解密12平面向量

解密12講：平面向量【考點(diǎn)解密】考的一．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線(xiàn)向量，規(guī)定：0與任一向量平行．(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．考點(diǎn)二．向量的線(xiàn)性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb考點(diǎn)三.向量共線(xiàn)定理向量b與非零向量a共線(xiàn)的充要條件是：有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.考點(diǎn)四．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線(xiàn)的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．考點(diǎn)五．平面向量的坐標(biāo)表示(1)向量及向量的模的坐標(biāo)表示①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．考點(diǎn)六．平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共線(xiàn)?x1y2－x2y1＝0.考點(diǎn)七.向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是[0，π].考點(diǎn)八.平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積考點(diǎn)九.向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.考點(diǎn)十.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結(jié)論符號(hào)表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))【方法技巧】求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．【核心題型】題型一：平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)1．（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．平行向量不一定是共線(xiàn)向量C．對(duì)于任意向量，必有D．若滿(mǎn)足且與同向，則【答案】C【分析】對(duì)于A(yíng)：根據(jù)單位向量的概念即可判斷；對(duì)于B：根據(jù)共線(xiàn)向量的定義即可判斷；對(duì)于C：分類(lèi)討論向量的方向，根據(jù)三角形法則即可判斷；對(duì)于D：根據(jù)向量不能比較大小即可判斷.【詳解】依題意，對(duì)于A(yíng)，單位向量模都相等，方向不一定相同，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，平行向量就是共線(xiàn)向量，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，若同向共線(xiàn)，，若反向共線(xiàn)，，若不共線(xiàn)，根據(jù)向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊知.綜上可知對(duì)于任意向量，必有，故正確；對(duì)于D，兩個(gè)向量不能比較大小，故錯(cuò)誤.故選：C.2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知平面向量，是單位向量，且，向量滿(mǎn)足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量模的定義可得，進(jìn)而求得，利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算，結(jié)合向量模的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)椋裕?，又，所以．所以．因?yàn)?，所以．故選：A．3．（2022·河南·校聯(lián)考一模）下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法正確的是（

）A．若共線(xiàn)，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一直線(xiàn)上B．若且，則C．若G為的外心，則D．若O為的垂心，則【答案】D【分析】A向量共線(xiàn)知向量所在直線(xiàn)平行或共線(xiàn)；B由零向量與任意向量都平行；C由向量相加不可能等于標(biāo)量；D利用向量減法的幾何含義，結(jié)合垂心的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】A：若共線(xiàn)，則A，B，C，D在同一直線(xiàn)上或，錯(cuò)誤；B：若為零向量，由任意向量都與零向量平行知，此時(shí)不一定平行，錯(cuò)誤；C：若G為的外心，有，且不可能等于標(biāo)量0，錯(cuò)誤；D：O為的垂心，由，又，所以，同理有，，即有，正確.故選：D.題型二：平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算4．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用平面向量加法規(guī)則計(jì)算.【詳解】依題意作上圖，則；故選：D.5．（2023秋·廣西河池·高三統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，M為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，G為線(xiàn)段AM上一點(diǎn)且，過(guò)點(diǎn)G的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)AB、AC于P、Q兩點(diǎn)，，，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．4【答案】B【分析】由可得，根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)向量性質(zhì)可得，再結(jié)合均值不等式即可求出結(jié)果．【詳解】由于M為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，則又，所以，又，所以，則因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，則，化得由當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為1故選：B6．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，直線(xiàn)AM交BN于點(diǎn)Q，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把用表示，然后由三點(diǎn)共線(xiàn)可得．【詳解】由題意得，，因?yàn)镼，M，A三點(diǎn)共線(xiàn)，故，化簡(jiǎn)整理得．故選：C．題型三：平面向量的共線(xiàn)定理7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）的外心滿(mǎn)足，，則的面積為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】從這個(gè)條件可以考慮設(shè)的中點(diǎn)為，從而得到三點(diǎn)共線(xiàn)可求.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，則可化為即為，三點(diǎn)共線(xiàn)且，為等腰三角形，由垂徑定理得，代入數(shù)據(jù)得,解之：，.故選：B.8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，M，N分別是線(xiàn)段，上的點(diǎn)，且，，D，E是線(xiàn)段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的的最小值是（

