌倒下；（基礎(chǔ)）只要滿足以下兩個條件，所有多米諾骨牌就能全部倒這種一種嚴(yán)格的證明方法──數(shù)學(xué)歸納法.這種一種嚴(yán)格的證明方法──數(shù)學(xué)歸納法.數(shù)學(xué)歸納法的概念：定義：對于某些與正整數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個值n0(n0

N*)時命題成立(歸納奠基）；2.然后假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，k≥n0)時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立(歸納遞推）。這種證明方法就叫做______________。數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法的概念：定義：對于某些與正整數(shù)n有關(guān)注意：1.數(shù)學(xué)歸納法是用來證明與正整數(shù)有關(guān)的命題2.數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟(1)證明當(dāng)n取第一個值n0時命題成立(2)假設(shè)當(dāng)時,命題成立

證明當(dāng)時,命題也成立（基礎(chǔ)）（傳遞）3.數(shù)學(xué)歸納法第二步的證明可以用各種證明方法，但必須用到假設(shè)注意：1.數(shù)學(xué)歸納法是用來證明與正整數(shù)有關(guān)的命題2.數(shù)學(xué)歸納思考5：試問等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立嗎？某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法給出了如下的證明，請問該同學(xué)得到的結(jié)論正確嗎？解:設(shè)n＝k時成立，即這就是說，n＝k+1時也成立2+4+6+…+2k＝k2+k+1則當(dāng)n=k+1時2+4+6+…+2k+2(k+1)＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1所以等式對任何n∈N*都成立事實上，當(dāng)n＝1時，左邊＝2，右邊＝3左邊≠右邊，等式不成立該同學(xué)在沒有證明當(dāng)n=1時，等式是否成立的前提下，就斷言等式對任何n∈N*都成立，為時尚早思考5：試問等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立嗎？某下面是某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題

的過程.你認為他的證法正確嗎?為什么?

(1).當(dāng)n=1時,左邊=,右邊=(2).假設(shè)n=k時命題成立即那么n=k+1時,

左邊

=右邊,即n=k+1時,命題也成立.由(1)(2)知,對一切正整數(shù),命題均正確.

思考6:下面是某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題思考6:證明：①當(dāng)n=1時，左邊＝右邊＝②假設(shè)n=k時，等式成立，那么n=k+1時等式成立這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何n∈N＊都成立即第二步的證明沒有在假設(shè)條件下進行，因此不符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求思考7：下面是某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立的過程,它符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求嗎？為什么？（n∈N＊）nn2112121212132-=＋＋＋＋L證明：①當(dāng)n=1時，左邊＝右邊＝②假設(shè)n=k時，等式成立，那

因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個步驟，缺一不可。第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)。缺了第一步遞推失去基礎(chǔ)；缺了第二步，遞推失去依據(jù)，因此無法遞推下去。因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個步驟，題型一、利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式應(yīng)用舉例例1、利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式題型一、利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式應(yīng)用舉例例1、利用數(shù)學(xué)歸納法證證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊＝12＝1，右邊＝

等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，就是那么n=k+1時證明：那么n=k+1時這就是說，當(dāng)n=k+1時等式也成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何n∈N＊都成立。這就是說，當(dāng)n=k+1時等式也成立。當(dāng)堂檢測1：用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：（1）n=1時左邊=1=右邊（2）假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即當(dāng)n=k+1時當(dāng)堂檢測1：用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：（1）n=1時左邊=1=右=右邊所以，n=k+1時，結(jié)論成立.由（1）（2）可知=右邊所以，n=k+1時，結(jié)論成立.題型二、利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:證明：（1）n=2時左邊=（2）假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即當(dāng)n=k+1時左邊=題型二、利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:證明所以，n=k+1時，結(jié)論成立.由（1）（2）可知所以，n=k+1時，結(jié)論成立.當(dāng)堂檢測2：證明不等式:證明：（1）n=1