）A．4 B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)平面向量共線(xiàn)定理可設(shè)，，，，再結(jié)合得，最后運(yùn)用基本不等式可求解.【詳解】設(shè)，，，，則，，，，.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.所以的的最小值是.故選：B9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)與圓：相交于不同兩點(diǎn)，，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，若平面上一動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意，判斷得點(diǎn)在線(xiàn)段外，從而得是直角三角形，進(jìn)而表示出，可得，由，可得的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，，三點(diǎn)共線(xiàn)，且點(diǎn)在線(xiàn)段外，因?yàn)辄c(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，即是直角三角形，所以，由數(shù)量積的定義可得：，因?yàn)?，所以，即，故選:C.題型四：平面向量的基本定理10．（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)校考一模）在平行四邊形中，?分別在邊?上，，與相交于點(diǎn)，記，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意過(guò)點(diǎn)作平行于，交于點(diǎn)，先利用三角形相似求出，然后利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可求解.【詳解】過(guò)點(diǎn)作平行于，交于點(diǎn)，因?yàn)?，則為的中點(diǎn)，所以且，因?yàn)椋?，由可得：，所以，因?yàn)?，所以，故選：.11．（2022秋·甘肅武威·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，是的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算求得，由此求得，進(jìn)而求得.【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以．所以，所以，所以．故選：D12．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，E是的中點(diǎn)，，與相交于O．若，，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先以為基底表示，再利用向量的數(shù)量積把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可求得的長(zhǎng)【詳解】在平行四邊形中，E是的中點(diǎn)，，與相交于O．設(shè)，則由，可得則，解之得，則則又，則，解之得，即的長(zhǎng)為4故選：C題型五：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算13．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開(kāi)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)和數(shù)列滿(mǎn)足，若分別為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】根據(jù)題意分析可得數(shù)列均是周期為6的數(shù)列，運(yùn)算求解即可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：，則，∵，則，由，則，同理，，即數(shù)列均是周期為6的數(shù)列，而，故選：D.14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且（），若（，）且，則（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】方法1：由可得，由代入可反解得，最后根據(jù)且即可求得的值.方法2：建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】方法1：在平行四邊形中，因?yàn)?，所以，所以，又∵，∴，∴，又∵，∴，，（平面向量基本定理的?yīng)用）又∵，∴，解得，故選：B.方法2：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，∵則，又∵，設(shè)，則即：∴，，，又∵，∴∴∴由②得，將其代入①得，故選：B.15．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知平面向量，滿(mǎn)足，，點(diǎn)D滿(mǎn)足，E為的外心，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的數(shù)量積求得，以O(shè)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得解.【詳解】，，，，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，垂直于OA所在直線(xiàn)為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)又，知，解得，又E為的外心，，，為等邊三角形，，∴，∴．故選：A題型六：平面向量的數(shù)量積問(wèn)題16．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知平面向量、、滿(mǎn)足，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在平面內(nèi)一點(diǎn)，作，，，取的中點(diǎn)，計(jì)算出、的值，利用向量三角不等式可求得的最大值.【詳解】在平面內(nèi)一點(diǎn)，作，，，則，則，因?yàn)?，則，故為等腰直角三角形，則，取的中點(diǎn)，則，所以，，所以，，因?yàn)?，所以，，則，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)、同向時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.故選：B.17．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知△ABC中，，，，在線(xiàn)段BD上取點(diǎn)E，使得，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析得到∠AEB是與的夾角，利用向量基本定理得到，，利用向量數(shù)量積公式得到，，，從而利用夾角余弦公式求出答案.【詳解】由題意知：∠AEB是與的夾角，，，，，，則．故選：D．18．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊中，點(diǎn)為中線(xiàn)的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可推得，，，進(jìn)而根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即可得出結(jié)果.【詳解】由已知，，，，所以.由已知是的中點(diǎn)，所以，，.所以，，所以，.故選：B.題型七：平面向量的幾何應(yīng)用19．（2022·福建廈門(mén)·廈門(mén)市湖濱中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知A，B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得在圓上，則，數(shù)形結(jié)合即可求出的取值范圍，即可得解.【詳解】由題意可得是圓心為半徑為1的圓，是圓心為半徑為1的圓，設(shè)中點(diǎn)為，，由垂徑定理得，在圓上，又，由圖可知，，的范圍為.故選：C20．（2022·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┰谄矫鎯?nèi)，定點(diǎn)滿(mǎn)足，，動(dòng)點(diǎn)P，M滿(mǎn)足，，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到為正三角形，且為的中心，結(jié)合題設(shè)條件求得，得到為邊長(zhǎng)為的正三角形，以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，得到，進(jìn)而求得，即可求解.【詳解】由題意知，即點(diǎn)到三點(diǎn)的距離相等，可得為的外心，又由，可得，所以，同理可得，所以為的垂心，所以的外心與垂心重合，所以為正三角形，且為的中心，因?yàn)?，解得，所以為邊長(zhǎng)為的正三角形，如圖所示，以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，可得設(shè)，其中，又因?yàn)?，即為的中點(diǎn)，可得，所以.即的最大值為.故選：B.21．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）中，，，，PQ為內(nèi)切圓的一條直徑，M為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】易知是直角三角形，利用等面積法可得內(nèi)切圓半徑，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，根據(jù)為直徑，可知，，整理，進(jìn)而根據(jù)的運(yùn)動(dòng)情況來(lái)求解.【詳解】由題可知，，所以是直角三角形，，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，解得，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，因?yàn)槭莾?nèi)切圓的一條直徑，所以，，則，，所以，因?yàn)镸為邊上的動(dòng)點(diǎn)，所以；當(dāng)與重合時(shí)，，所以的取值范圍是，故選：C題型八：平面向量的綜合問(wèn)題22．（2022·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，函數(shù)．(1)求函數(shù)的值域;(2)函數(shù)在上有10個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角恒等變換得，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求解即可；（2）由題知，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)得，解不等式即可得答案.【詳解】（1）解：，所以，的值域?yàn)?（2）解：令，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上有10個(gè)零點(diǎn)，所以方程在上有10個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，解得．所以，的取值范圍為.23．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)G為的重心．(1)求；(2)過(guò)G作直線(xiàn)與AB、AC兩條邊分別交于點(diǎn)M、N，設(shè)，，求的值．【答案】(1)(2)3【分析】（1）根據(jù)已知得出與三邊所在向量的關(guān)系，即可根據(jù)向量的運(yùn)算得出答案；（2）根據(jù)已知得出，結(jié)合，，根據(jù)M、N、G三點(diǎn)共線(xiàn)，結(jié)合向量運(yùn)算與向量相等的定義列式整理，即可得出答案.【詳解】（1）點(diǎn)G為的重心，，，，，（2）點(diǎn)G為的重心，，，，，，，，與共線(xiàn)，存在實(shí)數(shù)，使得，則，根據(jù)向量相等的定義可得，消去可得，兩邊同除，整理得.24．（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，過(guò)中心O的直線(xiàn)l與兩邊AB，CD分別交于點(diǎn)M，N．(1)若Q是BC的中點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若P是平面上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由向量的加法和數(shù)量積運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為，再由的值和的范圍可求得結(jié)果.（2）令可得點(diǎn)T在BC上，再將轉(zhuǎn)化為，由、的范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)橹本€(xiàn)l過(guò)中心O且與兩邊AB、CD分別交于點(diǎn)M、N．所以O(shè)為MN的中點(diǎn)，所以，所以．因?yàn)镼是BC的中點(diǎn)，所以，，所以，即的取值范圍為；（2）令，則，∴，即：∴∴點(diǎn)T在BC上，又因?yàn)镺為MN的中點(diǎn)，所以，從而，，因?yàn)?，所以，即的最小值為．【高考必刷】一、單選題25．（2023·四川·石室中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則（

）A．7 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算，先求，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系是求.【詳解】由已知，得，則為銳角，所以，所以.故選：A.26．（2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若非零向量，滿(mǎn)足，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)兩邊同時(shí)平方可求出，設(shè)與的夾角為，由向量的夾角公式代入即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，以，又，，所以，，設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)?，所以，即與的夾角為.故選：D.27．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知的外接圓圓心為O，且，，則（

）A．0 B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知△為直角三角形，△為等邊三角形，即可求出的值.【詳解】由知是邊中點(diǎn)，因?yàn)槭恰鞯耐饨訄A圓心，所以△為直角三角形，且，因?yàn)?，所以△為等邊三角形，所以，，所以，故選：C.28．（2023·全國(guó)·唐山市第十一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖,在平行四邊形中,,是邊的中點(diǎn),是上靠近的三等分點(diǎn),若,則（

）A．4 B． C． D．8【答案】A【分析】將通過(guò)平面向量基本定理轉(zhuǎn)化到上,展開(kāi)計(jì)算,再將代入即可求得.【詳解】解:由題知,所以,記,因?yàn)榍覟槠叫兴倪呅?所以,解得:(舍)或.故選:A29．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知平面向量滿(mǎn)足，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求出，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出軌跡方程，利用幾何意義即可求出的最大值.【詳解】由可知,，故，如圖建立坐標(biāo)系，，，設(shè)，由可得：，所以的終點(diǎn)在以為圓心,1為半徑的圓上，所以，幾何意義為到距離的2倍，由兒何意義可知，故選：D.30．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模擬預(yù)測(cè)）在中，，點(diǎn)D在線(xiàn)段上，點(diǎn)E在線(xiàn)段上，且滿(mǎn)足，，交于點(diǎn)F，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得AB＝4，AC＝3，設(shè)，根據(jù)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算，推出，由B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)求得λ，再將表示成以為基底的向量，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則得答案．【詳解】如圖：由，得AB＝4，AC＝3，設(shè)，則三點(diǎn)共線(xiàn)，，即，則故選：C.31．（2022·四川眉山·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，直線(xiàn)與C交于點(diǎn)M，N，且，．當(dāng)取最小值時(shí)，橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線(xiàn)和橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得為平行四邊形,再由及向量的數(shù)量積可求,再應(yīng)用基本不等式,取等條件計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)與C交于點(diǎn)M，N，設(shè)為的中點(diǎn),由為的中點(diǎn),故四邊形為平行四邊形.則,由橢圓定義得設(shè)因?yàn)?所以,又因所以,,在中,，應(yīng)用余弦定理所以,又因?yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取最小值,此時(shí),則故選:.32．（2022·吉林·東北師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）在中，為上一點(diǎn)，，為線(xiàn)段上任一點(diǎn)，若，則的最小值是（

）A． B． C．6 D．8【答案】D【分析】利用共線(xiàn)定理求出定值，再用基本不等式即可求解.【詳解】由題知，，所以，又因?yàn)闉榫€(xiàn)段上任一點(diǎn)，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，.故選：D.二、多選題33．（2022秋·安徽合肥·高三統(tǒng)考期末）在中，已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】畫(huà)出三角形，應(yīng)用向量線(xiàn)性表示，三角形法則，數(shù)量積關(guān)系逐項(xiàng)分析即可.【詳解】如圖所示：因?yàn)?，所以，所以，故選項(xiàng)A正確，因?yàn)椋运?，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，由，，在，，所以，即，所以，所以，所以，即即，故選項(xiàng)D正確，由，所以在中，因?yàn)?，所以，故B正確，故選：ABD.34．（2023·福建·統(tǒng)考一模）平面向量滿(mǎn)足，對(duì)任意的實(shí)數(shù)t，恒成立，則（

）A．與的夾角為 B．為定值C．的最小值為 D．在上的投影向量為【答案】AD【分析】由題意可得：與的夾角，然后根據(jù)向量的運(yùn)算逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.【詳解】設(shè)平面向量與的夾角為，因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)t，恒成立，即恒成立，又，也即對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，所以，則，所以，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，因?yàn)殡S的變化而變化，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)椋啥魏瘮?shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，取最小值，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，向量上的一個(gè)單位向量，由向量夾角公式可得：，由投影向量的計(jì)算公式可得：在上的投影向量為，故選項(xiàng)正確，故選：.35．（2023春·廣東揭陽(yáng)·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用平面向量的坐標(biāo)表示與旋轉(zhuǎn)角的定義推得是正三角形，從而對(duì)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A(yíng)，因?yàn)椋?，，所以，，故是正三角形，則，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)槭钦切?，是的外心，所以是的重心，故，即，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，則，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC．.36．（2023·河北·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，，，，且，則（

）A．B．C．D．，，，使得【答案】ABCD【分析】根據(jù)向量共線(xiàn)以及三角形的面積公式可判斷A，根據(jù)不等式即可求解BCD.【詳解】設(shè)中所對(duì)的邊分別為，由，，得，，，進(jìn)而得，，，,,，故A正確，由A知，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，因此，故B正確，,同理，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),因此存在使得，故D正確，所以，故C正確,故選：ABCD三、填空題37．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開(kāi)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿(mǎn)足，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合題意的向量的坐標(biāo)______.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的計(jì)算公式可得，分析、的關(guān)系，利用特殊值法可得答案.【詳解】根據(jù)題意，向量，且，則有，即，當(dāng)時(shí)，，則.故答案為：（答案不唯一）38．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，，點(diǎn)Q滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)__________.【答案】##【分析】設(shè)中點(diǎn)為M，則，根據(jù)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得，得當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)是等邊三角形，求出即可求解.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為M，則，，由，知P點(diǎn)軌跡是以為弦，圓周角為的優(yōu)弧，∴當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)是等邊三角形，則.故答案為：.39．（2023·陜西商洛·校考三模）已知平面向量，，，其中為單位向量，若，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】建立如圖所示坐標(biāo)系，不妨設(shè)，由題意，可知，記，，則，求出點(diǎn)的軌跡方程，由的幾何意義可得即為點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)的距離，從而可得出答案．【詳解】解：建立如圖所示坐標(biāo)系，不妨設(shè)，由知，點(diǎn)在直線(xiàn)或上，由題意，可知，記，，則，由定弦所對(duì)的角為頂角可知點(diǎn)的軌跡是兩個(gè)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的圓弧，設(shè)，則，因?yàn)?，即，整理得或，由?duì)稱(chēng)性不妨只考慮第一象限的情況，因?yàn)榈膸缀我饬x為：圓弧的點(diǎn)到直線(xiàn)上的點(diǎn)的距離，所以最小值為，故．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合解析幾何的知識(shí)求出向量模的取值范圍.40．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，是平面向量，滿(mǎn)足，，，則向量在向量上的投影的數(shù)量的最小值是______.【答案】【分析】由，可得，